第68回 導出その1 ― デルタヘッジから偏微分方程式を立てる

位置: 第7部 第68回 / 前提: 第59回、第65回、第67回 / 数学編: M3、M26、M27、M28 / この回でできるようになること: デルタヘッジからブラック・ショールズ方程式を自分で導くことができる

0. 物語 ― 期待収益率が消えるのは偶然なのか

火災保険の値段について考えてみます。ある建物に保険をかけるとき、保険会社が「この地区の火災発生率は年1パーセントだ」と見積もっていようと「3パーセントだ」と見積もっていようと、保険の値段が変わらないとしたら、不思議に聞こえるでしょうか。

実は、保険の売り手が火災の被害をまるごと肩代わりするのではなく、他の金融商品を組み合わせて損益を完全に帳消しにできるなら、その組み合わせのコストだけで値段が決まります。火災がどのくらい起きそうかという見通しは、値段に入り込む余地がありません。

オプションの世界でも同じことが起きます。株が年に何パーセント上がりそうかという見通し（期待収益率）を、2パーセント、8パーセント、15パーセントと変えてみます。見通しが変われば、オプション単体の値動きも、株の値動きも、大きく変わります。2パーセントのときの値動きの速さはマイナス1.4ほど、15パーセントのときは6.9ほどで、符号すら違います。

ところが、オプションを持ちつつ株を適切な量だけ売るポートフォリオを組むと、どの見通しを使っても値動きの速さはマイナス2.66で一致します。期待収益率の影響は、オプション側と株側で正確に同じ大きさになっていて、差し引くと跡形もなく消えるのです。

これは偶然ではありません。ランダムな揺れを打ち消すために株の量を合わせると、見通しの部分もちょうど同じ量だけ含まれているので、自動的に消えます。残ったポートフォリオはランダム性を失い、銀行預金と同じ速さでしか動けなくなります。この「銀行預金と同じ速さ」を数式に書き下すと、オプション価格が満たすべき方程式が現れます。

1. 動機 ― ヘッジするとリスクはどこへ行くのか

この回を読み終えると、デルタヘッジからブラック・ショールズ方程式を自分で導くことができます。

オプションの価格を求めたいとします。第67回で、原資産が幾何ブラウン運動に従う世界の仮定を整えました。今回はその仮定のもとで、価格が満たすべき偏微分方程式を導きます。

やることは単純です。デリバティブと原資産を組み合わせてポートフォリオを作り、伊藤の補題で展開し、ブラウン運動の項（拡散項）を打ち消します。すると残るのは確定的な項だけで、そのポートフォリオは無リスクになります。無裁定なら、無リスクのポートフォリオは無リスク金利で成長するしかありません。この条件が偏微分方程式になります。

驚くべきことに、この方程式には原資産の期待収益率 $\mu$ が現れません。「株がどれだけ上がりそうか」という見通しが、オプション価格に一切影響しないのです。これは偶然ではなく、ヘッジによって $\mu$ を含む項が相殺されたことの帰結です。今回はこの消滅を式変形の中で1行ずつ追います。

この記事で証明すること

• THM-PDE-1 原資産が幾何ブラウン運動に従うとき、デリバティブ価格は時間と原資産価格についての2階の偏微分方程式を満たします。
• THM-PDE-2 デルタヘッジによって拡散項が打ち消され、残った項が確定的になります。この段階で原資産の期待収益率 $\mu$ が式から消えます。
• THM-PDE-3 満期のペイオフが終端条件を与えます。商品の違いはこの条件だけに現れ、方程式そのものは共通です。

2. 設定と仮定 ― 原資産とデリバティブでポートフォリオを組む

第67回の7つの仮定をすべて使います。ここに改めて書き出します。

• 原資産は幾何ブラウン運動に従います。$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$。
• ボラティリティ $\sigma$ は一定です。
• 取引コスト・税がなく、空売りに制約がありません。
• 連続的に取引でき、任意の量を売買できます。
• 無リスク金利 $r$ は一定で、借入と貸出の金利が等しいです。
• 原資産は配当を払いません。
• オプションはヨーロピアン型です。

これに加えて、デリバティブの価格 $V$ が時間 $t$ と原資産価格 $S$ の関数として $V=V(t,S)$ と書け、$t$ について1回、$S$ について2回連続微分可能（$C^{1,2}$ 級）であると仮定します。

