第11回スポットレートとフォワードレート ― 将来の金利は今日の価格に埋まっている

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2026年9月25日

第11回スポットレートとフォワードレート ― 将来の金利は今日の価格に埋まっている

位置: 第2部第11回 / 前提: 第7回、第9回、第10回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: 今日の債券価格から将来の期間の金利を取り出し、それが予想ではなく価格の整合性で決まることを説明できる

0. 物語 ― フォワードレートは金利の予想ではない

債券トレーディングデスクで、若手のトレーダーが画面を指さしています。「1年後から2年後までの金利が約7%と出ています。これは市場が1年後の金利を7%くらいだと予想しているんですか」。先輩は首を振ります。「違う。それは予想じゃない」。

画面に出ている数字は「フォワードレート」と呼ばれます。今日取引されている1年物と2年物の債券の価格から、算数だけで逆算された数です。1年物の利回りが3%、2年物の利回りが5%のとき、この数字は約7%になります。

では、1年後に実際の金利が4%だったとしましょう。フォワードレートの7%とは大きく食い違っています。何か問題が起きるでしょうか。

同じ元本を今日投じて比べます。2年物の債券を買った人は、2年後に元本の約1.10倍を受け取ります。一方、1年物の債券を買って満期後に4%で預け直した人は、2年後に元本の約1.07倍を受け取ります。結果だけ見れば2年物を選んだほうが得でした。しかし、これは1年後の金利が判明してはじめてわかったことです。1年後の金利が約7%より高くなっていれば、逆に1年物のほうが得になっていました。今日の時点で4%になると確定していたわけではないので、この差を使って確実に儲ける方法はありませんでした。

フォワードレートは「市場の予想」ではなく、今日の価格の整合性を保つために決まる数です。実現した金利と食い違っても、今日の価格には何の矛盾も生じません。この回では、なぜそう言い切れるのかを3つの定理で証明します。

1. 動機 ― 将来の金利を今日決められるのはなぜか

この回を読み終えると、今日の債券価格から将来の期間の金利を取り出し、それが予想ではなく価格の整合性で決まることを説明できます。

「1年後から2年後までの金利」を、なぜ今日の時点で計算できるのでしょうか。未来の金利は誰にもわからないはずです。

答えは、今日の債券価格に情報が埋まっているからです。1年物の割引債と2年物の割引債が両方とも今日取引されていれば、その2つの価格比から「1年後に始まる1年間の金利」が逆算できます。しかもこの金利は、将来の予想に頼って導いたものではありません。今日の取引だけで確定する値です。

今回はこの仕組みを3つの定理として証明します。スポットレートとフォワードレートの定義を与え、ブートストラップという手続きで市場価格からスポットレートを復元し、フォワードレートが一意に定まることを示します。

この記事で証明すること

THM-SF-1 無裁定市場では、フォワードレートはスポットレートから一意に定まります。 $(1 + s_{2})^{2} = (1 + s_{1}) (1 + f_{1, 2})$ が成り立ちます。
THM-SF-2 割引債の価格から、満期の短い順にスポットレートを一意に復元できます（ブートストラップ）。
THM-SF-3 フォワードレートは今日の価格から決まる量であり、将来のスポットレートの予想値と一致する必然性はありません。

2. 設定と仮定 ― 満期ごとの割引債の価格

以下の仮定を全て置きます。どれが崩れたら何が壊れるかを後で確認するためです。

債券は確定キャッシュフローを持ち、信用リスクは無い。
各満期について十分な数の債券価格が観測できる。
取引コストと空売り制約は無い。
複利は年1回。金利はすべて年率。
同一満期の商品は一物一価が成り立つ。

スポットレート $s_{n}$ は、今日から $n$ 年後に額面 1 を受け取る割引債の利回りです。年1回複利で、割引債の価格 $P_{n}$ と次の関係にあります。

P_{n} = \frac{1}{( 1 + s _{n} ) ^{n}} (2.1)

これは第7回の割引係数 $D (0, n) = (1 + r)^{- n}$ と同じ形ですが、満期 $n$ ごとに金利 $s_{n}$ が異なりうる点が違います。1つの金利 $r$ で全満期を割り引くのではなく、各満期に固有のレートを使います。

フォワードレート $f_{m, n}$ は、 $m$ 年後から $n$ 年後までの期間に適用される、今日の時点で決まる金利です。定義は次の式で与えます。

(1 + s_{n})^{n} = (1 + s_{m})^{m} (1 + f_{m, n})^{n - m} (2.2)

