第59回(a) 伊藤の補題はなぜ項が増えるのか ― 二次変分が消えないということ

当ページのリンクには広告も含まれています。

2026年9月25日

第59回(a) 伊藤の補題はなぜ項が増えるのか ― 二次変分が消えないということ

位置: 第6部第59回(a) / 前提: 第56回、第57回、第58回 / 数学編: M2, M3, M4, M21 / この回でできるようになること: 伊藤の補題で普通の連鎖律より項が1つ増える理由を、二次変分から説明できる

0. 物語 ― 普通の連鎖律で計算すると期待値が合わない

大学院に入ったばかりの学生が、ブラウン運動の二乗について計算をしました。高校や大学で学んだ連鎖律をそのまま当てはめて、二乗の微小変化を「外側の微分かける内側の微分」で書き下したのです。

ここまでは普通の微積分と同じ手順です。ところが、この式の両辺を区間全体にわたって足し合わせ、平均を取ると、おかしなことが起こります。左辺は「ブラウン運動の二乗の平均」で、時間の長さと等しくなるはずです。時間が1なら平均は1です。一方、右辺にはブラウン運動を被積分関数に含む特殊な積分が現れます。この積分の平均はゼロになることが知られています。

つまり左辺は1、右辺は0。イコールで結んだはずの両辺が食い違いました。

学生の計算手順に間違いはありません。問題は、連鎖律そのものにあります。ブラウン運動はあまりにも粗い動きをするので、微小な変化を二乗して足し合わせたものがゼロに潰れません。滑らかな関数なら潰れるこの「二乗の合計」が、ブラウン運動では時間の長さという有限の値として残ります。

この残った分だけ、連鎖律に項を1つ足さなければなりません。足した式で計算し直すと、左辺も右辺もきちんと1になり、矛盾は消えます。

普通の微積分で育った直感は、ブラウン運動の前では修正が必要です。この回では、なぜ項が増えるのかを「二乗の合計が消えない」ことから証明し、修正された連鎖律――伊藤の補題――を導きます。

1. 動機 ― なぜ連鎖律に項が1つ増えるのか

この回を読み終えると、伊藤の補題で普通の連鎖律より項が1つ増える理由を、二次変分から説明できます。

高校や大学で学ぶ微分の連鎖律では、 $f (x (t))$ の微分は $f^{'} (x) \cdot x^{'} (t)$ で済みます。合成関数を微分するとき、外側と内側の微分を掛けるだけです。

ところがブラウン運動 $W_{t}$ に滑らかな関数 $f$ を合成すると、もう1項が加わります。連鎖律では出てこなかった「 $\frac{1}{2} f^{''}$ の項」です。なぜ項が増えるのか。答えは1行です。ブラウン運動があまりに粗いので、微小変化の二乗の合計が消えずに残るからです。

滑らかな関数 $g (t) = t$ の変化量を二乗して足し合わせると、分割を細かくするにつれて合計は $0$ に潰れます。ところがブラウン運動の変化量を二乗して足し合わせると、分割をどれだけ細かくしても合計が $0$ にならず、一定の値 $T$ に収束します。この「消えない二乗和」が、連鎖律に項を追加する犯人です。

今回は、この二乗和（二次変分）が $T$ に収束することを証明し、そこから伊藤の補題を形式的に導きます。確率積分の厳密な定義は次回 59b に送ります。ここでは確率積分の存在を認めた上で、なぜ通常の連鎖律が壊れるかの直観を掴むことに集中します。

この記事で証明すること

THM-ITO1-1 区間 $[0, T]$ の分割を細かくしていくと、ブラウン運動の増分の二乗和は $T$ に $L^{2}$ 収束します。
THM-ITO1-2 $f$ が $t$ に1回、 $x$ に2回連続微分可能なとき、 $f (t, W_{t})$ の微小変化には $\frac{1}{2} \partial_{xx} f$ の項が加わります。これが伊藤の補題です。
THM-ITO1-3 $d W \cdot d W = d t$ という乗法表は THM-ITO1-1 の言い換えであり、それ以上の意味を持ちません。

