第9回 債券の値段は足し算でできている ― クーポンと元本を割り引くだけ

位置: 第2部 第9回 / 前提: 第7回、第8回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: 債券の価格をクーポンと元本の割引の和に分解し、金利が上がると価格が下がる理由を説明できる

0. 物語 ― 価格と額面を混同する

はじめて債券を買った人が、額面100の債券に100を支払いました。「額面が100なのだから、値段も100だろう」と考えたのです。ところが、その債券の市場での売買価格はおよそ91でした。9近い金額を余分に払ってしまったことになります。

なぜ額面どおりの値段にならないのでしょうか。この債券は毎年3の利息を支払い、5年後に元本100を返すという約束でした。一方、そのときの市場金利は5パーセントです。市場で運用すれば5パーセントの利回りが得られるのに、この債券からもらえる利息は額面に対して3パーセントしかありません。利息が市場の水準に届かない分だけ、値段が額面から差し引かれるのです。

では、利息の割合と市場金利がぴったり同じなら、どうなるでしょうか。たとえば毎年5の利息を支払う債券であれば、市場金利5パーセントのもとで値段はちょうど100になります。利息と金利が釣り合っているので、割り引く理由がないのです。

この関係を逆に見ると、金利が上がれば債券の値段は下がり、金利が下がれば値段は上がります。債券を持っている人にとって、金利の上昇は値下がりを意味します。しかも、この値下がりには少しだけ有利な性質があります。金利が同じ幅だけ上下したとき、上がったときの値下がり幅よりも、下がったときの値上がり幅のほうが大きいのです。

今回の記事では、債券の値段がどのように決まるのかを、将来受け取るお金を割り引いて足すという計算だけで示します。額面と値段が一致する条件、そして金利と値段の関係も、すべてこの足し算から導きます。

1. 動機 ― 債券の値段は何でできているのか

この回を読み終えると、債券の価格をクーポンと元本の割引の和に分解し、金利が上がると価格が下がる理由を説明できます。

答えは単純です。債券が将来支払うキャッシュフローを、ひとつずつ割り引いて足す。それだけです。第7回で扱った割引の考え方と、第8回で扱った年金の現在価値を組み合わせれば、債券の価格は完全に決まります。

今回は3つのことを示します。価格がクーポン部分（年金）と額面部分（割引債）の和に分解できること、クーポン率と金利が一致すれば価格が額面に戻ること、そして価格が金利に対して単調に減少し凸であることです。

この記事で証明すること

• THM-BP-1 確定クーポン債の価格は、クーポンの年金現在価値と額面の割引現在価値の和に分解できます。
• THM-BP-2 金利が一定のとき、価格が額面に一致することとクーポン率が金利に一致することは同値です。
• THM-BP-3 クーポンがすべて非負のとき、価格は金利について狭義単調減少し、かつ下に凸です。

2. 設定と仮定 ― 確定したクーポンと額面

以下の仮定を置きます。どれが後で壊れるかを見るために、すべて書き出します。

• キャッシュフローの確定: クーポン額 $c_i$ と額面 $F$ は確定した値で、支払時点 $t_1,t_2,\dots ,t_n$ も確定しています。
• 金利は一定: 割引に使う金利 $r>0$ は期間によりません。
• 信用リスクなし: 発行体が約束を破る可能性はないとします。途中償還やオプション性もありません。
• 経過利子を含む: 価格は経過利子を含めた形（ダーティプライス）で扱います。
• 複利は年1回: 割引係数は $D(0,k)=(1+r{)}^{-k}$ です。

もっとも単純な形として、固定クーポン債を考えます。毎期同じクーポン $c$ を支払い、満期 $n$ 期目にクーポンと額面 $F$ をまとめて支払います。時点 $k$（$k=1,2,\dots ,n$）でのキャッシュフローは

$$c_k=\{\begin{array}{ll}c& (k=1,2,\dots ,n-1)\\ c+F& (k=n)\end{array}$$

です。ここで $c=F\times (\text{クーポン率})$ です。

債券の価格 $P$ は、すべてのキャッシュフローの現在価値の合計として定義されます。

$$P=\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{(1+r{)}^k}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

