第36回 2資産の分散投資効果 ― 相関が生むただ飯の正体

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2026年9月25日

位置: 第4部第36回 / 前提: 第29回、第35回 / 数学編: M8 / この回でできるようになること: 2資産の保有比率と相関からポートフォリオの分散を計算し、分散が最小になる比率を求めることができる

0. 物語 ― 相関が高いと分散投資が効かない

2つの資産を半分ずつ持てば、リスクは必ず下がるでしょうか。

リスクが20の資産と、リスクが30の資産があるとします。まずは空売りをせず、両方を買って持つ場合を考えます。半分ずつ組み合わせたとき、直感では20と30の間、たとえば25くらいになりそうです。実際に計算すると、2つの値動きが完全に連動している場合、リスクはちょうど25になります。20よりも大きいままです。「両方持っているから安心」とは言えません。

ところが、値動きの連動の度合いが十分に弱ければ、話は変わります。同じ2つの資産でも、連動が半分程度なら、最もリスクの小さい配分で約19.6まで下がります。片方だけ持つよりも低い数字です。ただし、買って持つだけで片方だけ持つより低くできるのは、この例では連動の度合いが3分の2を下回るときに限ります。連動が完全に近いと、組み合わせたリスクは20と30の間に収まるだけです。期待できるもうけは据え置きのまま、リスクだけが減っています。これが「ただ飯」と呼ばれる現象です。

では、ただ飯はどんなときでも食べられるのでしょうか。答えは「いいえ」です。値動きが完全に連動しているとき、つまり一方が上がれば他方も必ず同じ割合で上がり、下がるときも一緒に下がる状況では、買って持つ組み合わせのリスクは20と30をつなぐ平均にしかならず、分散によってリスクが減る効果は一切ありません。なお、片方を空売りする取引まで許せば、完全に連動していても理屈の上ではリスクをゼロにできます。しかしこの例では、そのときの期待できるもうけはマイナスになってしまいます。そして厄介なことに、普段は連動が弱い2つの資産でも、市場の急落時には急に連動を強めることがあります。平常時の連動の度合いで計算すると最小リスクは約18.7ですが、下落時に連動が強まると同じ配分のまま約21.4に悪化します。リスクを抑えたいまさにそのときに、分散投資の効果が薄れてしまうのです。

この回では、2つの資産の組み合わせでリスクがどう決まるかの公式を導き、連動の度合いと曲線の形の関係を証明します。

1. 動機 ― 組み合わせるとなぜリスクが減るのか

この回を読み終えると、2資産の保有比率と相関からポートフォリオの分散を計算し、分散が最小になる比率を求めることができます。

「どれだけ減るのか」「必ず減るのか」「減らない場合はあるのか」を答えるには、分散の計算を1行ずつ追う必要があります。今回はポートフォリオの分散の公式を導出し、最小分散の保有比率を閉じた式で求め、相関係数が曲線の形をどう変えるかを証明します。この3つだけで「ただ飯」の正体が見えます。ただ飯とは、期待収益率を下げずにリスクだけを下げられる現象のことです。相関が1未満であれば必ず起きます。

この記事で証明すること

THM-DV-1 2資産ポートフォリオの分散は、各分散の加重2乗和に相関項を加えた形で書けます。
THM-DV-2 分散を最小にする保有比率は、分散と共分散から閉じた式で求まります。
THM-DV-3 相関が1のとき組み合わせの集合は直線になり、1未満のとき左に膨らむ曲線になります。相関が $- 1$ のときは分散を0にできます。

2. 設定と仮定 ― 2資産と相関

以下の仮定を置きます。

2つの資産の期待収益率を $μ_{1}, μ_{2}$ 、標準偏差を $σ_{1}, σ_{2}$ （いずれも正）、相関係数を $ρ$ （ $- 1 \leq ρ \leq 1$ ）とする。
資産1の保有比率を $w$ 、資産2の保有比率を $1 - w$ とする。 $w + (1 - w) = 1$ 。空売りも許すので $w$ は任意の実数を取りうる。
1期間だけを考える。
数値に単位は付けない。

ポートフォリオの収益率を $R_{p} = w R_{1} + (1 - w) R_{2}$ と書きます。期待収益率は線形に混ざります。

μ_{p} = w μ_{1} + (1 - w) μ_{2} (1.1)