ポートフォリオの構成. デリバティブを1単位ロングし、原資産を $\Delta$ 単位ショートしたポートフォリオを考えます。

$$\Pi =V-\Delta S\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

$\Delta$ の値はこれから決めます。目標は、$\Pi$ が瞬間的に無リスクになるような $\Delta$ を見つけることです。

自己資金調達. ポートフォリオを組み替えるとき、外部から資金を入れたり抜いたりしません。$\Pi$ の変化は、保有している資産の価格変動だけから生じます。

$$d\Pi =dV-\Delta dS\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

この2つの式が出発点です。

3. 主張 ― 価格は偏微分方程式を満たす

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-PDE-1（ブラック・ショールズ方程式） 原資産が $d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$ に従い、デリバティブ価格 $V(t,S)$ が $C^{1,2}$ 級であるとき、無裁定条件のもとで $V$ は次の偏微分方程式を満たす。

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

定理 THM-PDE-2（ドリフトが消えること） $\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}$ と選ぶと、ポートフォリオ $\Pi =V-\Delta S$ の変化 $d\Pi$ から $d{W}_t$ の項が消え、$d\Pi$ は確定的になる。このとき $\mu$ を含む項も同時に消える。

定理 THM-PDE-3（終端条件） (3.1) の解は、$S$ について高々多項式の速さでしか増えない $C^{1,2}$ 級の解の範囲で、終端条件 $V(T,S)=h(S)$ によって一意に定まる。$h(S)$ は満期のペイオフであり、コールなら $h(S)=\max (S-K,0)$、プットなら $h(S)=\max (K-S,0)$ である。方程式 (3.1) 自体はペイオフの形に依存しない。

方程式 (3.1) がブラック・ショールズ方程式です。$\mu$ がどこにも現れていないことを確認してください。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 伊藤の補題を当てて拡散項を消す

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第3回「偏微分、全微分、多変数のテイラー展開」、数学編 第26回「偏微分方程式入門」、数学編 第27回「境界条件と終端条件」、数学編 第28回「変数変換で熱方程式に帰着する」へ。

THM-PDE-2 の証明（拡散項の消滅）

$V(t,S)$ が $C^{1,2}$ 級なので、伊藤の補題を適用できます。$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$ を代入すると

$$\begin{array}{rl}dV& =\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}(dS{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

となります。ここで $(dS{)}^2$ を計算します。伊藤の計算規則 $(dW{)}^2=dt$、$dt\cdot dW=0$、$(dt{)}^2=0$ を使うと

$$\begin{array}{rl}(dS{)}^2& =(\mu Sdt+\sigma SdW{)}^2\\ & ={\mu }^2{S}^2(dt{)}^2\\ & +2\mu \sigma S^{2}dtdW\\ & +{\sigma }^2{S}^2(dW{)}^2\\ & ={\sigma }^2{S}^{2}dt\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

となります。$(dt{)}^2$ と $dt\cdot dW$ の項が消えるのは、$dt$ が $dW$ より高次の無限小だからです（数学編 M27）。

(4.2) を (4.1) に代入します。

$$\begin{array}{rl}dV& =\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS\\ & +\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}dt\end{array}$$

ここで $dS=\mu Sdt+\sigma SdW$ を代入して展開します。

$dt$ の項と $dW$ の項をまとめます。各項の役割を見やすくするためです。

$$\begin{array}{rl}dV& =(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}\\ & +\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})dt\\ & +\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dW\end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

ここで (1.2) の $d\Pi =dV-\Delta dS$ に (4.3) と $dS=\mu Sdt+\sigma SdW$ を代入します。

$$\begin{array}{rl}d\Pi & =(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}\\ & +\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})dt\\ & +\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dW\\ & -\Delta (\mu Sdt+\sigma SdW)\end{array}$$

$dW$ の係数を取り出します。

$$dW\text{ の係数}=\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}-\Delta \sigma S=\sigma S(\frac{\partial V}{\partial S}-\Delta )$$

この係数をゼロにするには

$$\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

と選べば十分です。これがデルタヘッジです。 $\Delta$ を価格の $S$ に関する偏微分と等しくすることで、$dW$ の項、すなわちランダムな変動が完全に消えます。