仮定をまとめると、キャッシュフロー・金利・支払時点のすべてが確定した状態で、価格は $(1)$ の足し算だけで決まります。

3. 主張 ― 価格は年金と割引債の和になる

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-BP-1（債券価格の分解） 確定クーポン債の価格は、クーポンを払う年金の現在価値と、額面を払う割引債の現在価値の和に等しい。すなわち

$$P=c\sum _{k=1}^n\frac{1}{(1+r{)}^k}+\frac{F}{(1+r{)}^n}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

定理 THM-BP-2（パー債の条件） 金利が一定のとき、$P=F$ であることと $c=Fr$（すなわちクーポン率が $r$ に等しいこと）は同値である。

定理 THM-BP-3（価格と金利の単調関係） クーポン $c_k$ がすべて非負（少なくとも1つは正）のとき、$P$ は $r$ について狭義単調減少し、かつ下に凸である。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― キャッシュフローを2つに分けて足す

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-BP-1 の証明

$(1)$ のキャッシュフローを、クーポン部分と額面部分に分けます。$k=1,2,\dots ,n-1$ では $c_k=c$、$k=n$ では $c_n=c+F$ ですから

$$\begin{array}{rl}P& =\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{(1+r{)}^k}\\ & =\sum _{k=1}^{n-1}\frac{c}{(1+r{)}^k}+\frac{c+F}{(1+r{)}^n}.\end{array}$$

最後の項を分割するために、$\frac{c+F}{(1+r{)}^n}=\frac{c}{(1+r{)}^n}+\frac{F}{(1+r{)}^n}$ と書きます。するとクーポン $c$ の項を1つにまとめられます。

$$\begin{array}{rl}P& =\sum _{k=1}^{n-1}\frac{c}{(1+r{)}^k}+\frac{c}{(1+r{)}^n}+\frac{F}{(1+r{)}^n}\\ & =c\sum _{k=1}^n\frac{1}{(1+r{)}^k}+\frac{F}{(1+r{)}^n}.\end{array}$$

第1項は毎期 $c$ を受け取る年金の現在価値、第2項は満期に $F$ を受け取る割引債の現在価値です。これが $(2)$ です。 ∎

第8回の年金現在価値の公式を使えば、第1項は閉じた形に書けます。

$$c\sum _{k=1}^n\frac{1}{(1+r{)}^k}=c\cdot \frac{1-(1+r{)}^{-n}}{r}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

したがって

$$P=\frac{c}{r}(1-(1+r{)}^{-n})+F(1+r{)}^{-n}.\text{\hspace{1em}(4)}$$

この形は計算に便利ですが、本質は $(2)$ の分解にあります。債券は「年金＋割引債」です。

THM-BP-2 の証明

(⇒) $P=F$ ならば $c=Fr$。

$(4)$ で $P=F$ とおきます。

$$F=\frac{c}{r}(1-(1+r{)}^{-n})+F(1+r{)}^{-n}.$$

右辺の $F(1+r{)}^{-n}$ を左辺に移項するために、両辺から $F(1+r{)}^{-n}$ を引きます。

$$F-F(1+r{)}^{-n}=\frac{c}{r}(1-(1+r{)}^{-n}).$$

左辺を整理するために $F$ で括ります。$1-(1+r{)}^{-n}$ が両辺に現れることに注意します。

$$F(1-(1+r{)}^{-n})=\frac{c}{r}(1-(1+r{)}^{-n}).$$

$r>0$ かつ $n\ge 1$ なので $(1+r{)}^{-n}<1$ です。したがって $1-(1+r{)}^{-n}>0$ であり、この共通因子で両辺を割ることができます。

$$F=\frac{c}{r}.$$

すなわち $c=Fr$ です。これはクーポン率が $r$ に等しいことを意味します。

(⇐) $c=Fr$ ならば $P=F$。

$(4)$ に $c=Fr$ を代入します。

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{Fr}{r}(1-(1+r{)}^{-n})+F(1+r{)}^{-n}\\ & =F(1-(1+r{)}^{-n})+F(1+r{)}^{-n}.\end{array}$$

