第32回ボラティリティの年率換算 ― なぜ時間の平方根を掛けるのか

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2026年9月25日

位置: 第4部第32回 / 前提: 第25回、第31回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: 日次のボラティリティを年率に換算し、その換算が成り立たない場面を見分けることができる

0. 物語 ― 自己相関があると平方根則が外れる

手元に100万円を株に投じていて、運用報告書に「日次のボラティリティは1.26パーセント」と記されているとします。年率に直すとどうなるか。教科書に従って営業日数の平方根を掛けると、年率20パーセントという答えが出ます。「1年間で上下20万円くらいの揺れか」と、あなたは心の準備を決めました。

ところが年末に口座を見ると、想定よりもはるかに大きく動いています。実際に測った年率の揺れは約24パーセント、金額にすれば24万円規模でした。4万円分、見積もりが甘かったことになります。

原因は、日々の値動きに癖があったことです。上がった翌日はまた上がりやすく、下がった翌日はまた下がりやすい。いわゆるトレンドの傾向がわずかに含まれていました。教科書の換算式は「きのうの値動きときょうの値動きは無関係」という前提で導かれています。前提が成り立たなければ、答えもずれます。

ずれの方向には法則があります。上がったら翌日も上がりやすいという癖があるとき、揺れは換算値より大きくなります。逆に、上がった翌日は下がりやすいという癖があれば、揺れは換算値より小さくなります。

この回で示すのは、「日次の揺れに時間の平方根を掛けて年率に直す」という換算が、いつ正しく、いつ崩れるかです。

1. 動機 ― 年率20パーセントとは何を意味するのか

この回を読み終えると、日次のボラティリティを年率に換算し、その換算が成り立たない場面を見分けることができます。

「この銘柄のボラティリティは年率20パーセントです」。ニュースや証券会社のレポートでよく目にする表現ですが、これは「1年後に上下20パーセントの範囲に収まる」という意味ではありません。では何を表しているのでしょうか。

日々の株価データから計算される日次のリターンの標準偏差は、たとえば1.26パーセントのような小さな数字です。この数字を見ただけでは、1年間でどれだけ動くのか実感がわきません。そこで「年率」に換算して比較しやすくするのですが、換算に使うのは掛け算ではなく平方根の掛け算です。

なぜ単純に営業日数を掛けないのか。なぜ平方根が出てくるのか。今回はこれを分散の加法性という一つの性質から導きます。

この記事で証明すること

THM-VS-1 リターンが独立同分布のとき、 $T$ 期間の対数リターンの分散は $T$ に比例し、標準偏差は $T$ に比例します（平方根則）。
THM-VS-2 日次の標準偏差を $s$ 、年間の営業日数を $N$ とすると、年率ボラティリティは $s N$ になります。
THM-VS-3 リターンに自己相関があると、 $T$ 期間の分散は $T$ に比例せず、正の相関があれば平方根則より大きく、負の相関があれば小さくなります。

2. 設定と仮定 ― 独立同分布のリターン

以下の仮定を置きます。

各日の対数リターン $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{N}$ は独立で同じ分布に従います。
各 $r_{i}$ の平均を $μ$ 、分散を $σ^{2}$ とします。
年間の営業日数は $N = 252$ とします。
平均 $μ$ は0に近い値なので、分散の計算では無視できる場合がありますが、定理の証明では一般の $μ$ のまま進めます。
数値実験では乱数のシードを42に固定します。

$T$ 日間の累積対数リターンは

R_{T} = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{T}

です。この $R_{T}$ の分散と標準偏差がどう振る舞うかが今回の主題です。

3. 主張 ― 分散は時間に比例し、標準偏差は平方根に比例する

定理 THM-VS-1（平方根則） 対数リターン $r_{1}, r_{2}, \dots$ が独立同分布で、各 $r_{i}$ の分散が $σ^{2}$ であるとき、 $T$ 期間の累積対数リターン $R_{T} = r_{1} + \dots + r_{T}$ の分散は

