第45回(a) リスク中立確率はどこから来るのか ― 主観確率が消える計算

位置: 第5部 第45回(a) / 前提: 第43回（1期間2状態モデル）、第44回（複製ポートフォリオ） / 数学編: なし / この回でできるようになること: ディーラーの提示するオプション価格に、その人の相場観がどれだけ混ざっているかを見抜ける

0. 物語 ― 予想が当たる天才が損をする

ある株のことなら誰よりも詳しい、相場の天才がいるとします。今の株価は100円です。1年後には120円に上がるか、90円に下がるか、どちらかしか起こりません。お金を銀行に預けると、1年で5%の利息が付きます。

天才は「この株は7割の確率で上がる」と読んでいます。そして実際、その読みはよく当たります。天才はこう考えました。「1年後に株を100円で買える権利があれば、上がった世界では20円の得になり、下がった世界では何ももらえない。7割で20円なのだから、平均すれば14円。利息の分を割り引くと、今の値打ちは約13.3円だ」。天才はこの権利を、13.3円で買いました。

売ったのは、相場の予想をまったくしない人です。この人は権利を売った直後に、株を3分の2株だけ買い、足りない約57円を銀行から借ります。自分の財布から出ていくのは約9.5円だけです。

1年後、上がった世界では、持っている株は80円になり、借金は利息込みで60円なので、手元に残るのはちょうど20円です。これで天才に払う20円がまかなえます。下がった世界では、株は60円、借金も60円で、残りは0円です。天才に払うものもありません。

どちらの世界になっても、売った人の1年後の損得はゼロです。つまり最初に受け取った約13.3円と、自分で出した約9.5円の差、約3.8円は、上がっても下がっても売った人のものになります。

天才の予想が当たって株が上がっても、この3.8円は戻ってきません。天才が払った13.3円のうち、権利を作るのに必要だったのは9.5円だけで、残りの3.8円は「7割で上がる」という相場観への上乗せだったのです。

この回で証明するのは、この権利の値段は相場観と無関係にただ一つに決まり、そこに相場観を混ぜた人は、予想が当たっても外れても、混ぜた分を持っていかれる、ということです。

1. 動機 ― 「期待値を割り引く」は半分間違っている

この回を読み終えると、ディーラーの提示するオプション価格に、その人の相場観がどれだけ混ざっているかを見抜けます。

オプションの価格は「満期のペイオフの期待値を割り引いたもの」だ、という説明をよく見かけます。これは半分正しく、半分間違っています。間違っている半分が致命的で、その期待値をどの確率で取るのかが抜けています。

株が上がる確率を、あなたがどれだけ真剣に推定しても、その数字はオプション価格に一切現れません。今回はこれを証明します。ついでに、代わりに現れる「別の確率」がどこから来るのかも、代数計算だけで完全に導きます。

第44回で、コールオプションを株と安全資産で複製できることを見ました。今回はその複製コストの式を整理し直すだけです。新しい道具は何も要りません。要るのは、式を眺める角度を変えることだけです。

この記事で証明すること

• THM-RNM1-1 無裁定であることは、$d<1+r<u$ という数値条件と同値です。
• THM-RNM1-2 無裁定のとき、割引後の株価を保つ確率 $q\in (0,1)$ がただひとつ存在します。
• THM-RNM1-3 任意のペイオフの複製コストは ${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]/(1+r)$ に等しく、主観確率 $p$ に依存しません。

2. 設定と仮定 ― 世界で一番簡単な市場を作る

第43回のモデルをそのまま使います。仮定を全部書き出します。どれが後で壊れるかを見るために、全部です。

• 時間: $t=0$（現在）と $t=1$（満期）の1期間のみ。
• 状態: 満期に起こりうる世界は2つ、$\Omega =\{{\omega }_u,{\omega }_d\}$。
• 原資産: 現在価格 $S_0>0$。満期には $S_1({\omega }_u)=u{S}_0$ または $S_1({\omega }_d)=d{S}_0$。ただし $0<d<u$。
• 安全資産: 時刻0に1を預けると時刻1に $1+r$ になる。$r>-1$ は確定した値。
• 主観確率: 上昇の確率は $\mathbb{P}({\omega }_u)=p$、$p\in (0,1)$。これは市場参加者が「そう思っている」確率です。
• 摩擦なし: 取引コスト、税、売買スプレッドはない。空売りができる。株も安全資産も任意の実数単位で売買できる。