$\frac{Fr}{r}=F$ となるのは $r>0$ だからです。展開して整理します。

$$P=F-F(1+r{)}^{-n}+F(1+r{)}^{-n}=F.$$

第2項と第3項が打ち消し合い、$P=F$ が得られます。 ∎

この定理は直観とも合います。市場の金利がちょうどクーポン率と同じなら、「この債券が約束するリターンと、市場で得られるリターンが同じ」なので、額面通りの値段で取引されます。

THM-BP-3 の証明

一般のキャッシュフロー $c_1,c_2,\dots ,c_n$（すべて $c_k\ge 0$、少なくとも1つは正）に対し、

$$P(r)=\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{(1+r{)}^k}$$

とおきます。$r>-1$ の範囲で考えます。

狭義単調減少の証明。 $P(r)$ を $r$ で微分します。各項を $r$ の関数と見ると、$\frac{c_k}{(1+r{)}^k}=c_k(1+r{)}^{-k}$ ですから、べき関数の微分法則を使います。

$$\begin{array}{rl}\frac{dP}{dr}& =\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot (-k)(1+r{)}^{-k-1}\\ & =-\sum _{k=1}^n\frac{k{c}_k}{(1+r{)}^{k+1}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$c_k\ge 0$ で少なくとも1つは $c_k>0$、$k\ge 1$、$(1+r{)}^{k+1}>0$ ですから、和の各項は非正で、少なくとも1つは負です。したがって $\frac{dP}{dr}<0$ が $r>-1$ のすべてで成り立ちます。これは $P$ が狭義単調減少であることを意味します。

下に凸であることの証明。 $(5)$ をもう一度 $r$ で微分します。

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}P}{d{r}^2}& =\sum _{k=1}^n{c}_k\cdot (-k)(-k-1)(1+r{)}^{-k-2}\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)c_k}{(1+r{)}^{k+2}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

$k(k+1)>0$、$c_k\ge 0$（少なくとも1つ正）、$(1+r{)}^{k+2}>0$ ですから、$\frac{d^{2}P}{d{r}^2}>0$ です。二階導関数が正であることは、関数が下に凸であることと同値です。 ∎

単調減少の直観は明快です。金利が上がれば割引が強くなり、将来のキャッシュフローの現在価値が下がります。凸性は「金利が上がるときの価格の下げ幅は、金利が下がるときの価格の上げ幅より小さい」ことを意味します。これは債券の保有者にとって有利な性質です。

5. 反例 ― 額面で買えると思うと損をする

CEX-BP-1: 価格と額面を混同する誤り

額面 100、クーポン率 3%、残存 5 年の債券を考えます。市場金利が 5% のとき、この債券の価格は $91.341$ です。もし「債券は額面 100 で買えるもの」と思って 100 を支払うと、$100-91.341=8.659$ の過払いになります。

なぜ額面より安いのかというと、クーポン率 3% が市場金利 5% を下回っているからです。この債券を持っていても、市場で得られる 5% のリターンに届きません。その不足分を埋め合わせるために、価格が額面から割り引かれています。THM-BP-2 が示す通り、価格が額面に一致するのはクーポン率と金利が等しい場合だけです。

CEX-BP-2: 負のキャッシュフローで単調性が壊れる

THM-BP-3 の仮定はクーポンがすべて非負であることでした。途中に負のキャッシュフローを含む商品を作ると、価格と金利の関係が壊れます。

時点1に $+10$、時点2に $-25$、時点3に $+16$ のキャッシュフローを持つ商品を考えます。これは通常の債券ではありませんが、プロジェクトの損益や仕組み商品のキャッシュフローとして現実にあり得ます。

金利ごとに現在価値を計算すると、次のようになります。

金利	現在価値
20%	$0.2315$
30%	$0.1821$
40%	$0.2187$

金利が 20% から 30% に上がると価格は $0.2315$ から $0.1821$ に下がりますが、30% から 40% に上がると $0.1821$ から $0.2187$ に上がります。単調減少ではありません。

