第66回ファインマン・カッツの公式 ― 期待値と偏微分方程式を結ぶ橋

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2026年9月25日

位置: 第6部第66回 / 前提: 第59回、第61回 / 数学編: M26、M27 / この回でできるようになること: オプション価格を期待値の計算と偏微分方程式の解の両方から求め、一致を確かめることができる

0. 物語 ― 終端条件と初期条件を取り違える

オプションの価格を求めるとき、方程式を解く方法と、ランダムな動きの平均を取る方法の2つがあることをご存知でしょうか。どちらで計算しても同じ答えが出ます。では、なぜ同じになるのか、考えたことはありますか。

実は、この一致には「時間の向き」という見落としやすい条件が隠れています。

具体的な例で見てみます。ある量が時刻ゼロに1の位置から出発して、ランダムに動きます。1秒後にその量の二乗を受け取る約束です。正しいやり方は、1秒後の「二乗を受け取る」という約束を出発点にして、時間をさかのぼって今の価値を求めることです。このとき答えは2になります。

ところが、ここで向きを間違える人がいます。「二乗」を今この瞬間の条件だと思い込み、時間を前向きに走らせてしまうのです。すると1秒後の値はやはり2になりますが、1秒後に受け取るはずの約束の値は1です。2と1は一致しません。

この食い違いの原因は単純です。方程式と平均が同じ答えを出すための橋は、「未来の約束から過去へさかのぼる」という向きで架かっています。向きを逆にすると橋の両端がずれて、2つの道がつながらなくなります。

今回扱うファインマン・カッツの公式は、まさにこの橋そのものです。方程式を解く道と平均を取る道が、なぜ、どんな条件のもとで同じ答えを返すのか。その仕組みを、時間の向きを間違えたときに何が壊れるかも含めて、証明の全体を追いかけます。

1. 動機 ― 2つの道具が同じ答えを出すのはなぜか

この回を読み終えると、オプション価格を期待値の計算と偏微分方程式の解の両方から求め、一致を確かめることができます。

第59回で伊藤の補題を学び、第61回で確率微分方程式の基礎を見ました。今回はこの2つの道具を使って、偏微分方程式の解がなぜ期待値として書けるのかを証明します。これがファインマン・カッツの公式です。

2つの道が同じ答えを出す理由は、伊藤の補題がちょうどその橋を架けるからです。ある関数に伊藤の補題を当てると偏微分方程式が出て、逆に期待値を取るとマルチンゲールの性質が使えます。今回はこの仕組みを、証明の各段階を飛ばさずに追いかけます。

この記事で証明すること

THM-FK-1 ある偏微分方程式の解は、対応する確率過程に沿った終端条件の条件付き期待値として表せます。逆に、その期待値は偏微分方程式を満たします。
THM-FK-2 方程式に定数の割引項が加わると、期待値の側には割引因子 $e^{- r (T - t)}$ が現れます。
THM-FK-3 この公式により、偏微分方程式を解く道筋と期待値を計算する道筋が同じ答えを与えることが分かります。

2. 設定と仮定 ― 偏微分方程式と確率過程を並べる

証明に入る前に、登場する道具を全て並べます。

時刻 $t \in [0, T]$ 、空間変数 $x \in R$ 。
係数 $μ (t, x)$ と $σ (t, x)$ は十分滑らかで、対応する確率微分方程式の解の存在と一意性は仮定します。
終端条件 $g : R \to R$ は与えられた関数です。
技術的な可積分条件は満たされているものとします。
数値実験では乱数のシードを固定します。

確率過程の側では、次の確率微分方程式を考えます。

d X_{s} X_{t} = μ (s, X_{s}) d s + σ (s, X_{s}) d W_{s}, = x . (1.1)

ここで $W_{s}$ は標準ブラウン運動です。時刻 $t$ に位置 $x$ を出発し、時刻 $T$ まで動きます。

偏微分方程式の側では、次の方程式を考えます。

\frac{\partial u}{\partial t} (t, x) + μ (t, x) \frac{\partial u}{\partial x} (t, x) + \frac{1}{2} σ (t, x)^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (t, x) = 0, (1.2)