$Var (R_{T}) = T σ^{2}$
であり、標準偏差は $SD (R_{T}) = σ T$ である。

定理 THM-VS-2（年率換算の式） 日次の標準偏差を $s$ 、年間の営業日数を $N$ とするとき、年率ボラティリティは

$σ_{annual} = s N$
である。

定理 THM-VS-3（自己相関がある場合の補正） リターン $r_{t}$ に自己相関 $Corr (r_{t}, r_{t + k}) = ρ_{k}$ があるとき、 $T$ 期間の分散は

$Var (R_{T}) = T σ^{2} + 2 σ^{2} k = 1 \sum T - 1 (T - k) ρ_{k}$
である。 $ρ_{k} > 0$ （正の自己相関）ならば $Var (R_{T}) > T σ^{2}$ となり、平方根則で換算した値よりも実際の変動は大きくなる。 $ρ_{k} < 0$ （負の自己相関）ならばその逆である。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 分散の加法性から出す

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-VS-1 の証明

$R_{T} = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{T}$ の分散を計算します。 $r_{i}$ は独立なので、共分散がゼロになることを使います。

Var (R_{T}) = Var (r_{1} + r_{2} + \dots + r_{T}) (1)

一般に、確率変数の和の分散は

Var (i = 1 \sum T r_{i}) = i = 1 \sum T Var (r_{i}) + 2 i < j \sum Cov (r_{i}, r_{j}) (2)

と展開されます。ここで独立性の仮定を使います。 $r_{i}$ と $r_{j}$ （ $i \neq = j$ ）が独立であるとき、 $Cov (r_{i}, r_{j}) = 0$ です。したがって (2) の右辺の二重和はすべて消え、

Var (R_{T}) = i = 1 \sum T Var (r_{i}) = i = 1 \sum T σ^{2} = T σ^{2} (3)

が得られます。同分布の仮定により、各 $Var (r_{i})$ が同じ値 $σ^{2}$ になることをここで使いました。

標準偏差は分散の平方根ですから、

SD (R_{T}) = T σ^{2} = σ T (4)

となります。分散は期間 $T$ に比例しますが、標準偏差は $T$ の平方根にしか比例しません。期間を4倍にしても標準偏差は2倍にしかなりません。 ∎

THM-VS-2 の証明

THM-VS-1 で $T = N$ （年間の営業日数）、 $σ = s$ （日次の標準偏差）と置きます。年間の累積対数リターンの標準偏差は

SD (R_{N}) = s N (5)

です。これが年率ボラティリティ $σ_{annual}$ の定義そのものです。

日次の標準偏差 $s = 1.26%$ を年率換算すると、 $s N = 1.26% \times 252 = 1.26% \times 15.8745 = 20.00%$ となります。 ∎

THM-VS-3 の証明（要点）

$r_{i}$ が独立でない場合、(2) の共分散項が残ります。 $Cov (r_{i}, r_{j}) = σ^{2} ρ_{∣ i - j ∣}$ とすると、

Var (R_{T}) = T σ^{2} + 2 σ^{2} k = 1 \sum T - 1 (T - k) ρ_{k} (6)

となります。 $(T - k)$ は「間隔が $k$ であるペアの個数」です。 $i$ と $j = i + k$ のペアは、 $i = 1, 2, \dots, T - k$ の $T - k$ 通りあります。

$ρ_{k} > 0$ のとき、(6) の第2項は正です。つまり分散は $T σ^{2}$ より大きくなり、平方根則で得た値 $σ T$ は年率ボラティリティを過小評価します。 $ρ_{k} < 0$ のとき、第2項は負で、平方根則は過大評価します。 ∎

5. 反例 ― 自己相関があると換算が狂う

CEX-VS-1: 自己相関があると平方根則がずれる（THM-VS-1 の独立性を壊す）

自己相関 $ρ = 0.2$ の AR(1) 過程でリターンを生成し、252日分を足して年率の標準偏差を測ります。日次リターンそのものの標準偏差は $1.26%$ にそろえてあります。

平方根則で換算した年率ボラティリティは $20.00%$ ですが、実際にシミュレーションで測った値は $24.32%$ です（THM-VS-3 の (6) に $ρ_{k} = 0. 2^{k}$ を入れた理論値は $24.48%$ ）。差は $4.32$ ポイントにもなります。