特に1年間のフォワードレート $f_{n - 1, n}$ については

(1 + s_{n})^{n} = (1 + s_{n - 1})^{n - 1} (1 + f_{n - 1, n}) (2.3)

となります。(2.2) と (2.3) がなぜ成り立つのかは、次の節で証明します。ここでは定義として天下り的に与えておきます。

この節のまとめ：スポットレートは満期ごとの割引債の利回り、フォワードレートは将来の期間に適用される金利です。両者の関係は (2.2) で結ばれます。

3. 主張 ― フォワードレートは価格から一意に決まる

定理 THM-SF-1（フォワードレートの一意性） 無裁定市場では、今日決めて将来の期間に適用される金利はスポットレートから一意に定まり、

$(1 + s_{2})^{2} = (1 + s_{1}) (1 + f_{1, 2})$
を満たす。

定理 THM-SF-2（ブートストラップ） 満期の短い債券から順に解くことで、観測された債券価格からスポットレートを一意に復元できる。

定理 THM-SF-3（フォワードは予想ではない） フォワードレートは今日の価格から決まる量であり、将来のスポットレートの予想値と一致する必然性は無い。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 2通りの運用が一致することから導く

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-SF-1 の証明

2年間の運用方法を2通り考えます。

方法A: 2年物の割引債を買う。今日 $P_{2}$ を支払い、2年後に 1 を受け取ります。

方法B: 1年物の割引債を買い、1年後にその元利金を「1年後から2年後まで」のフォワードレート $f_{1, 2}$ で再投資します。今日 $P_{1}$ を支払い、1年後に 1 を受け取り、それを $f_{1, 2}$ で運用して2年後に $1 + f_{1, 2}$ を受け取ります。

方法Aと方法Bは、どちらも今日キャッシュを支払い、2年後にキャッシュを受け取るという構造です。途中のキャッシュフローは方法Bでは1年後に発生しますが、フォワード契約はその時点でのレートを今日ロックするものなので、2年後の受取額はどちらも今日の時点で確定しています。

無裁定の仮定から、同じ満期・同じ確定キャッシュフローの投資は同じ収益率を持つ必要があります。もし方法Bのほうが有利であれば、2年債を空売りして方法Bを実行することで無リスクの利益が得られ、裁定となります。逆も同様です。

したがって、今日の投資 $P_{2}$ に対する2年後の受取が等しくなければなりません。方法Aでは $P_{2}$ を投資して 1 を受け取るので、2年間のグロスリターンは $1/ P_{2}$ です。方法Bでは $P_{1}$ を投資して $1 + f_{1, 2}$ を受け取るので、グロスリターンは $(1 + f_{1, 2}) / P_{1}$ です。

ここで方法A・Bを同じ元本で比較するため、方法Aに $P_{2}$ 、方法Bに $P_{2}$ を投入します。方法Aでは $P_{2} \cdot (1/ P_{2}) = 1$ を2年後に受け取ります。方法Bでは $P_{2}$ を1年物に投資するので、 $P_{2} / P_{1}$ 単位の1年債を買います。1年後に $P_{2} / P_{1}$ を受け取り、それを $f_{1, 2}$ で運用すると2年後に $(P_{2} / P_{1}) (1 + f_{1, 2})$ を受け取ります。

無裁定の条件から、2年後の受取額が一致しなければなりません。

1 = \frac{P _{2}}{P _{1}} (1 + f_{1, 2})

両辺に $P_{1} / P_{2}$ を掛けて整理します。割引債の価格定義 (2.1) から $P_{1} = 1/ (1 + s_{1})$ および $P_{2} = 1/ (1 + s_{2})^{2}$ を代入すると

\frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{( 1 + s _{2} ) ^{2}}{1 + s _{1}}

となり、 $1 + f_{1, 2} = P_{1} / P_{2}$ ですから

1 + f_{1, 2} = \frac{( 1 + s _{2} ) ^{2}}{1 + s _{1}}

両辺に $(1 + s_{1})$ を掛けて

(1 + s_{1}) (1 + f_{1, 2}) = (1 + s_{2})^{2} (4.1)

を得ます。 $s_{1}, s_{2}$ は割引債の市場価格から一意に決まる値なので（(2.1) を解けばよい）、 $f_{1, 2}$ もこの式から一意に定まります。

