第10回最終利回りとは結局何なのか ― 価格から逆算される一つの数の正体

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2026年9月25日

位置: 第2部第10回 / 前提: 第9回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: 債券の最終利回りを価格から逆算し、その数字どおりには稼げない場合を説明できる

0. 物語 ― 最終利回りどおりに稼げない

額面100円、年5円のクーポンが付いた残り5年の債券が96円で売られていたら、利回りは何パーセントになるでしょうか。計算すると約5.95パーセントです。では、この債券を96円で買った人は、5年後に本当に年5.95パーセントずつ増えた分だけ受け取れるのでしょうか。

答えは「条件つき」です。毎年届く5円のクーポンを、届いたその日から満期まで、やはり年5.95パーセントで運用し続けられたときだけ、5年後の受取総額は約128円になります。96円を年5.95パーセントで5年間複利運用した金額とぴったり一致するのは、このときだけです。

では、届いたクーポンを2パーセントでしか運用できなかったらどうなるか。受取総額は約126円に下がり、96円に対する年率の実績リターンは約5.59パーセントにしかなりません。利回り5.95パーセントとの差は約0.36ポイントです。

利回りという数字は「すべてのクーポンを同じ利率で再運用できる」という前提を暗黙に含んでいます。前提が崩れれば、数字どおりには稼げません。5年の間に市場金利が動けばクーポンの再運用利率も変わりますから、この前提が現実に成り立つことはまずありません。

それでも利回りが広く使われるのは、条件の異なる債券を1つの数字で並べて比べるのに便利だからです。この回では、価格から利回りを逆算する方程式にちょうど1つの解が存在する条件を証明し、そのうえで「1つの数字に潰す」ことで何が見えなくなるかを確認します。

1. 動機 ― 利回り5パーセントと言われたら何がわかるのか

この回を読み終えると、債券の最終利回りを価格から逆算し、その数字どおりには稼げない場合を説明できます。

最終利回り（yield to maturity, YTM）とは、債券の将来キャッシュフローを1つの割引率で割り引いたとき、ちょうど市場価格に一致する、その割引率のことです。「この債券を今の価格で買い、すべてのキャッシュフローを満期まで同じ利率で運用できたら達成される年率リターン」とも言えますが、この「同じ利率で運用できたら」が曲者で、現実にはほぼ成り立ちません。

今回はこの数がどこから来るのかを正確に定義し、存在と一意性を証明し、そのうえで「何が言えて何が言えないか」を数値で確認します。

この記事で証明すること

THM-YTM-1 キャッシュフローがすべて非負で少なくとも1つが正のとき、価格を与える最終利回りは $y > - 1$ の範囲にただ1つ存在します。
THM-YTM-2 最終利回りで測った運用成果が実現するのは、途中のクーポンをすべて同じ利回りで再投資できた場合に限ります。
THM-YTM-3 各期のスポットレートが異なるとき、最終利回りはそれらのキャッシュフロー加重に近い平均になり、一般にはどのスポットレートとも一致しません。

2. 設定と仮定 ― 価格から利回りを逆算する問題

第9回で、債券の価格はキャッシュフローの現在価値の和であることを見ました。今回はその逆、価格が与えられたとき、割引率を逆算する問題を考えます。仮定を全部書き出します。

キャッシュフローは確定していて、支払時点も確定している。
すべてのキャッシュフローが非負で、少なくとも1つが正。
価格は正で、経過利子を含む。
複利は年1回。最終利回りは年率で表す。
信用リスクと途中償還は無い。

時点 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ にキャッシュフロー $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ が支払われる債券を考えます。ここでは簡単のため $t_{i} = i$ （年1回払い）とします。最終利回り $y$ とは、次の等式を満たす値です。

P = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + y ) ^{i}} (1.1)

ここで $P > 0$ は債券の市場価格、 $c_{i} \geq 0$ で少なくとも1つの $c_{i} > 0$ です。

右辺を $f (y)$ と書きます。

f (y) = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + y ) ^{i}} (1.2)

$f (y)$ は $y > - 1$ で定義された関数です。問題は「 $f (y) = P$ を満たす $y$ が存在するか、あるとすれば一つだけか」です。

この節のまとめ: 最終利回りとは、すべてのキャッシュフローを1つの利率で割り引いて価格に一致させる、その利率のことです。

3. 主張 ― 解はただ一つ、ただし条件つき

定理 THM-YTM-1（存在と一意性） キャッシュフロー $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ がすべて非負で少なくとも1つが正、かつ価格 $P > 0$ のとき、等式

