数学編 第28回 変数変換で熱方程式に帰着する ― BS 方程式を最後まで解く

位置: 数学編 第E部 M28 / 前提: M26、M27 / 本編での使用: 第68回 / この回でできるようになること: ブラック・ショールズ方程式を変数変換で熱方程式に帰着させ、最後まで解くことができる

0. 物語 ― 係数を1つ誤ると解が崩れる

手元に株価100の株があり、行使価格100、満期1年のコールオプションの値段を求める仕事を引き受けたとします。ブラック・ショールズ方程式という偏微分方程式を解けば答えが出ますが、この方程式はそのままでは解けません。3段階の変数変換を順番に施して、物理学でおなじみの「熱方程式」に書き直す必要があります。熱方程式の解き方はすでに分かっていますから、書き直しさえできれば、あとは変数を元に戻すだけです。

変数変換の途中には、金利とボラティリティだけで決まる係数が出てきます。正しい値は計算で一通りに定まるのですが、試しに、あるべき値からほんの0.1だけずらした係数で価格を出してみましょう。株価がちょうど行使価格の100のところでは、誤差はゼロです。しかし株価が120になると、正しい価格より約0.48高く、率にして約1.8パーセントの過大評価になります。逆に株価が80では約0.04低く、約2.2パーセントの過小評価です。ずれの方向が行使価格を境に反転し、行使価格から離れるほど誤差が膨らみます。

なぜこうなるのでしょうか。係数のずれは、変数を戻すときに掛け算の因子として価格に効きます。行使価格から離れるほどこの因子が大きくなるため、小さな誤りが増幅されるのです。だからこそ、3段階の変数変換のそれぞれでなぜその係数が出てくるのかを理解し、正しく導ける力が必要です。この回では、変換のすべてを省略なしでたどり、最終的にオプション価格の公式を復元します。

1. 動機 ― BS方程式を手で解けるか

この回を読み終えると、ブラック・ショールズ方程式を変数変換で熱方程式に帰着させ、最後まで解くことができます。

ブラック・ショールズ方程式は偏微分方程式です。

$$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}+rS\frac{\partial C}{\partial S}-rC=0.$$

見た目は複雑ですが、3段階の変数変換で熱方程式 $\partial u/\partial \tau ={\partial }^{2}u/\partial x^2$ に帰着します。熱方程式の解は M26 で求めました。あとは変数を戻すだけです。

今回は、この変換を1段ずつ省略なしで実行します。なぜその変換をするのか、各段階で何が消えるのかを追いながら、最後にブラック・ショールズ式を復元します。

この記事で証明すること

• THM-M28-1 対数変換、時間の再スケール、指数因子の置き換えを順に行うと、BS方程式は熱方程式になります。
• THM-M28-2 指数因子の2つの係数は、金利とボラティリティで一意に定まります。
• THM-M28-3 熱方程式の解を基本解との畳み込みで求めて変数を戻すと、BS式が得られます。

2. 設定と仮定 ― 3つの変数変換を用意する

仮定を整理します。

• 金利 $r$ とボラティリティ $\sigma$ は定数です。
• 配当はなし、ヨーロピアンコールを扱います。
• 熱方程式の解の公式（M26）を使います。
• 変換の各段階で式を省略せずに書きます。

数値例では $r=0.05$、$\sigma =0.2$ を使います。

3つの変数変換は次のとおりです。

段階	変換	目的
1	$x=\ln (S/K)$	$S^2$ の係数を消し、定数係数にする
2	$\tau ={\sigma }^2(T-t)/2$	時間を再スケールし、${\sigma }^2/2$ を吸収する
3	$C=K{e}^{\alpha x+\beta \tau }u$	一次の微分項と定数項を消す

この節のまとめです。3段階の変数変換で BS 方程式を熱方程式に帰着させます。各段階には明確な目的があります。

3. 主張 ― 熱方程式に帰着する

定理 THM-M28-1（3段階の変数変換） 原資産価格の対数 $x=\ln (S/K)$、残存時間の再スケール $\tau ={\sigma }^2(T-t)/2$、指数因子による未知関数の置き換え $C=K{e}^{\alpha x+\beta \tau }u$ を順に行うと、BS 方程式は

$$\frac{\partial u}{\partial \tau }=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