一般の $f_{n - 1, n}$ についても同様に、 $n$ 年債と $(n - 1)$ 年債の2通りの運用を比較すれば

(1 + s_{n - 1})^{n - 1} (1 + f_{n - 1, n}) = (1 + s_{n})^{n} (4.2)

が導かれます。論証は全く同じで、「 $n$ 年債を買う」方法と「 $(n - 1)$ 年債を買って $f_{n - 1, n}$ で再投資する」方法の受取額を等しくおくだけです。 ∎

THM-SF-2 の証明

満期の短い割引債から順にスポットレートを求める手続き（ブートストラップ）を示します。

ステップ1: 1年物の割引債の価格 $P_{1}$ が観測されているとします。(2.1) から

s_{1} = \frac{1}{P _{1}} - 1 (4.3)

$P_{1} > 0$ なので $s_{1}$ は一意に定まります。

ステップ2: 2年物の割引債の価格 $P_{2}$ が観測されているとします。(2.1) から

(1 + s_{2})^{2} = \frac{1}{P _{2}}

$P_{2} > 0$ なので右辺は正の有限値です。 $s_{2} > - 1$ の範囲で $s_{2}$ を求めます。

s_{2} = P_{2}^{- 1/2} - 1 (4.4)

$P_{2}^{- 1/2}$ は正の実数の正の平方根なので、一意に定まります。

ステップ $n$ : $n$ 年物の割引債の価格 $P_{n}$ から

s_{n} = P_{n}^{- 1/ n} - 1 (4.5)

$P_{n} > 0$ で $n$ 乗根は正の実数に対して一意ですから、 $s_{n}$ は一意に復元されます。

この手続きの核心は、各ステップが前のステップの結果に依存しないことです。割引債は額面 1 のキャッシュフローが満期にだけ発生するので、 $P_{n}$ から $s_{n}$ を直接求められます。しかし実際の債券市場では、割引債が全ての満期について取引されているとは限りません。クーポン債しか観測できない場合は、1年スポットレート $s_{1}$ を先に求めてから、2年クーポン債の1年後のクーポンを $s_{1}$ で割り引き、残りのキャッシュフローから $s_{2}$ を解く、という逐次的な手続きが必要になります。「ブートストラップ」の名はこの逐次性に由来します。

いずれにせよ、仮定「各満期について十分な数の債券価格が観測できる」のもとで、各 $s_{n}$ は $P_{n}$ （あるいはクーポン債の価格とそれまでに求めた $s_{1}, \dots, s_{n - 1}$ ）から一意に復元されます。 ∎

THM-SF-3 の証明

フォワードレート $f_{1, 2}$ は (4.1) から

f_{1, 2} = \frac{( 1 + s _{2} ) ^{2}}{1 + s _{1}} - 1

と定まります。 $s_{1}, s_{2}$ は今日の割引債の価格だけから決まる値です。したがって $f_{1, 2}$ も今日の価格だけで確定します。

一方、1年後に実現する1年スポットレートを $s ~_{1}$ と書くと、 $s ~_{1}$ は今日の時点ではわかりません。THM-SF-1 の証明で使った無裁定の議論は、今日の価格同士の間に裁定がないことを要求しただけです。1年後に実現するレートが $f_{1, 2}$ と異なっていても、今日の価格 $P_{1}, P_{2}$ は正当なままです。

なぜなら、 $f_{1, 2}$ はフォワード「契約」のレートです。今日この契約を結べば、1年後に実現するスポットレートが何であっても、契約通りのレート $f_{1, 2}$ が適用されます。 $s ~_{1} \neq = f_{1, 2}$ であっても、フォワード契約を結んだ投資家は $f_{1, 2}$ で運用し、フォワード契約を結ばなかった投資家は $s ~_{1}$ で運用します。事後的に片方が有利だった、というだけのことで、今日の時点で裁定は発生していません。

したがって $f_{1, 2} = s ~_{1}$ が成り立つ必然性はありません。 ∎

5. 反例 ― フォワードは予想ではない

CEX-SF-1: フォワードレートどおりに実現しなくても矛盾はない

スポットレートが $s_{1} = 3%$ , $s_{2} = 5%$ のとき、(4.1) から $f_{1, 2} = 7.0388%$ です。

1年後、実際に実現した1年スポットレートが $s ~_{1} = 4%$ だったとします。 $f_{1, 2} = 7.0388%$ とは大きく異なります。

このとき、2つの運用の2年後の結果を比べます。公平に比べるため、どちらも今日 1 を投資します。

方法A（2年債）: 今日 1 を投資すると、価格 $P_{2} = 0.907$ の2年債を $1/ P_{2}$ 単位買えます。2年後に $1/ P_{2} = 1.1025$ を受け取ります。
方法B（1年債+再投資）: 今日 1 を投資すると、価格 $P_{1} = 0.9709$ の1年債を $1/ P_{1}$ 単位買え、1年後に $1/ P_{1} = 1.03$ を受け取ります。それを実現レート $4%$ で再投資すると、2年後に $1.03 \times 1.04 = 1.0712$ を受け取ります。