2. 設定と仮定 ― ブラウン運動と、2回微分できる関数

以下の仮定を本記事全体で置きます。

$W = (W_{t})_{t \geq 0}$ は標準ブラウン運動です。 $W_{0} = 0$ とします。
$f : [0, T] \times R \to R$ は、 $t$ について1回、 $x$ について2回連続微分可能とします（ $C^{1, 2}$ 級）。
区間 $[0, T]$ の分割 $Π$ は $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = T$ と書き、刻み幅の最大を $∥ Π ∥ = max_{i} (t_{i + 1} - t_{i})$ とします。
収束は $L^{2}$ の意味です。すなわち $X_{n} \to X$ とは $E [∣ X_{n} - X ∣^{2}] \to 0$ を意味します。
確率積分 $\int_{0}^{T} g (t) d W_{t}$ の存在はこの回では認めて使います。定義と厳密な主張は次回 59b に送ります。
二次変分 $[W]_{T}$ の収束は本編57で既出です。ここでは伊藤の補題の導出に必要な形で証明し直します。

これらの仮定は、THM-ITO1-1 から THM-ITO1-3 まで全てに共通です。

3. 主張 ― 二次変分は消えない

分割 $Π : 0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = T$ に対し、ブラウン運動の増分を $Δ W_{i} = W_{t_{i + 1}} - W_{t_{i}}$ と書きます。

定理 THM-ITO1-1（ブラウン運動の二次変分） $∥ Π ∥ \to 0$ のとき、

$i = 0 \sum n - 1 (Δ W_{i})^{2} L^{2} T .$
すなわち $[W]_{T} = T$ である。

二次変分の記法 $[W]_{T}$ は notation.md に従います。この定理が「ブラウン運動は粗い」ことの定量的な表現です。滑らかな関数ならこの和は $0$ に潰れますが（CEX-ITO1-2 で確認します）、ブラウン運動では $T$ という有限の値に留まります。

定理 THM-ITO1-2（伊藤の補題・形式的導出） $f \in C^{1, 2} ([0, T] \times R)$ に対し、

$d f (t, W_{t}) = (\partial_{t} f + \frac{1}{2} \partial_{xx} f) d t + \partial_{x} f d W_{t} . (3.1)$

通常の連鎖律なら $d f = \partial_{t} f d t + \partial_{x} f d W_{t}$ で終わるところに、 $\frac{1}{2} \partial_{xx} f d t$ が加わっています。この追加項は、 $(d W_{t})^{2}$ が $d t$ として生き残ることから来ます。

定理 THM-ITO1-3（微分の乗法表） 形式的に次の規則が成り立つ。

$d W \cdot d W = d t, d W \cdot d t = 0, d t \cdot d t = 0. (3.2)$
これは THM-ITO1-1 の言い換えであり、それ以上の意味を持たない。

乗法表 (3.2) は計算を簡潔にするための記号の約束です。 $d W \cdot d W = d t$ の中身は「増分の二乗和が $T$ に $L^{2}$ 収束する」という THM-ITO1-1 そのものです。 $d t \cdot d t = 0$ と $d W \cdot d t = 0$ は、 $d t$ のオーダーが $d W$ のオーダーより高いこと（ $d t$ は $(d W)^{2}$ と同程度だが、 $(d t)^{2}$ や $d W \cdot d t$ はさらに小さい）に対応します。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 二乗和の期待値と分散を計算する

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第2回「テイラー展開」、数学編第3回「偏微分、全微分、多変数のテイラー展開」、数学編第4回「連鎖律を徹底的に」、数学編第21回「ブラウン運動で普通の積分ができない理由」へ。