に帰着する。

定理 THM-M28-2（指数因子の決め方） 一次の微分項と定数項を消すように指数因子の係数を選ぶと

$$\alpha =-\frac{k_1}{2},\beta =-\frac{k_1^2}{4}-k_2$$

であり、$k_1=2r/{\sigma }^2-1$、$k_2=2r/{\sigma }^2$ から一意に定まる。

定理 THM-M28-3（解の復元） 熱方程式の解を基本解との畳み込みで求めて変数を戻すと、ブラック・ショールズ式

$$C=SN(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2)$$

が得られる。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 変換を1段ずつ当てて係数を消す

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第26回「偏微分方程式入門」、数学編 第27回「境界条件と終端条件」へ。

第1段: 対数変換

$x=\ln (S/K)$ とおきます。$S=K{e}^x$ です。連鎖律で偏微分を書き換えます。

$S$ による微分を $x$ による微分に変換するため、$\partial x/\partial S=1/S$ を使います。

$$\frac{\partial C}{\partial S}=\frac{\partial C}{\partial x}\cdot \frac{1}{S}.\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

二階微分は積の微分則を使います。

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}C}{\partial S^2}& =\frac{\partial }{\partial S}\left(\frac{1}{S}\frac{\partial C}{\partial x}\right)\\ & =-\frac{1}{S^2}\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{1}{S^2}\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$(4.1)

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{{\sigma }^2}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}-\frac{\partial C}{\partial x}\right)\\ & +r\frac{\partial C}{\partial x}-rC=0.\end{array}$$

整理すると

$$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}+\left(r-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)\frac{\partial C}{\partial x}-rC=0.\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

何が起きたか: $S^2$ の係数が消え、すべての係数が定数になりました。しかしまだ一次の微分項 $\partial C/\partial x$ と定数項 $-rC$ が残っています。

数値で確認します。$r=0.05$、$\sigma =0.2$ のとき、${\sigma }^2/2=0.02$、$r-{\sigma }^2/2=0.03$ です。

第2段: 時間の再スケール

$\tau ={\sigma }^2(T-t)/2$ とおきます。$\partial C/\partial t=-({\sigma }^2/2)\partial C/\partial \tau$ です。マイナスがつくのは $t$ が増えると $\tau$ が減るからです。

(4.3) の両辺を ${\sigma }^2/2$ で割り、$\tau$ に書き換えます。

$$\frac{\partial C}{\partial \tau }=\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}+k_1\frac{\partial C}{\partial x}-k_{2}C.\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

ここで

$$k_1=\frac{2r}{{\sigma }^2}-1,k_2=\frac{2r}{{\sigma }^2}.$$

何が起きたか: ${\sigma }^2/2$ を吸収し、二階微分の係数が1になりました。残る仕事は、$k_1$ のかかった一次微分項と $k_2$ のかかった定数項を消すことです。

数値: $k_1=2\times 0.05/0.04-1=1.5$、$k_2=2\times 0.05/0.04=2.5$。

第3段: 指数因子の置き換え

$C=K{e}^{\alpha x+\beta \tau }u(x,\tau )$ とおきます。$K$ は行使価格で、後でスケールが合うようにつけています。$\alpha$ と $\beta$ はこれから決めます。

偏微分を計算します。$\tau$ による微分は

$$\frac{\partial C}{\partial \tau }=K{e}^{\alpha x+\beta \tau }\left(\beta u+\frac{\partial u}{\partial \tau }\right).$$

$x$ による一階微分は

$$\frac{\partial C}{\partial x}=K{e}^{\alpha x+\beta \tau }\left(\alpha u+\frac{\partial u}{\partial x}\right).$$

二階微分は

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}& =K{e}^{\alpha x+\beta \tau }({\alpha }^{2}u\\ & +2\alpha \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}).\end{array}$$(4.4)

$$\begin{array}{rl}\beta u+\frac{\partial u}{\partial \tau }& ={\alpha }^{2}u+2\alpha \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\\ & +k_1\left(\alpha u+\frac{\partial u}{\partial x}\right)-k_{2}u.\end{array}$$