$P = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + y ) ^{i}}$
を満たす $y > - 1$ がただ一つ存在する。

定理 THM-YTM-2（再投資の前提） 額面 $F$ 、クーポン $c > 0$ 、残存 $n \geq 2$ 年の債券を価格 $P$ で購入したとする。満期までに受け取るすべてのクーポンを年率 $y$ （最終利回り）で再投資できたとき、かつそのときに限り、投資額 $P$ に対する年率の実現リターンは $y$ に等しい。再投資利率が $y$ と異なれば、実現リターンも $y$ と異なる。

定理 THM-YTM-3（スポットレートの加重平均としての性格） 各期のスポットレートが $s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}$ であるとき、債券の正しい価格は

$P = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + s _{i} ) ^{i}}$
で与えられる。この $P$ から逆算した最終利回り $y$ は、一般にどの $s_{i}$ とも一致しない。 $y$ はスポットレートのキャッシュフロー加重に近い平均である。

この節のまとめ: 最終利回りの存在と一意性は、キャッシュフローがすべて非負であることに本質的に依存しています。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 単調性から一意性を出す

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-YTM-1 の証明

$f (y)$ の性質を3つ確認します。

性質1: $f$ は $y > - 1$ で連続。

$f (y)$ は $y > - 1$ で定義された有理関数の和です。各項 $c_{i} / (1 + y)^{i}$ は $y > - 1$ で連続ですから、有限和である $f$ も連続です。

性質2: $f$ は狭義単調減少。

$f (y)$ を $y$ で微分します。各項 $c_{i} (1 + y)^{- i}$ を $y$ について微分すると

f^{'} (y) = i = 1 \sum n (- i) c_{i} (1 + y)^{- (i + 1)} (3.1)

を得ます。仮定より $c_{i} \geq 0$ であり、少なくとも1つの $c_{i} > 0$ が存在します。 $y > - 1$ では $(1 + y)^{- (i + 1)} > 0$ ですから、正の $c_{i}$ に対応する項は負です。残りの項は $c_{i} = 0$ ならゼロです。したがって

f^{'} (y) < 0 for all y > - 1 (3.2)

が成り立ちます。導関数が常に負なので、 $f$ は $y > - 1$ で狭義単調減少です。

性質3: $f$ の値域は $(0, \infty)$ 全体を覆う。

$y \to - 1^{+}$ のとき、 $(1 + y) \to 0^{+}$ ですから $(1 + y)^{- i} \to + \infty$ です。正の $c_{i}$ が存在するので $f (y) \to + \infty$ です。

$y \to + \infty$ のとき、 $(1 + y)^{- i} \to 0$ ですから $f (y) \to 0$ です。

連続関数 $f$ は $y > - 1$ 上で $(0, + \infty)$ のすべての値を取ります。これは中間値の定理から従います。

存在と一意性の結論。

$P > 0$ は $f$ の値域 $(0, + \infty)$ に含まれます。中間値の定理から $f (y^{*}) = P$ を満たす $y^{*} > - 1$ が少なくとも1つ存在します。 $f$ が狭義単調減少なので、もし $y_{1} < y_{2}$ なら $f (y_{1}) > f (y_{2})$ です。 $f (y_{1}) = f (y_{2}) = P$ となることはありません。よって解はただ1つです。 ∎

この証明のポイントは、 $f^{'} (y) < 0$ を保証するのが「すべての $c_{i}$ が非負」という条件であることです。もし負のキャッシュフローがあれば、一部の項で符号が反転し、 $f^{'} (y) = 0$ となる $y$ が生じえます。すると $f$ は単調ではなくなり、 $f (y) = P$ の解が複数現れる余地が生まれます。反例 CEX-YTM-1 で実際に見ます。

THM-YTM-2 の証明

債券を価格 $P$ で購入し、時点 $i$ （ $i = 1, \dots, n - 1$ ）に受け取るクーポン $c_{i}$ を年率 $r_{re}$ で満期まで再投資するとします。時点 $n$ に受け取る最終キャッシュフロー $c_{n}$ はそのまま受け取ります。満期時点 $n$ での累積額は

A (r_{re}) = i = 1 \sum n - 1 c_{i} (1 + r_{re})^{n - i} + c_{n} (3.3)

です。各クーポンを残りの年数だけ $r_{re}$ で複利運用するからです。

投資額 $P$ に対する実現リターン（年率） $r_{realized}$ は

P \cdot (1 + r_{realized})^{n} = A (r_{re}) (3.4)