$(5)$ を振り返ると、$c_2=-25<0$ のために和の第2項が正になり、全体の符号が反転する金利の範囲が生じます。非負の仮定を外すと、価格は金利の方向に対して予測できなくなります。

CEX-BP-3: 金利が一定という仮定を外す

各期の金利が異なる場合、単一の金利で割り引いた価格は正しい価格と一致しません。額面 100、クーポン 3 の 3 年債で確かめます。

各期のスポットレートが 3%、5%、7% のとき、正しい割引計算は

$$P=\frac{3}{(1.03{)}^1}+\frac{3}{(1.05{)}^2}+\frac{103}{(1.07{)}^3}$$

で、この値は $89.7124$ です。

一方、単一の金利 5% で割り引くと

$$P=\frac{3}{(1.05{)}^1}+\frac{3}{(1.05{)}^2}+\frac{103}{(1.05{)}^3}=94.5535$$

となり、差は $94.5535-89.7124=4.8411$ です。元本を含む 3 年目のスポットレートが 7% と高いため、単一金利 5% では割引が不十分になっています。

各期の金利が異なる場合の正しい扱いは、第11回と第12回で扱います。

6. 数値例 ― クーポン3パーセントの5年債に値段を付ける

額面 $F=100$、クーポン率 3%（クーポン額 $c=3$）、残存 $n=5$ 年、金利 $r=5\%$ で計算します。

キャッシュフローと割引

時点	キャッシュフロー	割引係数	現在価値
1	$3$	$0.952381$	$2.8571$
2	$3$	$0.907029$	$2.7211$
3	$3$	$0.863838$	$2.5915$
4	$3$	$0.822702$	$2.4681$
5	$103$	$0.783526$	$80.7032$

年金・割引債への分解（THM-BP-1）

$$\begin{array}{rl}\text{年金部分}& =3\times \frac{1-(1.05{)}^{-5}}{0.05}=12.9884,\\ \text{割引債部分}& =\frac{100}{(1.05{)}^5}=78.3526,\\ P& =12.9884+78.3526=\mathrm{91.341.}\end{array}$$

キャッシュフロー表の現在価値をすべて足し上げた値と一致します。

パー債の確認（THM-BP-2）

クーポン率を 5%（$c=5$）に変えると、$P=100.0$ です。クーポン率 $=$ 金利のとき、価格はぴったり額面に戻ります。

単調減少と凸性の確認（THM-BP-3）

金利	価格
3%	$100.0$
5%	$91.341$
7%	$83.5992$

金利が 2% ずつ上がるたびに価格が下がるので、単調減少です。凸性は次のように確認できます。

$$\frac{100.0+83.5992}{2}=91.7996>\mathrm{91.341.}$$

両端の平均 $91.7996$ が中点の価格 $91.341$ を上回っているので、下に凸です。差は $91.7996-91.341\approx 0.4586$ です（丸める前の値で引いています）。

7. 次回へ ― 価格から逆算される利回り

今回は、金利 $r$ が与えられたときに価格 $P$ を求めました。では逆に、市場で観察される価格 $P$ から $r$ を逆算したら何が得られるでしょうか。次回（第10回）では、その逆算で出てくるひとつの数の正体を突き止めます。

次のマイルストーンまであと 7 本です。

よくある質問

なぜ額面と価格が違うのですか

クーポン率と市場の金利がずれているからです。一致していれば価格は額面になります。

金利が上がると債券は必ず下がりますか

クーポンがすべて非負なら必ず下がります。負のキャッシュフローが混じると保証できません。

経過利子とは何ですか

前回の利払いから今日までに溜まった利息です。売買のときは価格に上乗せして受け渡します。

参考文献

• Fabozzi F. J.、Bond Markets Analysis and Strategies、第9版、Pearson、2015年
• Luenberger D. G.、Investment Science、第2版、Oxford University Press、2013年

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数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。