分散が線形に混ざるかどうかが、分散投資の本質です。

この節のまとめ：ポートフォリオの期待収益率は保有比率の1次関数ですが、分散はそうとは限りません。

3. 主張 ― 相関が1未満なら必ず膨らむ

定理 THM-DV-1（2資産の分散） ポートフォリオの分散は

$σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2} (2.1)$
である。

定理 THM-DV-2（最小分散の保有比率） $ρ < 1$ または $σ_{1} \neq = σ_{2}$ のとき（すなわち分母が0でないとき）、 $σ_{p}^{2}$ を最小にする保有比率は

$w^{*} = \frac{σ _{2}^{2} - ρ σ _{1} σ _{2}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}} (2.2)$
である。

定理 THM-DV-3（相関と曲線の形） 横軸を $σ_{p}$ 、縦軸を $μ_{p}$ とした平面において、

(a) $ρ = 1$ のとき、 $0 \leq w \leq 1$ のポートフォリオの集合は2点を結ぶ直線になる。

(b) $- 1 < ρ < 1$ のとき、 $0 \leq w \leq 1$ のポートフォリオの集合は、(a) の直線の左側に膨らむ曲線になる。

(c) $ρ = - 1$ のとき、 $σ_{p} = 0$ となる $w$ が存在し、リスクを完全に消せる。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 分散を保有比率で微分する

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第8回「二次形式と正定値性」へ。

THM-DV-1 の証明

$R_{p} = w R_{1} + (1 - w) R_{2}$ の分散を定義から計算します。分散の定義は $σ_{p}^{2} = E [(R_{p} - μ_{p})^{2}]$ です。

R_{p} - μ_{p} = w (R_{1} - μ_{1}) + (1 - w) (R_{2} - μ_{2})

両辺を2乗して期待値を取ります。2乗の展開で3つの項が出ます。

σ_{p}^{2} = E [(w (R_{1} - μ_{1}) + (1 - w) (R_{2} - μ_{2}))^{2}] = w^{2} E [(R_{1} - μ_{1})^{2}] + (1 - w)^{2} E [(R_{2} - μ_{2})^{2}] + 2 w (1 - w) E [(R_{1} - μ_{1}) (R_{2} - μ_{2})]

第1項は $w^{2} σ_{1}^{2}$ 、第2項は $(1 - w)^{2} σ_{2}^{2}$ です。第3項の期待値は共分散 $Cov (R_{1}, R_{2}) = ρ σ_{1} σ_{2}$ ですから

σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2}

これが (2.1) です。 ∎

THM-DV-2 の証明

(2.1) を $w$ の2次関数と見て最小値を求めます。 $w$ で微分します。

\frac{d σ _{p}^{2}}{d w} = 2 w σ_{1}^{2} - 2 (1 - w) σ_{2}^{2} + 2 (1 - 2 w) ρ σ_{1} σ_{2} (3.1)

各項の由来を説明します。第1項は $w^{2} σ_{1}^{2}$ の微分です。第2項は $(1 - w)^{2} σ_{2}^{2}$ の微分で、連鎖律から符号が負になります。第3項は $2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2}$ の微分で、 $w (1 - w)$ の微分 $1 - 2 w$ が出ます。

(3.1) を0と置いて $w$ について解きます。展開して整理します。

00 = 2 w σ_{1}^{2} - 2 σ_{2}^{2} + 2 w σ_{2}^{2} + 2 ρ σ_{1} σ_{2} - 4 w ρ σ_{1} σ_{2} = 2 w (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} - 2 ρ σ_{1} σ_{2}) - 2 (σ_{2}^{2} - ρ σ_{1} σ_{2})

分母 $σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} - 2 ρ σ_{1} σ_{2}$ は $(σ_{1} - σ_{2})^{2} + 2 (1 - ρ) σ_{1} σ_{2}$ と書けます。 $ρ < 1$ のとき第2項が正なので分母全体が正です。 $ρ = 1$ のときは $(σ_{1} - σ_{2})^{2}$ となり、 $σ_{1} \neq = σ_{2}$ なら正です。したがって

w^{*} = \frac{σ _{2}^{2} - ρ σ _{1} σ _{2}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}

2階微分を確認します。

\frac{d ^{2} σ _{p}^{2}}{d w ^{2}} = 2 (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} - 2 ρ σ_{1} σ_{2})

上で示したように分母は正なので、2階微分は正です。よって $w^{*}$ は最小点です。 ∎

THM-DV-3 の証明

(a) $ρ = 1$ のとき。

(2.1) に $ρ = 1$ を代入します。

σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{1} σ_{2} = (w σ_{1} + (1 - w) σ_{2})^{2}

