第8回 毎年同じ額を受け取る権利はいくらか ― 等比数列の和が公式になる

位置: 第2部 第8回 / 前提: 第4回、第7回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: ローンの毎回の返済額や年金の現在価値を、等比数列の和の公式で計算できる

0. 物語 ― 支払額が一定でないと公式が使えない

手元に退職金があって、これから10年間、毎年同じ額を受け取れる年金を買おうとしています。金利が年5%だとすると、毎年1万円ずつ受け取る権利の値段はいくらでしょうか。1年目の1万円は今より少し安い、2年目はもっと安い、3年目はさらに安い。それを10回分、全部足し合わせればよいのですが、受け取る額が毎回同じなら、実は足し算をしなくても一発で答えが出ます。約7.72万円です。

ところが、友人がこう言いました。「物価が毎年2%ずつ上がるから、受け取る額も毎年2%ずつ増える年金にした」。友人の年金は1年目が1万円、2年目は1万200円、3年目は1万404円と、少しずつ膨らんでいきます。友人は「だいたい同じだろう」と思い、さっきの7.72万円という数字をそのまま使いました。

これが落とし穴です。受け取る額が毎年増えているのに、毎回同じ額だと思って計算した値段は安すぎます。正しく計算すると約8.39万円で、友人の見積もりとの差は約6700円。誤差率にして約8%です。10年でこれですから、20年、30年と期間が延びれば差はもっと広がります。30年では正しい値段が約19.4万円なのに、誤った計算では約15.4万円。4万円も安く見積もってしまいます。

毎回同じ額を受け取る年金には、割引の足し算を一つの式にまとめる便利な公式があります。しかしその公式は「支払額が一定」という条件の上に成り立っています。条件が崩れたまま公式を使うと、年金の値段を実態より安く見誤ります。この回では、公式がなぜ成り立つのか、そしてどこまで使えるのかを、証明と反例の両面から確かめます。

1. 動機 ― 同じ額を何度も割り引くのは面倒くさい

この回を読み終えると、ローンの毎回の返済額や年金の現在価値を、等比数列の和の公式で計算できます。

第7回までに、将来の1回限りのキャッシュフローを現在価値に直す方法を身につけました。割引係数 $D(0,T)=(1+y{)}^{-T}$ を掛けるだけです。

ところが現実には、「毎年同じ金額を受け取る」という約束がたくさん出てきます。ローンの返済、年金の受給、利息の支払い。これらは1回ではなく $n$ 回のキャッシュフローの列です。

1回ごとに割り引いて足すのはもちろん正しいのですが、$n$ が大きくなると計算が面倒です。そして何より、式を閉じた形に直さないと、金利や期間を動かしたときに値がどう変わるかが見えません。

今回の話は純粋に代数です。等比数列の和の公式を1回使うだけで、$n$ 個の割引が1つの式に潰れます。そこから永久年金の極限、そして期首払いとの関係まで、全て一本の式から出てきます。

この記事で証明すること

• THM-AN-1 金利 $y$ が一定のとき、毎期末に 1 を $n$ 期にわたって受け取る権利の現在価値は $(1-(1+y{)}^{-n})/y$ です。
• THM-AN-2 $y>0$ のとき、$n$ を無限大にした永久年金の現在価値は $1/y$ に収束します。
• THM-AN-3 期首払いの年金の現在価値は、期末払いの年金の現在価値を $(1+y)$ 倍したものです。

2. 設定と仮定 ― 一定額を一定期間もらう権利

以下の仮定を全て置きます。

• 金利 $y$ は一定で、$y>-1$。
• 支払いは各期末に1回、金額は一定。特に断りがなければ金額を 1 とします。
• 期間 $n$ は有限の整数。永久年金は極限として扱います。
• 税、手数料、信用リスクはありません。

このような「毎期末に一定額を $n$ 回受け取る権利」を年金（annuity）と呼びます。受取額を 1 にしておけば、実際の年金額 $c$ を受け取る場合は全体を $c$ 倍するだけです。