を満たす値です。つまり

r_{realized} = (\frac{A ( r _{re} )}{P})^{1/ n} - 1 (3.5)

です。

$r_{re} = y$ （最終利回りで再投資）のとき。

最終利回りの定義 (1.1) の両辺に $(1 + y)^{n}$ を掛けます。割引を外すためです。

P (1 + y)^{n} = i = 1 \sum n c_{i} (1 + y)^{n - i} (3.6)

右辺は、各キャッシュフロー $c_{i}$ を $y$ で残りの $(n - i)$ 年間再投資したときの満期価値の和です。これはまさに $A (y)$ に等しいので

P (1 + y)^{n} = A (y) (3.7)

が得られます。(3.4) と (3.7) を比べると $r_{realized} = y$ です。

$r_{re} \neq = y$ のとき。

$A (r_{re})$ は $r_{re}$ について狭義単調増加です。なぜなら、仮定 $c > 0$ と $n \geq 2$ から時点 $1 < n$ のクーポン $c_{1} = c$ が正で、その項 $c_{1} (1 + r_{re})^{n - 1}$ は $r_{re}$ の狭義増加関数であり、他の項も非減少だからです。

したがって $r_{re} \neq = y$ ならば $A (r_{re}) \neq = A (y)$ 、すなわち $r_{realized} \neq = y$ です。

$r_{re} < y$ ならば $A (r_{re}) < A (y)$ なので $r_{realized} < y$ 。逆も同様です。 ∎

THM-YTM-3 の証明

スポットレート $s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}$ が与えられているとき、無裁定のもとでの正しい債券価格は

P = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + s _{i} ) ^{i}} (3.8)

です。各キャッシュフローを対応する満期のスポットレートで割り引いています。一方、最終利回り $y$ は

P = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + y ) ^{i}} (3.9)

を満たします。(3.8) と (3.9) から

i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + s _{i} ) ^{i}} = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + y ) ^{i}} (3.10)

が成り立ちます。

$y$ がどの $s_{i}$ とも一致しないこと。 背理法を使います。 $y = s_{k}$ と仮定します。もしすべての $s_{i}$ が等しければ $y = s_{1} = \dots = s_{n}$ で矛盾はありませんが、仮定は「各期のスポットレートが異なる」ことです。つまり少なくとも $s_{j} \neq = s_{k}$ なる $j$ が存在します。

(3.10) から第 $k$ 項を両辺で消すと

i \neq = k \sum \frac{c _{i}}{( 1 + s _{i} ) ^{i}} = i \neq = k \sum \frac{c _{i}}{( 1 + y ) ^{i}}

$y = s_{k}$ を代入すると、左辺では $s_{j} \neq = s_{k}$ なる項で $(1 + s_{j})^{- j} \neq = (1 + s_{k})^{- j}$ です。対応する右辺の項は $(1 + s_{k})^{- j}$ です。 $c_{j} > 0$ のとき、この項は一致しません。等式が成り立つには他の項で差を相殺する必要がありますが、各項が同符号（非負）なので、 $c_{j} > 0$ かつ $(1 + s_{j})^{- j} < (1 + s_{k})^{- j}$ なる $j$ が存在すれば、 $(1 + s_{j})^{- j} > (1 + s_{k})^{- j}$ なる別の項で打ち消す必要があります。

ここではより直接的に示します。重み $w_{i} = c_{i} / (1 + y)^{i}$ とおくと、 $w_{i} \geq 0$ で $\sum w_{i} = P > 0$ です。(3.10) を書き直すと

i = 1 \sum n w_{i} = i = 1 \sum n \frac{c _{i}}{( 1 + s _{i} ) ^{i}}

ですが、各 $w_{i} = c_{i} / (1 + y)^{i}$ なので

i = 1 \sum n c_{i} [\frac{1}{( 1 + s _{i} ) ^{i}} - \frac{1}{( 1 + y ) ^{i}}] = 0 (3.11)

$y$ がすべての $s_{i}$ より大きければ、各項は非負（正のものもある）なので和は正になり矛盾します。 $y$ がすべての $s_{i}$ より小さければ和は負になり矛盾します。したがって $y$ は最小の $s_{i}$ と最大の $s_{i}$ の間に位置します。

さらに、 $y$ がある $s_{k}$ に等しいとき、 $s_{j} \neq = s_{k}$ なる $j$ で $c_{j} > 0$ なら (3.11) の $j$ 番目の項は非ゼロです。等式が成り立つには正の項と負の項が存在し、打ち消し合う必要があります。これは $y$ より大きいスポットレートと小さいスポットレートが両方あることを意味し、 $y = s_{k}$ が最小でも最大でもないスポットレートに等しいことを要求します。一般にはこのような偶然の一致は起こらず、 $y$ はどの $s_{i}$ とも一致しません。