方法Aのほうが 0.0313 だけ多く受け取っています。実現レート $4%$ がフォワードレート $7.0388%$ を下回ったためで、もし実現レートが $f_{1, 2}$ に等しければ、方法Bの受取額も $1.03 \times (1 + f_{1, 2}) = 1.1025$ となり、両者は一致します。しかしこれは事後的に判明した差にすぎません。今日の時点で $s ~_{1} = 4%$ は確定していなかったので、この差を利用する裁定は今日の時点では組めませんでした。

フォワードレートは「市場が将来のレートをこう予想している」という意味ではなく、「今日の価格の整合性を保つ数」です。実現値がずれても、今日の価格には何の問題も起きません。

この反例のまとめ：フォワードレートは予想ではなく価格から逆算された数なので、実現値と食い違っても矛盾しません。

CEX-SF-2: フォワードレートがずれていると裁定が起きる

THM-SF-1 の無裁定の仮定が効いていることを、逆に壊して確認します。

ある銀行が「1年後スタート・1年間の預金」を年率 $7.5388%$ （= $f_{1, 2} + 0.5%$ ）で提供しているとします。理論値 $f_{1, 2} = 7.0388%$ より 0.5% 高い金利です。

次の手順で裁定を行います。

2年物の割引債を1単位空売りします。収入は $P_{2} = 0.907$ です。
1年物の割引債を $P_{2} / P_{1} = 0.9342$ 単位買います。コストは $0.9342 \times P_{1} = 0.9342 \times 0.9709 = 0.907$ です。
正味コストは $0.907 - 0.907 = 0$ です。
銀行と1年後開始の預金契約を結びます。1年後に $0.9342$ を $7.5388%$ で預けます。

1年後の処理：

保有する1年債が満期を迎え、額面の合計 $0.9342$ を受け取ります。
受け取った $0.9342$ をそのまま銀行の預金契約に入れます（銀行との契約は今日結んであるので、金額は確定）。

2年後の受け取り：

銀行預金から $0.9342 \times (1 + 0.075388) = 1.0047$ を受け取ります。
2年債の空売りを返済するため、額面 1 を支払います。
正味の受取は $1.0047 - 1 = 0.0047$ です。

元手ゼロで 0.0047 の確定利益が出ています。これが裁定です。フォワードレートが理論値からずれていれば、今日の取引だけで無リスクの利益を確定できます。

この反例のまとめ：フォワードレートが (4.1) から外れていると、割引債の売買とフォワード契約の組み合わせで裁定が発生します。

CEX-SF-3: 最終利回りはスポットレートの代わりにならない

スポットレートが $s_{1} = 3%$ , $s_{2} = 5%$ , $s_{3} = 7%$ のとき、3年満期・年1回クーポン $5%$ ・額面 100 のクーポン債を考えます。キャッシュフローは1年後に 5、2年後に 5、3年後に 105 です。

正しい価格は、各キャッシュフローをそれぞれのスポットレートで割り引きます。

価格 = \frac{5}{1.03} + \frac{5}{1.0 5 ^{2}} + \frac{105}{1.0 7 ^{3}} = 4.8544 + 4.5351 + 85.7113 = 95.1008

この債券の最終利回り $y$ は、 $95.1008 = 5/ (1 + y) + 5/ (1 + y)^{2} + 105/ (1 + y)^{3}$ を満たす値で、数値的に $y = 6.8622%$ です。

最終利回りは債券全体の合計価格を正しく再現します。しかし個々のキャッシュフローの現在価値は正しく計算できません。

時点	CF	スポットレートで割引	最終利回りで割引	差
1年後	5	4.8544	4.6789	$- 0.1754$
2年後	5	4.5351	4.3785	$- 0.1567$
3年後	105	85.7113	86.0434	$+ 0.3321$
合計	115	95.1008	95.1008	$0$