年金のキャッシュフローは時点 $1,2,\dots ,n$ に発生します。各キャッシュフローの現在価値は

$$\frac{1}{(1+y{)}^1},\frac{1}{(1+y{)}^2},\dots ,\frac{1}{(1+y{)}^n}$$

です。これを全部足したものが年金の現在価値です。

$$\mathrm{PV}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{(1+y{)}^k}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

この和を閉じた形にするのが、次の節の仕事です。

まとめると、年金の現在価値は $n$ 個の割引キャッシュフローの和であり、個別に足すことは常に可能ですが、閉じた式があると見通しが良くなります。

3. 主張 ― 等比数列の和が閉じた式になる

3つの定理を述べます。全て (2.1) の和を整理するだけで出てきます。

定理 THM-AN-1（年金の現在価値） 金利 $y$ が一定（$y\ne 0$）のとき、毎期末に 1 を $n$ 期にわたって払う権利の現在価値は

$$\mathrm{PV}=\frac{1-(1+y{)}^{-n}}{y}$$

に等しい。

定理 THM-AN-2（永久年金） $y>0$ のとき、$n\to \infty$ とした永久年金の現在価値は

$${\mathrm{PV}}_{\infty }=\frac{1}{y}$$

に収束する。

定理 THM-AN-3（期首払いとの関係） 期首払いの年金（時点 $0,1,\dots ,n-1$ に受け取る）の現在価値を ${\ddot{a}}_n$ とすると、

$${\ddot{a}}_n=(1+y)\cdot \mathrm{PV}$$

が成り立つ。ここで $\mathrm{PV}$ は期末払いの年金の現在価値（THM-AN-1）である。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 初項と公比を取り出して足す

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-AN-1 の証明

(2.1) を書き直します。$v=(1+y{)}^{-1}$ とおくと、年金の現在価値は

$$\mathrm{PV}=\sum _{k=1}^n{v}^k=v+v^2+\cdots +v^n\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

です。これは初項 $v$、公比 $v$、項数 $n$ の等比数列の和です。公比が 1 でない（$y\ne 0$ なので $v\ne 1$）とき、等比数列の和の公式が使えます。和の公式を導出しておきます。

(4.1) の両辺に公比 $v$ を掛けます。ずらした和を作るためです。

$$v\cdot \mathrm{PV}=v^2+v^3+\cdots +v^{n+1}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$(4.1)

$$\mathrm{PV}-v\cdot \mathrm{PV}=v-v^{n+1}$$

左辺を $\mathrm{PV}$ でくくります。

$$\mathrm{PV}(1-v)=v(1-v^n)$$

$v\ne 1$ なので両辺を $(1-v)$ で割れます。

$$\mathrm{PV}=\frac{v(1-v^n)}{1-v}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

ここから $v=(1+y{)}^{-1}$ を代入して整理します。まず分母を書き換えます。

$$1-v=1-\frac{1}{1+y}=\frac{(1+y)-1}{1+y}=\frac{y}{1+y}$$

分子の $v$ は $1/(1+y)$ です。したがって

$$\frac{v}{1-v}=\frac{1/(1+y)}{y/(1+y)}=\frac{1}{y}$$

$(1+y)$ が約分されて消えます。(4.3) に戻すと

$$\mathrm{PV}=\frac{1}{y}(1-v^n)=\frac{1-(1+y{)}^{-n}}{y}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

が得られます。 ∎

(4.4) の構造を確認しておきます。$(1+y{)}^{-n}$ は $n$ 期先の 1 の現在価値、つまり割引係数そのものです。$1-(1+y{)}^{-n}$ は「1 から割引係数を引いたもの」で、$y>0$ のときは 0 と 1 の間にあります（$-1<y<0$ では割引係数が 1 を超えるので負になり、分母の $y$ も負なので現在価値は正のままです）。これを $y$ で割ったものが年金の現在価値です。