因数分解できました。 $w σ_{1} + (1 - w) σ_{2}$ は $w$ の1次関数です。 $w$ が $[0, 1]$ の範囲にあるとき、 $w σ_{1} + (1 - w) σ_{2}$ は $σ_{2}$ から $σ_{1}$ へ単調に変化します。 $σ_{1}, σ_{2} > 0$ ですから、この区間では正です。よって

σ_{p} = w σ_{1} + (1 - w) σ_{2} (3.2)

(1.1)

(b) $- 1 < ρ < 1$ のとき。

$ρ = 1$ のときの標準偏差 $σ_{p}^{(ρ = 1)} = w σ_{1} + (1 - w) σ_{2}$ と比較します。任意の $ρ < 1$ に対して

σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2} < w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{1} σ_{2} = (w σ_{1} + (1 - w) σ_{2})^{2} = (σ_{p}^{(ρ = 1)})^{2}

ただしこの不等式は $w (1 - w) > 0$ 、すなわち $0 < w < 1$ のときに成り立ちます。 $w = 0$ と $w = 1$ では等号です。よって $σ_{p} < σ_{p}^{(ρ = 1)}$ が内点で成立し、曲線は直線の左側に膨らみます。

(c) $ρ = - 1$ のとき。

(2.1) に $ρ = - 1$ を代入します。

σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} - 2 w (1 - w) σ_{1} σ_{2} = (w σ_{1} - (1 - w) σ_{2})^{2}

$σ_{p} = 0$ となるのは $w σ_{1} = (1 - w) σ_{2}$ のとき、すなわち

w = \frac{σ _{2}}{σ _{1} + σ _{2}} (3.3)

$σ_{1}, σ_{2} > 0$ より $0 < w < 1$ なので、空売りなしで分散を0にできます。 ∎

5. 反例 ― 相関が1なら効果は無い

CEX-DV-1: 相関が1のとき分散低減は起きない

$σ_{1} = 0.2$ 、 $σ_{2} = 0.3$ 、 $ρ = 1$ とします。 $w = 0.5$ で半分ずつ持つ場合、(3.2) より

σ_{p} = 0.5 \times 0.2 + 0.5 \times 0.3 = 0.25

これは標準偏差の加重平均そのものです。2つの資産の標準偏差は 0.2 と 0.3 ですから、0.25 はその間にあるだけで、どちらか一方よりも小さくなっていません。リスクが「節約」されていないのです。

相関が1ということは、2つの資産が完全に連動するということです。上がるときは両方上がり、下がるときは両方下がります。組み合わせても、片方だけ下がって相殺してくれる状態が起きないので、分散は低減しません。

ただし、これは $0 \leq w \leq 1$ （空売りなし）の範囲での話です。空売りを許すと、 $ρ = 1$ でも (2.2) から $w^{*} = 3$ となり、(3.2) より $σ_{p} = 3 \times 0.2 - 2 \times 0.3 = 0$ です。資産2を空売りして資産1を買い増すと、同じ方向の値動きが打ち消し合うからです。ただしこのときの期待収益率は $- 0.02$ です。空売りなしで、標準偏差の小さい資産1だけを持つより標準偏差を下げられるのは、 $w^{*} < 1$ のとき、つまり (2.2) の分子が分母より小さいときです。整理すると $ρ σ_{1} σ_{2} < σ_{1}^{2}$ 、すなわち $ρ < σ_{1} / σ_{2} = 2/3$ のときに限ります。

CEX-DV-2: 最小分散ポートフォリオが最良とは限らない

$ρ = 0.5$ のとき、最小分散の保有比率は $w^{*} = 6/7 \approx 0.8571$ です。このとき

期待収益率 $μ_{p} = 0.0657$
標準偏差 $σ_{p} = 0.1964$

一方、資産2を100%保有すると

期待収益率 $μ_{2} = 0.10$
標準偏差 $σ_{2} = 0.30$

最小分散ポートフォリオはリスクが最も低い（0.1964 対 0.30）ですが、期待収益率は 0.0657 にとどまり、資産2の 0.10 を大きく下回ります。「リスクが一番小さい」ことと「一番良い」ことは違います。目的に応じて、最小分散より右側（リスクは高いが収益率も高い）の組み合わせを選ぶことがあります。

CEX-DV-3: 相関は安定していない

平常時の相関が $ρ = 0.3$ だとして、最小分散の保有比率を計算すると $w = 36/47 \approx 0.7660$ です。このとき標準偏差は 0.1867 です。