終端条件 $u (T, x) = g (x)$ つきです。

(1.1) の過程と (1.2) の方程式を見比べてください。 $μ$ と $σ$ が同じ位置に現れています。これは偶然ではなく、伊藤の補題が両者をつなぐ構造の表れです。

割引項つきの場合は、方程式が次のように変わります。

\frac{\partial u}{\partial t} + μ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} σ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - r u = 0, (1.3)

終端条件は同じく $u (T, x) = g (x)$ です。ここで $r$ は定数です。

この節の要点は、確率過程 (1.1) と偏微分方程式 (1.2)（および (1.3)）が同じ係数 $μ, σ$ を共有していることです。

3. 主張 ― 解は期待値として書ける

定理 THM-FK-1（ファインマン・カッツの公式） $u (t, x)$ が偏微分方程式 (1.2) の終端条件 $u (T, x) = g (x)$ つきの十分滑らかな解であるとする。このとき

$u (t, x) = E [g (X_{T}) ∣ X_{t} = x] (2.1)$
が成り立つ。ここで $X_{s}$ は確率微分方程式 (1.1) の解である。逆に、右辺の期待値を $u (t, x)$ と定義し、それが十分滑らか（ $C^{1, 2}$ 級）で $σ > 0$ ならば、 $u$ は (1.2) を満たす。

定理 THM-FK-2（割引項の扱い） $u (t, x)$ が割引項つきの偏微分方程式 (1.3) の終端条件 $u (T, x) = g (x)$ つきの解であるとする。このとき

$u (t, x) = E [e^{- r (T - t)} g (X_{T}) ∣ X_{t} = x] . (2.2)$

定理 THM-FK-3（2通りの導出の同値性） THM-FK-1 により、(1.2) を偏微分方程式として解いた $u (t, x)$ と、(1.1) に沿って期待値を計算した結果は一致する。したがって、偏微分方程式を解く道筋と期待値を計算する道筋は同じ答えを与える。

3つの定理は、2つの道具がなぜ同じ答えを出すのかを、段階を追って述べたものです。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 解に伊藤の補題を当てる

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第26回「偏微分方程式入門」、数学編第27回「境界条件と終端条件」へ。

THM-FK-1 の証明（PDE の解 → 期待値表現）

$u (t, x)$ を (1.2) の解とします。確率過程 $X_{s}$ は (1.1) に従い、 $X_{t} = x$ から出発します。合成関数 $u (s, X_{s})$ に伊藤の補題を当てることで、 $u$ と $X_{s}$ の関係を引き出します。

伊藤の補題により、 $s \in [t, T]$ で

d u (s, X_{s}) = \frac{\partial u}{\partial s} d s + \frac{\partial u}{\partial x} d X_{s} + \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (d X_{s})^{2} . (3.1)

$(d X_{s})^{2}$ を展開します。 $d X_{s} = μ d s + σ d W_{s}$ なので、伊藤の計算規則 $(d W_{s})^{2} = d s$ 、 $d s d W_{s} = 0$ 、 $(d s)^{2} = 0$ を使うと

(d X_{s})^{2} = σ (s, X_{s})^{2} d s . (3.2)

(3.2)

d u (s, X_{s}) = \frac{\partial u}{\partial s} d s + \frac{\partial u}{\partial x} (μ d s + σ d W_{s}) + \frac{1}{2} σ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} d s = (\frac{\partial u}{\partial s} + μ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} σ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}) d s + σ \frac{\partial u}{\partial x} d W_{s} . (3.3)

$u$ は (1.2) の解ですから、 $d s$ の係数は (1.2) の左辺そのものであり、ゼロです。これが核心です。偏微分方程式を満たしているからこそ、 $d s$ の項が消えます。したがって

d u (s, X_{s}) = σ (s, X_{s}) \frac{\partial u}{\partial x} (s, X_{s}) d W_{s} . (3.4)

右辺はブラウン運動 $d W_{s}$ の項だけです。(3.4) を $s = t$ から $s = T$ まで積分します。

u (T, X_{T}) - u (t, X_{t}) = \int_{t}^{T} σ (s, X_{s}) \frac{\partial u}{\partial x} (s, X_{s}) d W_{s} . (3.5)

右辺は伊藤積分です。可積分条件のもとで、伊藤積分の期待値はゼロになります。これは伊藤積分がマルチンゲールであることの直接の帰結です（M27 参照）。両辺の条件付き期待値を取ると

E [u (T, X_{T}) ∣ X_{t} = x] - u (t, x) = 0. (3.6)

左辺の第2項は $X_{t} = x$ のもとで確定値なので、期待値を取ってもそのままです。終端条件 $u (T, x) = g (x)$ を使うと $u (T, X_{T}) = g (X_{T})$ ですから

u (t, x) = E [g (X_{T}) ∣ X_{t} = x] .