THM-AN-2 の証明

$y>0$ のとき $0<v=(1+y{)}^{-1}<1$ です。指数の性質から、$n\to \infty$ で $v^n\to 0$ です。具体的に評価します。

$v<1$ なので、$v=1/(1+y)$ において $1+y>1$。したがって

$$v^n=\frac{1}{(1+y{)}^n}$$

は $(1+y{)}^n\to \infty$（$y>0$ なら $1+y>1$ のべきは無限大に発散する）より

$$v^n\to 0(n\to \infty )\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

です。THM-AN-1 の結果 (4.4) で $n\to \infty$ の極限を取ります。

$${\mathrm{PV}}_{\infty }=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-(1+y{)}^{-n}}{y}=\frac{1-0}{y}=\frac{1}{y}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

分子の極限と分母は $n$ に依存しないので、極限をそのまま分子に入れられます。 ∎

$y=0.05$ なら永久年金の現在価値は $1/0.05=20$ です。毎期 1 を永遠にもらえる権利が 20 で買える、という意味です。年金額が 1 ではなく $c$ なら $c/y$ になります。

THM-AN-3 の証明

期首払い年金のキャッシュフローは時点 $0,1,\dots ,n-1$ に発生します。現在価値は

$$\begin{array}{rl}{\ddot{a}}_n& =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{(1+y{)}^k}\\ & =1+v+v^2+\cdots +v^{n-1}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

です。一方、期末払いの現在価値は

$$\mathrm{PV}=v+v^2+\cdots +v^n\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

でした。(4.8) の各項は (4.7) の各項を $v$ 倍したものです。逆に言えば、(4.7) は (4.8) を $1/v$ 倍したものです。これを式で書きます。

$${\ddot{a}}_n=\frac{1}{v}\cdot \mathrm{PV}$$

$1/v=1+y$ ですから

$${\ddot{a}}_n=(1+y)\cdot \mathrm{PV}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

です。 ∎

(4.9) の直観は明快です。期首払いは期末払いより全てのキャッシュフローが1期分早く届きます。早く届く分だけ割引が1期分少ないので、現在価値は $(1+y)$ 倍になります。

まとめると、年金の現在価値公式は等比数列の和から出てきます。永久年金は公比が 1 未満のときの無限級数の極限であり、期首払いは期末払いを1期分前倒しにしたものです。

5. 反例 ― 金利0と成長する年金では公式が使えない

反例 CEX-AN-1: 金利ゼロで永久年金が発散する

THM-AN-2 は $y>0$ を仮定しています。$y=0$ のとき、各期のキャッシュフロー 1 の現在価値はそのまま 1 です。したがって $n$ 期の年金の現在価値は単純に $n$ です。

$n$	年金の現在価値（$y=0$）
10	10
100	100
1,000	1,000
10,000	10,000

$n\to \infty$ で発散します。「永遠に毎期 1 を受け取る権利」を買うのに無限のコストが必要です。割引がないのだから当然です。

THM-AN-1 の公式 $(1-(1+y{)}^{-n})/y$ でも、$y=0$ では分母が 0 になり、式そのものが定義できません。$y$ を 0 に近づけたときの永久年金 $1/y$ も発散します。

$y$	永久年金 $1/y$
1.0	1
0.1	10
0.01	100
0.001	1,000

金利が低いほど年金の価値が高くなり、金利ゼロでは無限大に吹き上がります。

まとめると、THM-AN-2 の $y>0$ という条件は本質的です。$y=0$ では割引が効かないため永久年金は発散します。

反例 CEX-AN-2: 成長する年金に一定額の公式を当てる

THM-AN-1 は「支払額が一定」を仮定しています。毎期 $g=2\%$ ずつ成長する年金を考えます。第 $k$ 期のキャッシュフローは $(1+g{)}^{k-1}$ です。