THM-ITO1-1 の証明

$L^{2}$ 収束を示すには、

E (i = 0 \sum n - 1 (Δ W_{i})^{2} - T)^{2} \to 0

を証明すれば十分です。展開すると、期待値と分散を個別に計算する方が見通しが良くなります。まず

S_{n} := i = 0 \sum n - 1 (Δ W_{i})^{2}

と置きます。

ステップ1: 期待値の計算。

$Δ W_{i} = W_{t_{i + 1}} - W_{t_{i}}$ はブラウン運動の独立増分で、 $Δ W_{i} \sim N (0, Δ t_{i})$ です（ $Δ t_{i} = t_{i + 1} - t_{i}$ ）。正規分布の性質から

E [(Δ W_{i})^{2}] = Δ t_{i} (4.1)

が成り立ちます。二乗の期待値は分散に等しく、平均が $0$ だからです。これを全区間にわたって足し合わせると

E [S_{n}] = i = 0 \sum n - 1 Δ t_{i} = T . (4.2)

分割の仕方によらず、期待値はちょうど $T$ です。

ステップ2: 分散の計算。

$L^{2}$ 収束を示すには、 $S_{n}$ の分散が $0$ に潰れることを示せば十分です（期待値はすでに $T$ に一致しているので）。

Var (S_{n}) = Var (i = 0 \sum n - 1 (Δ W_{i})^{2}) .

$Δ W_{i}$ たちは独立ですから、 $(Δ W_{i})^{2}$ たちも独立です。したがって分散は足せます。

Var (S_{n}) = i = 0 \sum n - 1 Var ((Δ W_{i})^{2}) . (4.3)

$Δ W_{i} \sim N (0, Δ t_{i})$ のとき、 $(Δ W_{i})^{2} /Δ t_{i} \sim χ^{2} (1)$ （自由度1のカイ二乗分布）です。 $χ^{2} (1)$ の分散は $2$ ですから

Var ((Δ W_{i})^{2}) = 2 (Δ t_{i})^{2} . (4.4)

これを確認しておきます。 $Z \sim N (0, 1)$ とすると $E [Z^{4}] = 3$ （正規分布の4次モーメント）なので

Var (Z^{2}) = E [Z^{4}] - (E [Z^{2}])^{2} = 3 - 1 = 2.

$Δ W_{i} = Δ t_{i} Z$ ですから $(Δ W_{i})^{2} = (Δ t_{i}) Z^{2}$ となり、 $Var ((Δ W_{i})^{2}) = (Δ t_{i})^{2} \cdot 2$ が得られます。

(4.3) と (4.4) を合わせると

Var (S_{n}) = i = 0 \sum n - 1 2 (Δ t_{i})^{2} . (4.5)

ステップ3: 分散が 0 に潰れることの確認。

各 $Δ t_{i} \leq ∥ Π ∥$ ですから

Var (S_{n}) = 2 i = 0 \sum n - 1 (Δ t_{i})^{2} \leq 2 ∥ Π ∥ i = 0 \sum n - 1 Δ t_{i} = 2 ∥ Π ∥ \cdot T . (4.6)

分割の刻み幅の最大 $∥ Π ∥$ を上界として括り出しました。 $\sum Δ t_{i} = T$ は常に成り立つ定数です。 $∥ Π ∥ \to 0$ のとき右辺は $0$ に収束します。

特に等分割 $Δ t_{i} = T / n$ の場合、

Var (S_{n}) = 2 n \cdot \frac{T ^{2}}{n ^{2}} = \frac{2 T ^{2}}{n} (4.7)

となり、分割数 $n$ に反比例して減ります。

ステップ4: $L^{2}$ 収束のまとめ。

E [(S_{n} - T)^{2}] = Var (S_{n}) + (E [S_{n}] - T)^{2} = Var (S_{n}) . (4.8)

$E [S_{n}] = T$ なのでバイアス項は $0$ です。(4.6) より $Var (S_{n}) \leq 2 ∥ Π ∥ T \to 0$ 。したがって $S_{n} L^{2} T$ が示されました。 ∎