これが (2.1) です。

THM-FK-1 の証明（期待値 → PDE の解）

逆向きを示します。 $u (t, x) := E [g (X_{T}) ∣ X_{t} = x]$ と定義し、これが (1.2) を満たすことを導きます。

$t < s \leq T$ に対し、マルコフ性から

E [g (X_{T}) ∣ X_{s}] = u (s, X_{s}) . (3.7)

したがって $u (s, X_{s})$ はマルチンゲールです。なぜなら、 $t \leq s_{1} < s_{2} \leq T$ に対して

E [u (s_{2}, X_{s_{2}}) ∣ F_{s_{1}}] = E [E [g (X_{T}) ∣ X_{s_{2}}] ∣ F_{s_{1}}] = E [g (X_{T}) ∣ F_{s_{1}}] = u (s_{1}, X_{s_{1}})

が繰り返し期待値の性質から成り立つからです。

$u$ が $C^{1, 2}$ 級であると仮定して、(3.3) のように伊藤の補題で書き下します。 $u (s, X_{s})$ から伊藤積分の項を引いた残り $\int_{t}^{s} (\dots) d r$ は、マルチンゲールどうしの差なのでマルチンゲールであり、しかも経路が有限変動で連続です。連続で有限変動なマルチンゲールは定数なので、この $d s$ の積分は恒等的にゼロで、 $d s$ の係数は各時刻で $X_{s}$ の値においてゼロです。 $σ > 0$ なので $X_{s}$ は $x$ の近くのどの点にも正の確率で到達し、係数は連続なので、 $d s$ の係数はすべての点でゼロ、すなわち

\frac{\partial u}{\partial s} + μ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} σ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = 0

が成り立ちます。これは (1.2) そのものです。 ∎

証明の要点をまとめます。PDE の解に伊藤の補題を当てると、PDE を満たすおかげで $d s$ の項が消えて伊藤積分だけが残ります。伊藤積分の期待値はゼロなので、期待値表現が得られます。逆方向は、期待値から定義した関数がマルチンゲールになることを使い、 $d s$ の項がゼロであることから PDE が導かれます。

THM-FK-2 の証明

割引項つきの方程式 (1.3) を扱います。鍵となるのは、割引因子を含む新しい関数を作ることです。

$v (s, X_{s}) := e^{- r (s - t)} u (s, X_{s})$ とおきます。 $v$ に伊藤の補題を当てるために、まず $e^{- r (s - t)}$ と $u (s, X_{s})$ の積を微分します。積の微分公式を使います。

d v = d (e^{- r (s - t)}) u + e^{- r (s - t)} d u + d (e^{- r (s - t)}) d u .

$e^{- r (s - t)}$ は有限変動過程なので、最後の項（二次変分の項）はゼロです。 $d (e^{- r (s - t)}) = - r e^{- r (s - t)} d s$ ですから

d v = e^{- r (s - t)} (- r u d s + d u) . (3.8)

(3.3)

d v = e^{- r (s - t)} [(\frac{\partial u}{\partial s} + μ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} σ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - r u) d s + σ \frac{\partial u}{\partial x} d W_{s}] .

$u$ が (1.3) を満たすので、 $d s$ の係数はゼロです。割引項 $- r u$ がちょうど吸収されました。したがって

d v = e^{- r (s - t)} σ (s, X_{s}) \frac{\partial u}{\partial x} (s, X_{s}) d W_{s} . (3.9)

THM-FK-1 と同じ構造です。 $s = t$ から $s = T$ まで積分して期待値を取ると、伊藤積分の期待値はゼロなので

E [v (T, X_{T}) ∣ X_{t} = x] = v (t, x) .