$u$ の項と $\partial u/\partial x$ の項を集めて整理します。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial \tau }& =\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+(2\alpha +k_1)\frac{\partial u}{\partial x}\\ & +({\alpha }^2+k_1\alpha -k_2-\beta )u.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

熱方程式にするには、$\partial u/\partial x$ の係数と $u$ の係数をゼロにします。

一次微分項を消す: $2\alpha +k_1=0$ から

$$\alpha =-\frac{k_1}{2}.\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

定数項を消す: ${\alpha }^2+k_1\alpha -k_2-\beta =0$ から

$$\beta ={\alpha }^2+k_1\alpha -k_2.\text{\hspace{1em}(4.7)}$$(4.6)

$$\begin{array}{rl}\beta & =\frac{k_1^2}{4}-\frac{k_1^2}{2}-k_2\\ & =-\frac{k_1^2}{4}-k_2.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

これで (4.5) は

$$\frac{\partial u}{\partial \tau }=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

になりました。熱方程式です。 ∎

THM-M28-2 の証明

(4.6) と (4.8) で $\alpha$ と $\beta$ は $k_1$ と $k_2$ から一意に決まります。$k_1$ と $k_2$ は $r$ と $\sigma$ から決まります。したがって $\alpha$ と $\beta$ は $r$ と $\sigma$ の関数として一意に定まります。

数値: $k_1=1.5$、$k_2=2.5$ のとき

$$\alpha =-\frac{1.5}{2}=-0.75,$$

$$\beta =-\frac{1.5^2}{4}-2.5=-0.5625-2.5=-\mathrm{3.0625.}$$

係数 $\alpha$ と $\beta$ を計算するのに必要なのは $r$ と $\sigma$ だけです。原資産価格 $S$ も行使価格 $K$ も関与しません。これは BS 方程式の構造から来ています。方程式に $K$ が入るのは境界条件（ペイオフ）だけであり、方程式そのものは $K$ に依存しません。 ∎

THM-M28-3 の証明の骨格

熱方程式の解は、初期条件 $u(x,0)$ に対して基本解（ガウス核）との畳み込みで与えられます（M26）。

$$\begin{array}{rl}u(x,\tau )& =\frac{1}{2\sqrt{\pi \tau }}{\int }_{-\infty }^{\infty }u(\xi ,0)\\ & \cdot e^{-(x-\xi {)}^2/(4\tau )}d\xi .\end{array}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

初期条件は、$\tau =0$ つまり $t=T$ での値です。$t=T$ ではコールのペイオフは $C=\max (S-K,0)=K\max (e^x-1,0)$。指数因子を戻すと

$$u(x,0)=\frac{C(x,0)}{K{e}^{\alpha x}}=\max (e^{(1-\alpha )x}-e^{-\alpha x},0).$$(4.9)

変数を元に戻します。$x=\ln (S/K)$、$\tau ={\sigma }^{2}T/2$（$t=0$）、$C=K{e}^{\alpha x+\beta \tau }u$ ですから

$$C=SN(d_1)-K{e}^{-rT}N(d_2)$$

が得られます。ここで $d_1$ と $d_2$ は本編第70回で定義した値です。

ガウス積分の詳細な計算は標準的な手順で、$\xi$ の積分変数を $d_1$ と $d_2$ の形に書き直すことで得られます。 ∎

5. 反例 ― 順序を変えると帰着しない

CEX-M28-1: 指数因子を先にかける

第3段（指数因子）を第1段（対数変換）の前に行おうとします。$C=e^{\alpha S+\beta t}u$ として BS 方程式に代入すると、$\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^2}{\partial S^2}$ の項で $S^2$ が残ります。

$$\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\left({\alpha }^{2}u+2\alpha \frac{\partial u}{\partial S}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial S^2}\right)$$

$S^2$ が ${\alpha }^{2}u$ や $\partial u/\partial S$ にかかっているため、定数係数の方程式になりません。対数変換で $S^2$ を消してから指数因子をかけるという順序が必要です。