ところが市場が下落し、相関が $ρ = 0.8$ に跳ね上がったとします。保有比率はすぐには変えられません。同じ $w = 0.7660$ を維持すると、標準偏差は 0.2136 に悪化します。増加幅は約 14.4% です。

分散投資の効果は、相関が低いという前提に依存しています。その前提が壊れるのは、まさにリスクを抑えたい下落局面であることが多い、という点が実務上の課題です。

この節のまとめ：相関が1なら分散低減は起きず、最小分散は収益率で劣り、相関自体が不安定であることが分散投資の限界です。

6. 数値例 ― 相関を変えながら曲線を描く

$μ_{1} = 0.06$ 、 $μ_{2} = 0.10$ 、 $σ_{1} = 0.20$ 、 $σ_{2} = 0.30$ で固定し、 $ρ$ を $1, 0.5, 0, - 1$ と変えます。 $w$ を 0 から 1 まで 0.1 刻みで動かしたときの $(σ_{p}, μ_{p})$ を一覧にします。

$ρ = 1$ （直線）

$w$	$μ_{p}$	$σ_{p}$
0.0	0.1000	0.3000
0.2	0.0920	0.2800
0.4	0.0840	0.2600
0.6	0.0760	0.2400
0.8	0.0680	0.2200
1.0	0.0600	0.2000

$σ_{p}$ が 0.30 から 0.20 へ等間隔で減っています。直線です。

$ρ = 0.5$ （左に膨らむ曲線）

$w$	$μ_{p}$	$σ_{p}$
0.0	0.1000	0.3000
0.2	0.0920	0.2623
0.4	0.0840	0.2307
0.6	0.0760	0.2078
0.8	0.0680	0.1970
1.0	0.0600	0.2000

$w = 0.8$ あたりで $σ_{p} = 0.1970$ となり、どちらの資産単独よりも小さくなっています。これがただ飯です。

最小分散ポートフォリオ: $w^{*} = 6/7 \approx 0.8571$ のとき $σ_{p} = 0.1964$ 。

$ρ = 0$ （さらに膨らむ）

$w$	$μ_{p}$	$σ_{p}$
0.0	0.1000	0.3000
0.2	0.0920	0.2433
0.4	0.0840	0.1970
0.6	0.0760	0.1697
0.8	0.0680	0.1709
1.0	0.0600	0.2000

最小分散は $w^{*} = 9/13 \approx 0.6923$ 、 $σ_{p} = 0.1664$ です。相関が低いほど曲線が左に膨らみ、分散低減効果が大きくなります。

$ρ = - 1$ （分散を0にできる）

$w$	$μ_{p}$	$σ_{p}$
0.0	0.1000	0.3000
0.2	0.0920	0.2000
0.4	0.0840	0.1000
0.6	0.0760	0.0000
0.8	0.0680	0.1000
1.0	0.0600	0.2000

$w = 3/5 = 0.6$ で $σ_{p} = 0$ です。(3.3) に $σ_{1} = 0.2$ , $σ_{2} = 0.3$ を代入すると $w = 0.3/0.5 = 0.6$ で一致します。

相関の変化と最小標準偏差の悪化

相関が $0.3$ から $0.8$ に変わったとき、平常時の最小分散保有比率 $w = 36/47$ を維持すると、標準偏差は 0.1867 から 0.2136 へ 14.4% 悪化します。

この節のまとめ：相関が1未満であれば曲線は必ず直線の左に膨らみ、低いほど分散低減効果は大きくなります。 $ρ = - 1$ なら分散を完全に0にできます。

7. 次回へ ― 資産数を増やして一般化する

今回は2資産に限定して、分散の公式・最小分散の保有比率・相関と曲線の形の3つを証明しました。次回（第37回）では資産数を $n$ に増やし、すべての組み合わせの集合がどのような形になるかを導きます。

次のマイルストーンまであと 6 本です。

よくある質問

ただ飯とはどういう意味ですか

期待収益率を下げずにリスクだけ下げられる、という意味です。相関が1未満なら必ず起きます。

相関がマイナスの資産を探せばいいのですか

理論上はそうですが、安定してマイナスの相関を保つ組み合わせはほとんどありません。

最小分散が一番良い組み合わせですか

リスクだけを見ればそうですが、期待収益率が低くなることが多いので、目的次第です。

参考文献

Markowitz H.、Portfolio Selection、The Journal of Finance、1952年、DOI 10.2307/2975974
Luenberger D. G.、Investment Science、第2版、Oxford University Press、2013年

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。