THM-ITO1-2 の導出（形式的）

テイラーの定理を2次の項まで適用します。 $f \in C^{1, 2}$ なので

f (t + Δ t, x + Δ x) - f (t, x) = \partial_{t} f \cdot Δ t + \partial_{x} f \cdot Δ x + \frac{1}{2} \partial_{tt} f \cdot (Δ t)^{2} + \partial_{t x} f \cdot Δ t \cdot Δ x + \frac{1}{2} \partial_{xx} f \cdot (Δ x)^{2} + (高次項) . (4.9)

通常の微分では $Δ x$ が $Δ t$ と同じオーダーなので、2次以上の項はすべて無視できます。しかしブラウン運動では事情が違います。 $Δ x = Δ W$ とすると、THM-ITO1-1 から $(Δ W)^{2}$ は $Δ t$ と同じオーダーで、 $0$ に潰れません。具体的には

$(Δ W)^{2} \sim Δ t$ （THM-ITO1-1 より、二乗和が $T$ に収束するため）
$(Δ t)^{2} \sim (Δ t)^{2}$ （ $Δ t$ より高次なので無視できます）
$Δ t \cdot Δ W$ （ $Δ W \sim Δ t$ なので $Δ t \cdot Δ W \sim (Δ t)^{3/2}$ となり、 $Δ t$ より高次で無視できます）

したがって (4.9) で生き残るのは1次の項と $\frac{1}{2} \partial_{xx} f \cdot (Δ W)^{2}$ だけです。 $(Δ W)^{2}$ を $Δ t$ に置き換えると

Δ f \approx \partial_{t} f \cdot Δ t + \partial_{x} f \cdot Δ W + \frac{1}{2} \partial_{xx} f \cdot Δ t .

$Δ t$ の項をまとめて微分の記法で書くと (3.1) が得られます。

d f = (\partial_{t} f + \frac{1}{2} \partial_{xx} f) d t + \partial_{x} f d W_{t} .

これが伊藤の補題です。通常の連鎖律との違いは $\frac{1}{2} \partial_{xx} f d t$ の項だけです。この項は $(d W)^{2} = d t$ から来ています。

この導出は「形式的」と呼ばれます。 $(Δ W)^{2}$ を $Δ t$ に「置き換えた」ステップは直観的には正しいのですが、和から積分への極限操作を厳密に正当化するには確率積分の理論が必要です。それは 59b で扱います。

THM-ITO1-3 の説明

乗法表 (3.2) は、THM-ITO1-2 の導出で使ったオーダーの議論をまとめたものです。

$d W \cdot d W = d t$ は、THM-ITO1-1 の主張そのものです。増分の二乗和が時間の長さに収束するという定理を、微分記号で書き直しただけです。

$d W \cdot d t = 0$ は、 $Δ W \cdot Δ t$ の和が $0$ に収束することに対応します。 $∣Δ W_{i} ∣ \cdot Δ t_{i} \leq ∣Δ W_{i} ∣ \cdot ∥ Π ∥$ ですから、 $\sum ∣Δ W_{i} ∣$ が有限（実際は発散しますが、 $∥ Π ∥$ が先に $0$ に行くので積は $0$ に収束します）の範囲で和は潰れます。厳密には $E [(\sum Δ W_{i} \cdot Δ t_{i})^{2}] \leq ∥ Π ∥^{2} T \to 0$ を示せます。

$d t \cdot d t = 0$ は、 $\sum (Δ t_{i})^{2} \leq ∥ Π ∥ \cdot T \to 0$ から従います。これは確定的な不等式で、確率論は不要です。

乗法表は覚えやすい記憶術ですが、中身はすべて THM-ITO1-1 とオーダー評価に還元されます。

5. 反例 ― 普通の連鎖律を使うと期待値が合わない

CEX-ITO1-1: 通常の連鎖律を使うと期待値が矛盾する

$f (x) = x^{2}$ としてブラウン運動 $W_{t}$ に適用します。

通常の連鎖律を使うと $d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t}$ です。両辺を $[0, T]$ で積分して期待値を取ります。

E [W_{T}^{2}] = E [2 \int_{0}^{T} W_{t} d W_{t}] .