ポートフォリオは $(\Delta ,B)$ の組で表します。$\Delta$ は株の保有量、$B$ は安全資産に置く金額（負なら借入）です。価値は

$$V_0=\Delta S_0+B,V_1(\omega )=\Delta S_1(\omega )+B(1+r).$$

裁定とは、次を満たすポートフォリオのことです。

$$\begin{array}{rl}& V_0\le 0,\\ & V_1(\omega )\ge 0\text{for all }\omega ,\\ & V_1(\omega )>0\text{for some }\omega .\end{array}$$

「タダかそれ以下で手に入り、損はせず、得することがある」。これが存在しないとき、市場は無裁定であると言います。第2回で述べた通り、本シリーズで仮定する公理はこれ一つです。

3. 主張 ― 3つの定理を正確に述べる

3つの定理を示します。ひとつ目は無裁定を数値条件に翻訳し、ふたつ目でリスク中立確率が生まれ、みっつ目で主観確率が消えます。

定理 THM-RNM1-1（無裁定の特徴づけ） 上のモデルが無裁定であることと、次は同値である。

$$d<1+r<u.$$

定理 THM-RNM1-2（リスク中立確率の存在と一意性） モデルが無裁定であるとき、

$$q:=\frac{1+r-d}{u-d}$$

とおくと $q\in (0,1)$ であり、

$$S_0=\frac{q\cdot u{S}_0+(1-q)\cdot d{S}_0}{1+r}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

が成り立つ。さらに (3.1) を満たす $q\in (0,1)$ はこれ以外に存在しない。逆に、(3.1) を満たす $q\in (0,1)$ が存在すれば、モデルは無裁定である。

(3.1) が言っているのは、「$q$ という重みで平均した満期の株価を割り引くと、ちょうど今の株価に戻る」ということです。この $q$ をリスク中立確率と呼びます。$\mathbb{Q}({\omega }_u)=q$, $\mathbb{Q}({\omega }_d)=1-q$ と書きます。

定理 THM-RNM1-3（複製コストのリスク中立表現） モデルが無裁定であるとき、任意のペイオフ $X=(X_u,X_d)$ に対し、$X$ を複製するポートフォリオ $(\Delta ,B)$ が一意に存在し、その時刻0のコストは

$$\begin{array}{rl}{V}_0& =\Delta S_0+B\\ & =\frac{q{X}_u+(1-q)X_d}{1+r}=\frac{{\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]}{1+r}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

に等しい。この値は $p$ に依存しない。

冒頭の「期待値を割り引く」という説明は、期待値を $\mathbb{Q}$ で取る限り正しい、というのが (3.2) の主張です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 不等式の操作だけで裁定を作る

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-RNM1-1 の証明

(⇐) $d<1+r<u$ ならば無裁定。

任意のポートフォリオ $(\Delta ,B)$ で $V_0\le 0$ を満たすものを取ります。つまり $B\le -\Delta S_0$。このとき

$$\begin{array}{rl}{V}_1({\omega }_u)& =\Delta u{S}_0+B(1+r)\\ & \le \Delta u{S}_0-\Delta S_0(1+r)\\ & =\Delta S_0(u-(1+r)),\\ V_1({\omega }_d)& =\Delta d{S}_0+B(1+r)\\ & \le \Delta S_0(d-(1+r)).\end{array}$$