左辺は $v (T, X_{T}) = e^{- r (T - t)} u (T, X_{T}) = e^{- r (T - t)} g (X_{T})$ 、右辺は $v (t, x) = e^{0} u (t, x) = u (t, x)$ ですから

u (t, x) = E [e^{- r (T - t)} g (X_{T}) ∣ X_{t} = x] .

これが (2.2) です。割引項が方程式に入ると、期待値の側に割引因子 $e^{- r (T - t)}$ が現れることが、計算で確認できました。 ∎

THM-FK-3 の証明

THM-FK-1 は双方向の対応を証明しました。すなわち：

(1.2) の解 $u (t, x)$ は、(1.1) に沿った期待値 $E [g (X_{T}) ∣ X_{t} = x]$ に等しい。
逆に、その期待値を $u (t, x)$ と定義すれば (1.2) を満たす。

したがって、偏微分方程式を解いて得た $u (t, x)$ と、確率過程に沿って期待値を計算して得た値は一致します。2つの道は同じ終点にたどり着きます。

割引項がある場合も同様で、THM-FK-2 により (1.3) の解と割引付き期待値 (2.2) が一致します。

この同値性こそが「ファインマン・カッツの橋」と呼ばれるものです。実用上は、方程式が解きやすいか期待値が計算しやすいかで、都合の良い方を選べます。 ∎

5. 反例 ― 向きを間違えると一致しない

CEX-FK-1: 二階の項の係数が負の場合

「どんな偏微分方程式にも確率的な表現がある」と思うのは誤りです。ファインマン・カッツの公式が使えるのは、(1.2) の $\frac{1}{2} σ^{2}$ が非負のときに限ります。

もし二階の項の係数が負、たとえば $σ^{2} = - 1$ だとすると

\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{1}{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = 0

となります。これは「逆向きの熱方程式」です。対応する確率微分方程式を作ろうとすると $d X_{s} = - 1 d W_{s}$ となり、 $σ = - 1$ は実数ではないので過程が定義できません。

方程式そのものは書けますが、確率過程の側の道が存在しないため、ファインマン・カッツの橋は架かりません。 $σ^{2} \geq 0$ という条件は、方程式が「前向きの拡散」であることの表れです。

CEX-FK-2: 時間の向きを逆にすると一致しない

ファインマン・カッツの公式は終端条件を持つ後退型の方程式に対するものです。時間の向きを間違えると答えが合わなくなります。

具体的に見ます。 $μ = 0$ 、 $σ = 1$ （標準ブラウン運動）、 $g (x) = x^{2}$ とします。

正しい使い方（後退型）: 終端条件 $u (T, x) = x^{2}$ を課し、時刻 $t = 0$ での値を求めます。厳密解は

u (0, x) = E [X_{T}^{2} ∣ X_{0} = x] = x^{2} + T .

$x = 1$ 、 $T = 1$ で $u (0, 1) = 2.0$ です。

誤った使い方（前向き）: $u (0, x) = x^{2}$ を「初期条件」として前向きに解くと、熱方程式の解は $u (T, x) = x^{2} + T$ です。 $x = 1$ 、 $T = 1$ で $u (1, 1) = 2.0$ となります。

しかしこれは終端条件 $g (1) = 1^{2} = 1.0$ と一致しません。 $2.0 \neq = 1.0$ です。

初期条件を $g (x) = x^{2}$ として前向きに走らせた解は、時刻 $T$ で $g (x)$ に戻りません。ファインマン・カッツの公式は「終端条件から後ろ向きに解く」構造なので、時間の向きを逆にすると対応が崩れます。

CEX-FK-3: モンテカルロが常に有利とは限らない

ファインマン・カッツの公式は「期待値として計算できる」ことを保証しますが、モンテカルロ法が常に効率的とは限りません。

1次元の熱方程式（ $g (x) = x^{2}$ 、 $T = 1$ 、 $x = 1$ ）を2通りで解きます。

差分法: 空間分割 $N_{x} = 200$ 、時間分割 $N_{t} = 200$ で陽的差分法を適用します。計算量は $N_{x} \times N_{t} = 40000$ 演算です。得られた値は $2.0$ 、誤差は $0.0$ です。

モンテカルロ法: $N = 100000$ パスで計算すると、値は $1.998646$ 、誤差は $0.001354$ です。計算量は $100000$ パスです。