左辺は $E [W_{T}^{2}] = T$ です（ $W_{T} \sim N (0, T)$ の分散）。

右辺の確率積分 $\int_{0}^{T} W_{t} d W_{t}$ の期待値は $0$ です（確率積分はマルチンゲールで、期待値が保存されるため）。したがって右辺は $0$ です。

T = 0 ??

矛盾です。通常の連鎖律はブラウン運動には使えません。

伊藤の補題を使うと、 $f (x) = x^{2}$ に対して $\partial_{t} f = 0$ , $\partial_{x} f = 2 x$ , $\partial_{xx} f = 2$ ですから

d (W_{t}^{2}) = 2 W_{t} d W_{t} + \frac{1}{2} \cdot 2 d t = 2 W_{t} d W_{t} + d t .

両辺を積分して期待値を取ると

E [W_{T}^{2}] = 0 + T = T . (5.1)

左辺 $= 1$ 、右辺 $= 0 + 1 = 1$ （ $T = 1$ のとき）。整合します。追加項 $d t$ がなければ辻褄が合わないのです。

CEX-ITO1-2: 滑らかな関数では追加項が出ない

「二次変分が消えなければ項が増える」と対になる確認として、滑らかな関数 $g (t) = t$ の二次変分を計算します。

分割 $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = T$ で増分は $Δ t_{i} = t_{i + 1} - t_{i}$ です。二乗和は

i = 0 \sum n - 1 (Δ t_{i})^{2} .

等分割 $Δ t_{i} = T / n$ の場合

i = 0 \sum n - 1 \frac{T ^{2}}{n ^{2}} = \frac{T ^{2}}{n} .

分割数 $n$	二乗和
10	0.1
100	0.01
1000	0.001
10000	0.0001

分割を細かくすると $0$ に潰れます。したがって滑らかな関数の二次変分は $0$ であり、テイラー展開の2次の項は消えます。通常の連鎖律がそのまま使えるのは、この「二次変分が $0$ 」という性質のおかげです。

粗さが本質であることが対比で見えます。ブラウン運動は粗いから二次変分が残り、項が増えます。滑らかな関数は粗くないから二次変分が消え、項は増えません。

CEX-ITO1-3: 二次変分の収束は標本路ごとではない

THM-ITO1-1 の収束は $L^{2}$ 収束です。これは「平均二乗の意味で $T$ に近づく」ということであり、1本1本の標本路で必ず $T$ に収束する（各点収束する）ことは保証していません。

分割の取り方を変えると、同じ標本路に対して二乗和の値がばらつきます。 $n = 100$ の分割点を一様分割とランダム分割で比べた数値例を示します。

分割の種類	二乗和
一様分割	1.122227
ランダム分割 1	1.384443
ランダム分割 2	1.092459
ランダム分割 3	1.126668
ランダム分割 4	1.14543
ランダム分割 5	1.108014

同じ標本路でも分割の取り方で値が変わります。分割列を細分（前の分割に点を追加していく列）に取れば標本路ごとの収束が保証されますが、任意の分割列では保証されません。 $L^{2}$ 収束は「ほとんどの標本路で」とは異なる概念であることに注意してください。

6. 数値例 ― 分割を細かくして二乗和が T に寄るのを見る

乱数のシードを固定して $T = 1$ の標準ブラウン運動を1本生成し、分割数 $n$ を変えて二次変分（増分の二乗和）と一次変分（増分の絶対値の和）を計算します。