$\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}$ を代入すると、$dt$ の係数からも $\mu S\frac{\partial V}{\partial S}$ と $\Delta \mu S=\mu S\frac{\partial V}{\partial S}$ が相殺します。残るのは

$$d\Pi =(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})dt\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

です。右辺に $dW$ がありません。$d\Pi$ は確定的です。そして $\mu$ も消えています。 ∎

$\mu$ が消えた理由を整理します。$dV$ の展開には $\mu S\frac{\partial V}{\partial S}dt$ という項が現れます。一方、$\Delta dS$ にも $\Delta \mu Sdt$ が現れます。$\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}$ と選んだ瞬間、この2つは完全に一致して打ち消し合います。$\mu$ を消すために特別な操作をしたのではなく、拡散項（$dW$）を消すためにデルタを合わせた結果、ドリフト（$\mu$）も消えたのです。

THM-PDE-1 の証明（方程式の導出）

(4.5) より $d\Pi$ は確定的です。$\Pi$ は無リスクなポートフォリオですから、無裁定のもとでは無リスク金利 $r$ で成長するしかありません。裁定機会を許さないためです。

$$d\Pi =r\Pi dt\text{\hspace{1em}(4.6)}$$(1.1)

$$(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})dt=r(V-S\frac{\partial V}{\partial S})dt$$

両辺を $dt$ で割ります。$dt>0$ なので割れます。

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}=rV-rS\frac{\partial V}{\partial S}$$

右辺の項を左辺に移項して整理します。

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0$$

これが (3.1) のブラック・ショールズ方程式です。 ∎

数値で検算します。 $S_0=100$、$K=100$、$T=1$、$r=0.05$、$\sigma =0.20$ のコールオプションで、各偏微分の値を計算し、方程式の左辺が0になることを確かめます。

$$\begin{array}{rl}& V=10.4506,\frac{\partial V}{\partial S}=0.6368,\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}=0.018762,\\ & \frac{\partial V}{\partial t}=-6.4140\end{array}$$

方程式の左辺を計算します。

$$\begin{array}{rl}& -6.4140+\frac{1}{2}\times 0.04\times 10000\times 0.018762\\ & +0.05\times 100\times 0.6368-0.05\times 10.4506\\ & =-6.4140+3.7524+3.1840-0.5225\\ & =0.0000\end{array}$$

残差は $0.0$ です。方程式が成り立っています。

THM-PDE-3 の証明（終端条件）

方程式 (3.1) は $V(t,S)$ の偏微分方程式です。解を一意に決めるには境界条件が要ります。

$t=T$（満期）ではデリバティブの価値はペイオフそのものです。

$$V(T,S)=h(S)\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

コールオプションなら $h(S)=\max (S-K,0)$、プットオプションなら $h(S)=\max (K-S,0)$ です。

一意性を確かめます。$x=\ln S$、$\tau =T-t$ と置き、$V=e^{\alpha x+\beta \tau }w(\tau ,x)$ の形に定数 $\alpha ,\beta$ を選ぶと、(3.1) は定数係数の熱方程式 $\partial w/\partial \tau =\frac{1}{2}{\sigma }^2{\partial }^{2}w/\partial x^2$ に、終端条件 (4.7) は $\tau =0$ での初期条件に変わります（数学編 M28）。$V$ が $S$ について高々多項式の速さで増えることは、$w$ が $x$ について高々指数関数の速さで増えることに対応します。熱方程式の初期値問題は、$|w|\le A{e}^{a{x}^2}$ の形の増大条件を満たす解の範囲で一意です（ティホノフの一意性定理）。$V$ と $w$ は1対1に対応するので、$V$ も一意です。増大の条件を外すと、初期値がゼロでも急増するゼロでない解が作れるため、この条件は外せません。

方程式 (3.1) の係数は $\sigma ,r,S$ だけで決まり、$h(S)$ には依存しません。したがって異なる商品であっても、満たすべき方程式は同じです。違いは終端条件 (4.7) だけに現れます。 ∎

$S_0=100$、$K=100$ での終端条件を具体的に並べます。

$S_T$	コールのペイオフ $\max (S_T-K,0)$	プットのペイオフ $\max (K-S_T,0)$
60	0	40
80	0	20
100	0	0
120	20	0
140	40	0