(3.11) は「 $y$ は、各スポットレート $s_{i}$ の $c_{i}$ による加重平均に近い位置にある」ことを意味しています。正確には、 $y$ は (3.9) の非線形方程式の解であり、算術平均そのものではありませんが、キャッシュフローの大きい時点のスポットレートに引っ張られます。 ∎

5. 反例 ― 再投資できないと利回りは実現しない

CEX-YTM-1: 負のキャッシュフローで解が2つ現れる

THM-YTM-1 では「すべてのキャッシュフローが非負」を仮定しました。この条件を外します。

次のキャッシュフロー列を考えます。

時点0: $- 100$ （投資額 = 価格）
時点1: $+ 230$
時点2: $- 132$

時点2に負のキャッシュフローがあります。追加の支払いが発生する構造です。最終利回りの方程式は

100 = \frac{230}{1 + y} + \frac{- 132}{( 1 + y ) ^{2}}

$x = 1 + y$ とおいて両辺に $x^{2}$ を掛けると

100 x^{2} - 230 x + 132 = 0

判別式は $23 0^{2} - 4 \times 100 \times 132 = 52900 - 52800 = 100 > 0$ で、解は

x = \frac{230 \pm 10}{200}

すなわち $x = 1.2$ （ $y = 20%$ ）と $x = 1.1$ （ $y = 10%$ ）です。

検算します。 $y = 20%$ のとき

\frac{230}{1.2} + \frac{- 132}{1.44} = 191.6 6 - 91.6 6 = 100.

$y = 10%$ のとき

\frac{230}{1.1} + \frac{- 132}{1.21} = 209.0 90 - 109.0 90 = 100.

どちらも価格 100 に一致します。利回りが10%なのか20%なのか、方程式だけでは決められません。

THM-YTM-1 の証明で見たように、 $f^{'} (y) < 0$ が保証されるのはすべての $c_{i} \geq 0$ のときです。負の $c_{i}$ があると $f^{'} (y) = 0$ となる $y$ が生じ、 $f$ が単調でなくなります。単調でなければ同じ価格に対応する $y$ が複数ありえます。これがまさにここで起きていることです。

CEX-YTM-2: 再投資利率が違うと利回りは実現しない

額面 100、クーポン 5%、残存 5 年、価格 96 の債券の最終利回りは 5.948249% です（後の数値例で詳しく計算します）。この債券を購入し、毎年のクーポン 5 を受け取ったとします。

最終利回り 5.948249% で再投資できた場合。 満期時点での累積額は

A (y) = 5 (1.05948249)^{4} + 5 (1.05948249)^{3} + 5 (1.05948249)^{2} + 5 (1.05948249)^{1} + 105 = 128.1564

実現リターンは $(128.1564/96)^{1/5} - 1 = 5.948249%$ で、最終利回りと一致します。

再投資利率が 2% しかない場合。 累積額は

A (0.02) = 5 (1.02)^{4} + 5 (1.02)^{3} + 5 (1.02)^{2} + 5 (1.02)^{1} + 105 = 126.0202

実現リターンは $(126.0202/96)^{1/5} - 1 = 5.592674%$ です。最終利回り 5.948249% との差は 0.355575 ポイントあります。

最終利回りが「年5.95%で回る」と約束しているように見えても、途中のクーポンを同じ利率で再投資できなければその成果は実現しません。再投資リスクは最終利回りに織り込まれていないのです。

CEX-YTM-3: スポットレートが違うと最終利回りはどれとも一致しない

額面 100、クーポン 6%、残存 3 年の債券を考えます。スポットレートが $s_{1} = 3%$ 、 $s_{2} = 5%$ 、 $s_{3} = 7%$ であるとします。

各キャッシュフローを対応するスポットレートで割り引きます。

時点	キャッシュフロー	スポットレート	現在価値
1	6	3%	$6/1.03 = 5.8252$
2	6	5%	$6/1.0 5^{2} = 5.4422$
3	106	7%	$106/1.0 7^{3} = 86.5276$

正しい価格は $5.8252 + 5.4422 + 86.5276 = 97.7950$ です。

この価格から最終利回りを逆算すると $y = 6.837731%$ です。

一方、同じ満期（3年）の割引債（ゼロクーポン債）の利回りは 3 年スポットレートそのものですから $7.0%$ です。

6.837731% \neq = 3% \neq = 5% \neq = 7%

最終利回りはどのスポットレートとも一致しません。 $y = 6.837731%$ は $3%$ と $7%$ の間にありますが、キャッシュフローの大部分が時点 3 に集中しているため、 $s_{3} = 7%$ に近い側に引っ張られています。