二次変分は T に収束する

分割数 $n$	二乗和 $\sum (Δ W_{i})^{2}$	理論値 $T$
10	1.553684	1
100	1.122227	1
1000	0.998581	1
10000	1.012716	1

分割を細かくするにつれ、二乗和は $T = 1$ の周りに集まっていきます。

一次変分は発散する

| 分割数 $n$ | 絶対値の和 $\sum ∣Δ W_{i} ∣$ | |—|—| | 10 | 3.322483 | | 100 | 8.327995 | | 1000 | 25.47028 | | 10000 | 79.882204 |

一次変分（経路の「長さ」）は $n$ を増やすほど増え続けます。ブラウン運動の経路は有界変動ではなく、長さが無限大であることが見えます。二乗和は $T$ に留まるのに、絶対値の和は発散する。これが「粗いが、粗さに秩序がある」というブラウン運動の特徴です。

二乗和の分散は 2T²/n に一致する

(4.7) の理論値 $Var (S_{n}) = 2 T^{2} / n$ をモンテカルロで検証します。 $n = 100$ 、50000 回のシミュレーションを行いました。

	値
二乗和の平均	0.999386
二乗和の経験分散	0.019873
理論分散 $2 T^{2} / n$	0.02

経験分散と理論値がよく一致しています。分散が $n$ に反比例して減ることが、 $L^{2}$ 収束の裏付けです。

W_T の二乗と 2 倍の確率積分の差が T に近づく

伊藤の補題から $W_{T}^{2} = 2 \int_{0}^{T} W_{t} d W_{t} + T$ ですから、 $W_{T}^{2} - 2 \int_{0}^{T} W_{t} d W_{t} = T$ のはずです。左端和で確率積分を近似し、差が $T = 1$ に近づくことを確認します。

分割数 $n$	$W_{T}^{2}$	$2 \sum W_{t_{i}} Δ W_{i}$	差
10	1.050599	$-$0.503084	1.553684
100	1.050599	$-$0.071628	1.122227
1000	1.050599	0.052019	0.998581
10000	1.050599	0.037883	1.012716

差は $n$ が増えるにつれて $T = 1$ に近づいています。 $n = 10$ では $1.553684$ と大きくずれていますが、 $n = 10000$ では $1.012716$ まで寄りました。伊藤の補題が予測する $T = 1$ への収束が、数値的にも確認できます。

この節の数値はすべて compute.py からの出力です。乱数のシード（42）を固定しているため、同じスクリプトを実行すれば同じ結果が再現されます。

7. 次回へ ― 記号の約束を定理にする

今回は「 $d W \cdot d W = d t$ 」という規則の中身を見ました。増分の二乗和が $T$ に $L^{2}$ 収束すること（THM-ITO1-1）が全ての出発点で、伊藤の補題（THM-ITO1-2）と乗法表（THM-ITO1-3）はそこから従います。

しかし今回の導出は「形式的」でした。テイラー展開で $(Δ W)^{2}$ を $Δ t$ に置き換えるステップを、和から積分への極限として正当化していません。次回 59b では、確率積分の定義から出発して、伊藤の補題を定理として証明します。記号の約束を定理に格上げする回です。

次のマイルストーンまであと 20 本です。

よくある質問

なぜ普通の微分の連鎖律が使えないのですか

ブラウン運動は細かく見るととても粗く、二乗した変化の合計が消えずに残るからです。滑らかな関数ではこれが消えます。

dW の二乗が dt になるというのは等式ですか

そのままでは記号の約束です。中身は、二乗和が時間に収束するという定理です。

追加の項は必ずプラスになりますか

二階微分の符号で決まります。上に凸な関数なら差し引かれます。

参考文献

Itô K.、Stochastic Integral、Proceedings of the Imperial Academy、1944年、DOI 10.3792/pia/1195572786
Øksendal B.、Stochastic Differential Equations、第6版、Springer、2003年
Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

数値例は compute.py により計算済み（乱数シード42で再現可能）。