コールの価格は $10.4506$、プットの価格は $5.5735$ と異なりますが、どちらも方程式 (3.1) の残差は $0.0$ です。ガンマ（${\partial }^{2}V/\partial S^2$）はコールもプットも $0.018762$ で同じ値です。

5. 反例 ― 満期では滑らかさが失われる

CEX-PDE-1: 満期のペイオフは折れ線

方程式 (3.1) を導くとき、$V(t,S)$ が $C^{1,2}$ 級であることを仮定しました。しかし満期 $t=T$ ではペイオフ $h(S)=\max (S-K,0)$ が折れ線になります。$S=K$ で傾きが不連続に変わり、二階微分（ガンマ）が定義できません。

$S=K=100$ のまわりで、満期における数値的な二階微分と、満期1日前のガンマを比較します。

$S$	満期でのペイオフ	満期でのガンマ（数値的）	満期1日前のガンマ
95	0	0	0.0001
99	0	0	0.2368
100	0	100	0.3166
101	1	0	0.2255
105	5	0	0.0002

$S=100$ の行を見てください。差分近似で計算した「ガンマ」が $100$ と異常に大きな値になっています。これはペイオフの折れが $S=K$ に集中しているためで、刻み幅を小さくするとさらに大きくなります。数学的にはデルタ関数（$S=K$ でのみ無限大、それ以外でゼロ）です。$C^{1,2}$ 級の仮定はここで破れます。

一方、満期の1日前では、ガンマは有限の滑らかな値を取っています。満期より前ではブラウン運動の拡散が価格を滑らかにするのです。$C^{1,2}$ の仮定は $t<T$ で成り立ち、$t=T$ の瞬間に崩れます。

CEX-PDE-2: 自己資金調達を破る

ポートフォリオが自己資金調達であること、つまり外部から資金の出入りがないことは、(1.2) の $d\Pi =dV-\Delta dS$ の前提です。

もし単位時間あたり $q$ の資金を外部から注入するなら、(4.6) は

$$d\Pi =r\Pi dt+qdt$$

に変わります。この余分な $q$ が方程式に入り込み、(3.1) は

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=q$$

となります。右辺がゼロでなくなるので、もとの方程式とは別の方程式です。

数値で確認します。$q=1.0$ のとき、ポートフォリオの価値は $\Pi =-53.2325$ です。ブラック・ショールズ価格を代入すると、自己資金調達の方程式の左辺は $0.0$ です。同じ価格を $q=1.0$ の方程式に代入すると、左辺から右辺を引いた値は $-1.0$ になり、$q$ の分だけずれます。

CEX-PDE-3: 期待収益率が消えるのは偶然ではない

「$\mu$ が方程式から消えたのはたまたまではないか」という疑いを数値で潰します。$\mu$ を $2\%,8\%,15\%$ と変えて、ヘッジ後のポートフォリオ変化率を計算します。

$dV$ を伊藤の補題で展開したときの $dt$ の係数は $\mu$ に依存します。$\Delta dS$ の $dt$ の係数も $\mu$ に依存します。しかし差し引くと $\mu$ の項が相殺されます。

$\mu$	$dV$ の $dt$ 係数	$\Delta dS$ の $dt$ 係数	$d\Pi$ の $dt$ 係数
2%	$-1.3880$	$1.2737$	$-2.6616$
8%	$2.4330$	$5.0946$	$-2.6616$
15%	$6.8908$	$9.5525$	$-2.6616$

$dV$ の $dt$ 係数と $\Delta dS$ の $dt$ 係数は $\mu$ によって大きく変わります。$\mu =2\%$ のとき $-1.3880$、$\mu =15\%$ のとき $6.8908$ と、符号すら変わっています。しかし差を取った $d\Pi$ の $dt$ 係数は、3つとも $-2.6616$ で完全に一致します。

$\mu$ に依存する部分はちょうど $\mu S\frac{\partial V}{\partial S}$ であり、$dV$ にも $\Delta dS$ にも同じ大きさで含まれています。デルタヘッジはこの項を相殺するために設計されたものではありませんが、拡散項（$dW$）を消す目的で $\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}$ と選んだ結果、ドリフトも消えます。これは偶然ではなく、拡散項とドリフトが同じ $\Delta$ の値で同時に消える構造になっているのです。