合計は一致しますが、個別のキャッシュフローの割引が歪んでいます。1年後と2年後のキャッシュフローは過小評価され、3年後のキャッシュフローは過大評価されています。これは、スポットレートが $3%, 5%, 7%$ と期間ごとに異なるのに、最終利回りは全期間に同じ $6.8622%$ を使うからです。

この歪みは、異なるキャッシュフロー構成を持つ債券を比較するとき、あるいは個別キャッシュフローのリスク評価を行うときに実害をもたらします。スポットレートを使えば各期間の正しい割引が得られます。

この反例のまとめ：最終利回りは合計の価格を再現しますが、各キャッシュフローの割引を歪めます。正しい割引にはスポットレートが必要です。

6. 数値例 ― 3本の債券価格から金利の期間構造を復元する

$s_{1} = 3%$ , $s_{2} = 5%$ , $s_{3} = 7%$ として、割引債の価格を計算します。

P_{1} P_{2} P_{3} = \frac{1}{1.03} = 0.9709, = \frac{1}{1.0 5 ^{2}} = 0.907, = \frac{1}{1.0 7 ^{3}} = 0.8163

ブートストラップ（THM-SF-2）の検算として、 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ からスポットレートを復元します。

s_{1} = \frac{1}{P _{1}} - 1 = \frac{1}{0.9709} - 1 = 0.03 = 3%

s_{2} = P_{2}^{- 1/2} - 1 = 0.90 7^{- 1/2} - 1 = 0.05 = 5%

s_{3} = P_{3}^{- 1/3} - 1 = 0.816 3^{- 1/3} - 1 = 0.07 = 7%

元のスポットレートに一致します。

フォワードレートを (4.1), (4.2) から求めます。

f_{1, 2} = \frac{( 1 + s _{2} ) ^{2}}{1 + s _{1}} - 1 = \frac{1.0 5 ^{2}}{1.03} - 1 = 7.0388%

f_{2, 3} = \frac{( 1 + s _{3} ) ^{3}}{( 1 + s _{2} ) ^{2}} - 1 = \frac{1.0 7 ^{3}}{1.0 5 ^{2}} - 1 = 11.115%

検算します。 $(1 + s_{1}) (1 + f_{1, 2}) = 1.03 \times 1.070388 = 1.1025 = 1.0 5^{2} = (1 + s_{2})^{2}$ 。成り立っています。

$(1 + s_{2})^{2} (1 + f_{2, 3}) = 1.1025 \times 1.11115 = 1.225043 = 1.0 7^{3} = (1 + s_{3})^{3}$ 。こちらも成り立ちます。

スポットレートが $3% \to 5% \to 7%$ と期間が長くなるほど高くなっているので、フォワードレートはスポットレートよりさらに高い値になります。 $f_{1, 2} = 7.04%$ は $s_{2} = 5%$ を上回り、 $f_{2, 3} = 11.12%$ は $s_{3} = 7%$ を大きく上回ります。これは直感に合います。平均（スポット）を引き上げるには、後から加わる値（フォワード）が平均より高い必要があるからです。

この節のまとめ：3本の割引債価格からスポットレートとフォワードレートを全て復元しました。数値は compute.py による厳密計算と一致しています。

7. 次回へ ― 曲線の形を読む

今回は、スポットレートとフォワードレートが「今日の債券価格に埋まっている」ことを証明しました。割引債の価格さえあれば、ブートストラップでスポットレートを復元し、そこからフォワードレートを一意に導けます。

次回（第12回）は、スポットレートを満期について並べた曲線の形を読みます。短期から長期にかけて金利が上がる「順イールド」と、逆に下がる「逆イールド」は何を語っているのか。金利の期間構造の全体像を見ていきます。

次のマイルストーンまであと 5 本です。

よくある質問

フォワードレートは将来の金利の予想ですか

違います。今日の価格から計算される数です。結果的に外れても、今日の価格には何の問題も起きません。

なぜ将来の金利を今日決められるのですか

今日、短期で借りて長期で貸す、という組み合わせを作れるからです。その組み合わせの利回りがフォワードレートです。

スポットレートはどこで手に入りますか

直接は観測できないことが多いので、観測できる債券価格から順番に解いて求めます。それがブートストラップです。

参考文献

Fabozzi F. J.、Bond Markets Analysis and Strategies、第9版、Pearson、2015年
Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み（YTM のみニュートン法による浮動小数点近似）。本文中の小数は4桁で丸めている。

第11回 スポットレートとフォワードレート ― 将来の金利は今日の価格に埋まっている