差分法は 40000 演算で厳密解にほぼ一致する一方、モンテカルロ法は 100000 パスを使っても誤差が残ります。次元が低いときは格子を使う差分法のほうが効率的です。

ただし次元が上がると差分法の格子点数は指数的に増えるため、多次元の問題ではモンテカルロ法が有利になります。この使い分けがファインマン・カッツの公式の実用的な意義です。

この節の要点は、公式の成立には条件があること、そして計算手法の選択は問題の性質に依存することです。

6. 数値例 ― 熱方程式を2通りで解く

ファインマン・カッツの公式を、具体的な数値で検証します。

設定: $μ = 0$ 、 $σ = 1$ （標準ブラウン運動）、 $T = 1$ 、 $x_{0} = 1$ 、終端条件 $g (x) = x^{2}$ 。

割引なしの場合

厳密解は $u (0, 1) = 1^{2} + 1 = 2.0$ です。

モンテカルロ法で $E [g (X_{T}) ∣ X_{0} = 1]$ を計算します。 $X_{T} = x_{0} + W_{T}$ で、 $W_{T} \sim N (0, 1)$ です。標本数を増やしながら誤差の縮み方を見ます。

標本数 $N$	モンテカルロ推定値	誤差
100	1.499183	0.500817
1,000	1.964063	0.035937
10,000	2.004244	0.004244
100,000	1.998646	0.001354
1,000,000	2.001369	0.001369

個々の誤差は乱数に左右されるので、表の値は規則正しくは縮みません。誤差の目安である標準誤差は $Var (X_{T}^{2}) / N = 6/ N$ で、 $N = 100$ で $0.244949$ 、 $N = 1, 000, 000$ で $0.002449$ と、標本数を 100 倍にするごとに 10 分の 1 になります。表の誤差はいずれもこの目安の約 2 倍以内に収まっており、モンテカルロ法の誤差が $O (1/ N)$ であることと整合します。100 万パスで厳密解 $2.0$ とほぼ一致しました。

割引項つきの場合

割引率 $r = 0.05$ とします。厳密解は $u (0, 1) = e^{- 0.05} \times 2.0 = 1.902459$ です。

モンテカルロ法で $E [e^{- r T} g (X_{T}) ∣ X_{0} = 1]$ を計算します。

標本数 $N$	モンテカルロ推定値	誤差
100	1.875413	0.027046
1,000	1.983586	0.081127
10,000	1.899218	0.003240
100,000	1.902620	0.000161
1,000,000	1.902364	0.000095

割引因子をつけても、標本数を増やせば厳密解 $1.902459$ に収束します。THM-FK-2 が数値で確認できました。

差分法との比較

1次元問題で差分法（空間 200 分割、時間 200 分割）を使うと、40000 演算で誤差 $0.0$ の結果が得られます。一方モンテカルロ法は 100000 パスでも誤差 $0.001354$ が残ります。

低次元では差分法が圧倒的に効率的です。ファインマン・カッツの公式は「期待値で書ける」という理論的な保証を与えますが、実際にどちらの道で計算するかは問題の次元で決まります。

この節の要点は、ファインマン・カッツの公式が数値的にも成り立つこと、そして次元に応じた計算手法の選択が重要であることです。

7. 次回へ ― ブラック・ショールズの仮定を並べる

ファインマン・カッツの公式は、偏微分方程式と期待値が同じ答えを出す理由を明らかにしました。次回（第67回）からは第7部に入り、この橋を実際に渡ります。具体的には、ブラック・ショールズ・モデルの仮定を全部並べるところから始めます。

この節の要点は、次回から始まるブラック・ショールズの議論で、ファインマン・カッツの公式が中心的な役割を果たすことです。

次のマイルストーンまであと 11 本です。

よくある質問

なぜ期待値が方程式を解くのですか

伊藤の補題で期待値を微分すると、ちょうどその方程式が現れるからです。

どちらで解くのが良いのですか

次元が低いなら方程式、高いなら期待値のほうが有利です。

この公式はどこで使いますか

ブラック・ショールズ式を2通りで導くときです。第68回と第69回で両方やります。

参考文献

Karatzas I. and Shreve S. E.、Brownian Motion and Stochastic Calculus、第2版、Springer、1991年
Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

数値例は compute.py によりモンテカルロ法（シード固定）で計算済み。