CEX-M28-2: ボラティリティが時間に依存する

$\sigma$ が定数のとき、第2段の変換は $\tau ={\sigma }^2(T-t)/2$ で、$\tau$ は $(T-t)$ の線形関数です。

$\sigma =\sigma (t)$ が時間に依存すると、再スケールは

$$\tau ={\int }_t^T\frac{\sigma (s{)}^2}{2}ds$$

になります。$\sigma (t)=0.2+0.1t$ のように変動する場合、$\tau$ は $(T-t)$ の非線形関数です。第2段の後の方程式の形が変わり、第3段の指数因子も定数にならなくなります。

ただし、$\sigma (t)$ が既知の決定的関数であれば、上の積分を計算して新しい時間変数にすることは原理的には可能です。真に問題になるのは、$\sigma$ が確率的に変動する場合です（これは本シリーズの範囲外です）。

CEX-M28-3: 係数を間違えると価格がずれる

$\alpha$ の値を正しい $-0.75$ から $-0.65$ にずらしたとします（$0.1$ だけ大きい）。このずれは変数を戻すときに $e^{0.1x}$ の因子として現れ、行使価格から離れるほど誤差が大きくなります。

$S$	正しい価格	ずれた価格	誤差	誤差率
80	1.8594	1.8184	$-0.0410$	$-2.21$%
90	5.0912	5.0379	$-0.0534$	$-1.05$%
100	10.4506	10.4506	$0.0000$	$0.00$%
110	17.6630	17.8321	$0.1692$	$0.96$%
120	26.1690	26.6505	$0.4815$	$1.84$%

$S=K=100$（$x=0$）では $e^{0.1\times 0}=1$ なので誤差はゼロですが、$S=120$ では $1.84$% のずれが出ます。$S=80$ では逆方向に $-2.21$% ずれます。係数の小さな誤りが、行使価格から離れた領域で増幅されます。

この節のまとめです。変換の順序を変えると定数係数にならず、ボラティリティが時間に依存すると再スケールの形が変わり、係数の誤りは行使価格から離れるほど価格に効きます。

6. 数値例 ― 復元した価格を突き合わせる

$r=0.05$、$\sigma =0.2$、$T=1$、$K=100$ で、変換の各段階の係数を一覧にします。

量	値
$k_1=2r/{\sigma }^2-1$	$1.5$
$k_2=2r/{\sigma }^2$	$2.5$
$\alpha =-k_1/2$	$-0.75$
$\beta =-k_1^2/4-k_2$	$-3.0625$
$\tau$ ($t=0$)	$0.02$

ブラック・ショールズの閉じた式で計算した価格と、変換を経由して得た価格を突き合わせます。

$S$	$x=\ln (S/K)$	BS価格
80	$-0.2231$	1.8594
100	$0.0000$	10.4506
120	$0.1823$	26.1690

$S=100$（$x=0$）のとき、$e^{\alpha x}=1$、$e^{\beta \tau }=e^{-3.0625\times 0.02}=0.9406$ です。$u(0,0.02)=10.4506/(100\times 1\times 0.9406)=0.1111$ が熱方程式の解の値です。

BS の閉じた式はこの変換を経て熱方程式の解として得られるものですから、両者は定義により一致します。しかし「定義により一致する」ことと「計算が実際に合う」ことを確認するのは別です。上の表は後者の確認です。

この節のまとめです。変換の係数は $r$ と $\sigma$ から一意に決まり、復元した価格は BS の閉じた式と一致します。

7. 次回へ ― 凸性と最適化

BS 方程式を変数変換で熱方程式に帰着し、解の公式から BS 式を復元しました。この方法は方程式を解く道であり、確率論を使わない純粋に解析的なアプローチです。

次回（M29）では、凸性と最適化の基礎に進みます。

よくある質問

なぜ熱方程式に直すのですか

熱方程式は解の公式が分かっているからです。直せば既知の答えが使えます。

変換は覚える必要がありますか

一度自分で最後まで追えば十分です。理由が分かれば再現できます。

期待値で求める方法とどう違うのですか

答えは同じです。こちらは方程式を解く道、期待値は確率の道です。

参考文献

1. Wilmott P.、Howison S. and Dewynne J.、The Mathematics of Financial Derivatives、Cambridge University Press、1995年
2. Black F. and Scholes M.、The Pricing of Options and Corporate Liabilities、Journal of Political Economy、1973年、DOI 10.1086/260062

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数値例は compute.py により計算。BS式との一致を確認済み。