$\Delta$ の符号で場合分けします。

• $\Delta >0$ のとき。$d-(1+r)<0$ なので $V_1({\omega }_d)<0$。裁定の条件「全ての状態で $V_1\ge 0$」に反する。
• $\Delta <0$ のとき。$u-(1+r)>0$ に負の $\Delta S_0$ が掛かるので $V_1({\omega }_u)<0$。同じく反する。
• $\Delta =0$ のとき。$B\le 0$ で、$V_1(\omega )=B(1+r)\le 0$ が両状態で成り立つ。$V_1\ge 0$ と両立するのは $B=0$ のみで、そのとき $V_1\equiv 0$ となり「ある状態で $V_1>0$」を満たさない。

どの場合も裁定にならないので、無裁定です。

(⇒) 無裁定ならば $d<1+r<u$。

対偶を示します。$d<1+r<u$ が成り立たない、つまり $1+r\le d$ または $1+r\ge u$ のとき、裁定を作ります。

$1+r\le d$ の場合。 借金して株を買う。$\Delta =1,B=-S_0$。$V_0=S_0-S_0=0$。

$$\begin{array}{rl}{V}_1({\omega }_u)& =u{S}_0-(1+r)S_0\\ & =(u-(1+r))S_0>0,\\ V_1({\omega }_d)& =(d-(1+r))S_0\ge 0.\end{array}$$

$u>d\ge 1+r$ より前者は正、後者は非負。裁定です。

$1+r\ge u$ の場合。 株を空売りして安全資産に置く。$\Delta =-1,B=S_0$。$V_0=0$。

$$\begin{array}{rl}{V}_1({\omega }_u)& =(1+r-u)S_0\ge 0,\\ V_1({\omega }_d)& =(1+r-d)S_0>0.\end{array}$$

裁定です。 ∎

この証明で使ったのは不等式の操作だけです。確率 $p$ は一度も登場していません。裁定の定義に「確率」が入っているように見えますが、実際に使っているのは「どの状態が起こりうるか」だけで、「どの程度起こりやすいか」は使っていません。ここが全ての出発点です。

THM-RNM1-2 の証明

(3.1) の両辺に $(1+r)$ を掛けて $S_0>0$ で割ると

$$1+r=qu+(1-q)d=d+q(u-d).$$

これは $q$ の1次方程式で、$u\ne d$ なので解は一意に

$$q=\frac{1+r-d}{u-d}.$$

$u-d>0$ ですから、$q>0⟺1+r>d$、$q<1⟺1+r<u$。したがって

$$\begin{array}{rl}& q\in (0,1)\\ & ⟺d<1+r<u\\ & ⟺\text{無裁定（THM-RNM1-1）}.\end{array}$$

存在・一意性・逆向きが全て一度に出ました。 ∎

THM-RNM1-3 の証明

ペイオフ $X=(X_u,X_d)$ を複製する条件は、各状態でポートフォリオ価値がペイオフに一致することです。

$$\{\begin{array}{l}\Delta u{S}_0+B(1+r)=X_u\\ \Delta d{S}_0+B(1+r)=X_d\end{array}$$

辺々引いて $\Delta (u-d)S_0=X_u-X_d$。$u\ne d$ なので

$$\Delta =\frac{X_u-X_d}{(u-d)S_0}.\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

これを第1式に戻して

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{X_u-\Delta u{S}_0}{1+r}\\ & =\frac{1}{1+r}\left(X_u-\frac{u(X_u-X_d)}{u-d}\right)\\ & =\frac{u{X}_d-d{X}_u}{(u-d)(1+r)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

2つの未知数に対し2本の独立な1次方程式なので、解は一意です。これで複製ポートフォリオの存在と一意性が出ました。

複製コストを計算します。

$$\begin{array}{rl}{V}_0& =\Delta S_0+B\\ & =\frac{X_u-X_d}{u-d}+\frac{u{X}_d-d{X}_u}{(u-d)(1+r)}\\ & =\frac{(X_u-X_d)(1+r)+u{X}_d-d{X}_u}{(u-d)(1+r)}\\ & =\frac{X_u(1+r-d)+X_d(u-1-r)}{(u-d)(1+r)}.\end{array}$$