正の自己相関があると「上がった日の翌日も上がりやすい」ため、変動が増幅されます。THM-VS-3 の (6) で第2項が正になることと対応しています。平方根則が成り立つのは独立性が満たされるときに限ります。

CEX-VS-2: ボラティリティは時間に比例するという誤解を壊す

「期間が4倍なら標準偏差も4倍」と思いがちですが、それは分散の話です。標準偏差は平方根に従います。

シミュレーションで期間 $T = 1, 4, 9, 16$ 日の累積リターンの標準偏差を測り、 $T = 1$ との比を取ると次のようになります。

期間 $T$ （日）	標準偏差の比（実測）	$T$ （理論）
1	1.0000	1.0
4	2.0063	2.0
9	3.0081	3.0
16	4.0120	4.0

実測値は理論値の $T$ に極めて近く、 $T$ そのものには比例していません。期間を4倍にしても標準偏差は約2倍、16倍にしても約4倍です。

CEX-VS-3: 年率20パーセントの範囲に必ず収まるわけではない

「年率ボラティリティ20パーセント」と聞くと、1年後のリターンが $\pm 20%$ の範囲に必ず入ると誤解されがちです。

対数リターンが平均0、標準偏差20パーセントの正規分布に従うとしましょう。 $\pm 20%$ は $\pm 1 σ$ の範囲なので、この中に収まる確率は $68.27%$ です。逆に言えば、 $31.73%$ の確率でこの範囲を超えます。約3回に1回は「年率ボラティリティ」の幅を超えるのです。

$\pm 20%$ は「だいたい3分の2の確率で入る範囲」であって、「必ず収まる範囲」ではありません。

6. 数値例 ― 日次から年率へ換算する

日次の標準偏差 $s = 1.26%$ の系列を年率換算します。

σ_{annual} = s \times N = 1.26% \times 252 = 1.26% \times 15.8745 = 20.00%

次に、期間ごとの標準偏差を確認します。独立同分布のリターン10万本をシミュレーションし、 $T$ 日間の累積リターンの標準偏差を測りました。

期間 $T$	標準偏差（%）	$T = 1$ との比	$T$
1	1.2588	1.0000	1.0
4	2.5254	2.0063	2.0
9	3.7865	3.0081	3.0
16	5.0501	4.0120	4.0

標準偏差の比は $T$ にほぼ一致しています。10万本の有限サンプルによる誤差が小数第2位以降に見えますが、理論通りです。

自己相関がある場合： $ρ = 0.2$ の自己相関を入れると、平方根則で換算した年率は $20.00%$ ですが、実際の年率標準偏差は $24.32%$ です。差は $4.32$ ポイントで、独立性の仮定が崩れると平方根則は使えません。

年率20パーセントの意味：年率ボラティリティが $20.00%$ のとき、1年後の対数リターンが $\pm 20%$ の範囲に収まる確率は $68.27%$ にすぎません。 $31.73%$ の確率で範囲を超えます。

7. 次回へ ― 何に対する報酬なのか

今回、ボラティリティは時間の平方根で拡大することを見ました。これは「リスクは時間とともに大きくなるが、時間そのものほどは速くない」ということです。

では、投資家がこのリスクを引き受ける見返りとして受け取るリターン、いわゆるリスクプレミアムはどのように決まるのでしょうか。次回（第33回）では、何に対する報酬として超過収益が生まれるのかを考えます。

次のマイルストーンまであと 10 本です。

よくある質問

なぜ平方根なのですか

分散が足し算になるからです。標準偏差は分散の平方根なので、平方根が出てきます。

年率20パーセントなら1年で上下20パーセントですか

違います。おおよそ3分の2の確率でその範囲に入る、という意味です。外れる場合も普通にあります。

現実のリターンは独立ですか

厳密には違います。特に大きな変動の後は変動が続く傾向があり、換算にずれが出ます。

参考文献

Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年
Campbell J. Y.、Lo A. W. and MacKinlay A. C.、The Econometrics of Financial Markets、Princeton University Press、1997年

数値例は compute.py によりシミュレーション（シード42固定）で検算済み。