正しい現在価値は

$${\mathrm{PV}}_{\mathrm{grow}}=\sum _{k=1}^n\frac{(1+g{)}^{k-1}}{(1+y{)}^k}=\frac{1-{\left(\frac{1+g}{1+y}\right)}^n}{y-g}(y\ne g)$$

です。一方、「金額は一定だ」と思い込んで THM-AN-1 の公式を使うと

$${\mathrm{PV}}_{\mathrm{wrong}}=\frac{1-(1+y{)}^{-n}}{y}$$

になります。$y=5\%$, $g=2\%$ で比較します。

$n$	正しい PV	誤った PV	誤差
5	4.497460	4.329477	0.167983
10	8.388106	7.721735	0.666371
20	14.665402	12.462210	2.203191
30	19.363059	15.372451	3.990608

$n=10$ では誤差率が約 7.94% です。$n$ が伸びるほど誤差は広がります。成長率 $g$ を無視すると、キャッシュフローが 1 から $(1+g{)}^{n-1}$ まで膨らむ効果を見落とすため、年金を過小評価します。

まとめると、一定額の公式は支払額が一定である場合にのみ正しく、成長する年金には成長率 $g$ を組み込んだ別の公式が必要です。

6. 数値例 ― 10年分を1つの数に潰す

$y=5\%$, $n=10$ で具体的に計算します。

まず1期ずつ割り引いて足し上げます。

期 $k$	割引係数 $(1.05{)}^{-k}$	現在価値
1	0.95238095	0.95238095
2	0.90702948	0.90702948
3	0.86383760	0.86383760
4	0.82270247	0.82270247
5	0.78352617	0.78352617
6	0.74621540	0.74621540
7	0.71068133	0.71068133
8	0.67683936	0.67683936
9	0.64460892	0.64460892
10	0.61391325	0.61391325
合計		7.721735

公式で一発で出します。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{PV}& =\frac{1-(1.05{)}^{-10}}{0.05}\\ & =\frac{1-0.61391325}{0.05}\\ & =\frac{0.38608675}{0.05}=7.721735\end{array}$$

足し上げた値と一致します。10個の割引が1つの数に潰れました。

永久年金への収束を確認します。

$n$	年金の PV	$1/y=20$ との差
10	7.721735	12.278265
50	18.2559	1.7441
100	19.8479	0.1521
1,000	$\approx 20$	$\approx 1.3\times 10^{-20}$

$n=100$ で永久年金の値にほぼ追いつき、$n=1,000$ では差が実質ゼロです。

期首払いと期末払いの比を確認します。

$${\ddot{a}}_{10}=1.05\times 7.721735=8.107822$$

比は ${\ddot{a}}_{10}/\mathrm{PV}=1.05=1+y$ です。THM-AN-3 の通りです。

まとめると、公式と足し上げは完全に一致し、永久年金は有限年金の自然な極限です。期首払いは期末払いの $(1+y)$ 倍になることも数値で確認できました。

7. 次回へ ― 債券価格は年金と割引債の和

年金の現在価値公式は、同じ額を繰り返し受け取るキャッシュフローを1つの数に圧縮する道具です。

次回（第9回）では、この年金にゼロクーポン債を1つ足すだけで、もっと広い種類の金融商品の価格が作れることを見ます。

次のマイルストーンまであと 8 本です。

よくある質問

なぜ公式を覚える必要があるのですか

覚えなくても足し算で出ます。ただし公式にすると、期間や金利を変えたときの動きが見えるようになります。

永久年金は現実にありますか

過去に発行された永久債があります。理論では、株式の配当を単純化するときにも使います。

金利が0のときはどうなりますか

公式の分母が0になるので使えません。単純に期間の数だけ足すことになります。

参考文献

1. Luenberger D. G.、Investment Science、第2版、Oxford University Press、2013年
2. Fabozzi F. J.、Bond Markets Analysis and Strategies、第9版、Pearson、2015年

---

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4〜8桁で丸めている。