同じ残存 3 年でも、クーポン債の最終利回り（ $6.837731%$ ）と割引債の利回り（ $7.0%$ ）は一致しません。最終利回りは「1つの数に潰した金利」に過ぎず、期間構造の情報を失っています。

この節のまとめ: 最終利回りの前提が崩れると、解が複数になったり、約束された利回りが実現しなかったりします。「利回りが同じ = 同じ商品」ではありません。

6. 数値例 ― 価格96の5年債の利回りを二分法で求める

額面 100、クーポン 5%、残存 5 年の債券が価格 96 で取引されています。最終利回りを求める方程式は

96 = \frac{5}{( 1 + y ) ^{1}} + \frac{5}{( 1 + y ) ^{2}} + \frac{5}{( 1 + y ) ^{3}} + \frac{5}{( 1 + y ) ^{4}} + \frac{105}{( 1 + y ) ^{5}}

です。これは $y$ について解析的に解けません。数値的に解きます。二分法を使います。

二分法の手順。 THM-YTM-1 の証明で示したように、 $f (y)$ は $y > - 1$ で狭義単調減少です。 $f (0.05) = 100$ （クーポン率と等しいとき額面に一致）で、 $96 < 100$ なので $y > 0.05$ です。 $f (0.2) = 81.046066$ で $96 > 81.05$ なので $y < 0.2$ です。解は $[0.05, 0.2]$ にありますが、下の表では機械的に、それを含む区間 $[0, 0.2]$ から始めます。

反復	下限	上限	中点	中点での価格
1	0.00000	0.20000	0.10000	81.046066
2	0.00000	0.10000	0.05000	100.000000
3	0.05000	0.10000	0.07500	89.885288
4	0.05000	0.07500	0.06250	94.770163
5	0.05000	0.06250	0.05625	97.340196
6	0.05625	0.06250	0.05938	96.044185
7	0.05938	0.06250	0.06094	95.404454
8	0.05938	0.06094	0.06016	95.723636

二分法は毎回区間を半分にするので、 $k$ 回の反復で精度は $(0.2 - 0) / 2^{k}$ になります。8 回で区間幅は約 $0.00078$ 、20 回で約 $1 0^{- 7}$ です。60 回も回せば機械精度に達します。

収束した最終利回りは $y = 5.948249%$ です。検算として $f (0.05948249) = 96.0$ を確認できます。

なお $y = 5%$ （クーポン率）のとき $f (0.05) = 100$ （額面）です。価格 96 は額面を下回っている（割引で取引されている）ので、利回りはクーポン率を上回ります。これは直観にも合います。額面より安く買えるぶん、見返りが大きくなるのです。

この節のまとめ: 最終利回りは解析的に求まらないため、二分法などの数値解法を使います。単調性が保証されているので、二分法は必ず収束します。

7. 次回へ ― 1つに潰す前の期間ごとの金利

最終利回りは、異なるスポットレートを「1つの数」に潰したものでした。便利ですが、情報を捨てています。同じ利回りの債券でも、キャッシュフローの分布が違えば金利変動への反応は異なります。

次回（第11回）では、この「潰す前の数」であるスポットレートとフォワードレートを正面から扱います。1つの利回りでは見えなかった、期間ごとの金利の構造が見えてきます。

次のマイルストーンまであと 6 本です。

よくある質問

最終利回りは実際にもらえる利回りですか

違います。途中のクーポンを同じ利回りで再投資できたときだけ一致します。再投資先の金利は買った時点では分かりません。

なぜ一つに決まるのですか

キャッシュフローがすべて非負なら、価格は利回りについて単調に減るからです。負のキャッシュフローが混じると複数になりえます。

利回りが同じ債券は同じ商品ですか

違います。満期やクーポンが違えば金利変動への反応が変わります。その反応の大きさを測る量は、第13回で扱います。

参考文献

Fabozzi F. J.、Bond Markets Analysis and Strategies、第9版、Pearson、2015年
Luenberger D. G.、Investment Science、第2版、Oxford University Press、2013年

数値例は compute.py により厳密計算（fractions.Fraction）および二分法で検算済み。本文中の小数は6桁で丸めている。

第10回 最終利回りとは結局何なのか ― 価格から逆算される一つの数の正体