そして $r\Pi =0.05\times (-53.2325)=-2.6616$ ですから、$d\Pi /dt=r\Pi$ が成り立っています。無裁定の条件そのものです。

6. 数値例 ― 期待収益率を変えても方程式が変わらないこと

$S_0=100$、$K=100$、$T=1$、$r=0.05$、$\sigma =0.20$ のコールで確かめます。

ポートフォリオの構成. デルタヘッジのポートフォリオは

$$\begin{array}{rl}\Pi & =V-\Delta S\\ & =10.4506-0.6368\times 100\\ & =-53.2325\end{array}$$

です。$\Pi$ が負であるのは、原資産のショートポジションが大きいためです。

拡散項の消滅. ある瞬間の $dW=0.015707$ に対して

$dV$ の拡散項は

$$\begin{array}{rl}& \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dW\\ & =0.20\times 100\times 0.6368\times 0.015707\\ & =0.200060\end{array}$$

$\Delta dS$ の拡散項は

$$\begin{array}{rl}& \Delta \sigma SdW\\ & =0.6368\times 0.20\times 100\times 0.015707\\ & =0.200060\end{array}$$

完全に一致しています。差を取ると $0$ です。$dW$ がどんな値を取っても、この一致は保たれます。$\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}$ と選んだことで、$dW$ の係数が構造的にゼロになるからです。

確定的な変化. 拡散項が消えた後、$d\Pi$ に残るのは

$$\begin{array}{rl}d\Pi & =(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2})dt\\ & =(-6.4140+3.7524)\times 0.001\\ & =-0.002662\end{array}$$

です。一方、無リスク金利での成長は

$$r\Pi dt=0.05\times (-53.2325)\times 0.001=-0.002662$$

です。両者は一致しています。方程式 (3.1) が数値的にも成り立っていることを確認できました。

ガンマの発散. 満期に近づくにつれ、ATM（$S=K$）でのガンマがどう変化するかを見ます。

残存期間 $\tau$	営業日数	ガンマ $\Gamma$	デルタ $\Delta$
1.0	252	0.018762	0.6368
0.5	126	0.027359	0.5977
0.1	25	0.062693	0.5441
0.01	2.5	0.199349	0.5140
0.001	0.3	0.630744	0.5044
0.0001	0.0	1.994699	0.5014

$\tau \to 0$ でガンマは際限なく大きくなります。ATM での近似式は $\Gamma \approx \frac{1}{S\sigma \sqrt{2\pi \tau }}$ で、$\tau =0.0001$ での近似値 $1.99$ は厳密値 $1.99$ と一致しています。

ガンマが大きくなるとヘッジの感度が急激に変わり、離散的にしか取引できない現実では完全なヘッジが不可能になります。方程式 (3.1) の $\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\Gamma$ の項が爆発し、ヘッジに必要な調整頻度が無限大に向かいます。連続ヘッジの仮定が最も厳しくなる場面です。

一方、デルタは $\tau \to 0$ で $0.5$ に収束しています。ATM のコールでは、満期の瞬間にわずかでも $S>K$ なら $\Delta =1$、$S<K$ なら $\Delta =0$ ですが、その直前では「五分五分」の $0.5$ に近づきます。

7. 次回へ ― 期待値を取る道筋

今回はデルタヘッジという物理的な操作から偏微分方程式を導きました。次回（第69回）では、まったく別の角度から同じ方程式にたどり着きます。リスク中立測度のもとで期待値を取る道筋です。

次のマイルストーンまであと 9 本です。

よくある質問

なぜ期待収益率が消えるのですか

デルタヘッジで原資産の動きを打ち消したからです。打ち消した後には見通しが残りません。

この方程式は何と同じですか

変数変換すると熱方程式になります。物理で古くから解かれてきた方程式です。

商品ごとに方程式は変わりますか

変わりません。変わるのは満期の条件だけです。

参考文献

1. Black F. and Scholes M.、The Pricing of Options and Corporate Liabilities、Journal of Political Economy、1973年、DOI 10.1086/260062
2. Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

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数値例は compute.py により float 演算で検算済み。乱数のシード42を固定。本文中の小数は4桁で丸めている。