ここで分子を $(u-d)$ で割って整理すると、$\frac{1+r-d}{u-d}=q$、$\frac{u-(1+r)}{u-d}=1-q$ ですから

$$V_0=\frac{q{X}_u+(1-q)X_d}{1+r}.$$

これが (3.2) です。右辺に $p$ は現れません。 ∎

価格が複製コストに一致することを補足しておきます。もしオプションが複製コストより高い価格 $\pi >V_0$ で取引されていれば、オプションを売って複製ポートフォリオを買う。時刻0に $\pi -V_0>0$ を受け取り、満期にはオプションの支払い義務と複製ポートフォリオの価値が全状態で相殺するので損失はゼロ。裁定です。$\pi <V_0$ なら逆をやります。したがって無裁定のもとで価格は $V_0$ しかあり得ません。

なぜ主観確率が消えるのか

証明を眺めると理由が見えます。複製の条件は各状態で等式が成り立つことでした。「上がった世界でもぴったり」「下がった世界でもぴったり」。これは状態ごとの条件であって、状態の起こりやすさを平均する操作はどこにも含まれていません。平均を取らないのだから、平均の重みである $p$ は入りようがない。

一方 $q$ は、(3.1) の形からわかるように「割引後の株価の平均を今の株価に一致させる重み」として定義されています。これは確率のように見えますが、誰かがそう信じている確率ではなく、価格の整合性から逆算された重みです。「リスク中立」という名前の由来は本編46で扱いますが、今の段階では「無裁定条件を確率の形に書き直したもの」と理解しておけば十分です。

5. 反例 ― 仮定を外すと何が壊れるか

CEX-RNM1-1: 主観確率で価格付けをする相手を狩る

「価格 = 主観的期待値の割引」という誤解が、単に不正確なだけでなく損失を生むことを示します。

第6節の数値（$S_0=100,u=1.2,d=0.9,r=0.05,K=100$）を使います。コールのペイオフは $X_u=20,X_d=0$。

あるディーラーが、株の上昇確率を $p=0.7$ と見積もり、その期待値を割り引いた

$$\frac{0.7\times 20+0.3\times 0}{1.05}=13.3333$$

をコールの「適正価格」として提示したとします。

こちらは次のように動きます。

1. ディーラーにコールを1単位、13.3333 で売る。
2. 複製ポートフォリオ $\Delta =2/3$ 株を買い、$B=-57.1429$ すなわち 57.1429 を借りる。コストは $9.5238$。
3. 差額 $13.3333-9.5238=3.8095$ を時刻0に受け取る。

満期には、コールの支払いと複製ポートフォリオの価値が両状態で一致します（上昇: $\frac{2}{3}\times 120-60=20$、下落: $\frac{2}{3}\times 90-60=0$）。よって満期の損益はゼロ、時刻0の $3.8095$ がそのまま無リスクの利益です。

ディーラーの $p=0.7$ が正しいかどうかは無関係です。$p=0.99$ でも $p=0.01$ でも、$q=0.5$ から外れた瞬間に狩られます。主観確率が価格に入らないのは、入れた人が裁定されるからです。

CEX-RNM1-2: 無裁定の数値条件を壊す

THM-RNM1-1 の条件が破れた市場を作ります。$r=0.25$ とすると $1+r=1.25\ge u=1.2$。

株を1単位空売りして 100 を安全資産に置く（$\Delta =-1,B=100$）。$V_0=0$。

$$\begin{array}{rl}{V}_1({\omega }_u)& =-120+125=5,\\ V_1({\omega }_d)& =-90+125=35.\end{array}$$

元手ゼロで、どちらの状態でも正の利益。裁定です。株のどんな上昇シナリオでも安全資産に負けるなら、株を持つ理由がない。市場が存在しません。

このとき $q=(1.25-0.9)/0.3=1.1667>1$ となり、確率として解釈できなくなります。定理2の「$q\in (0,1)$」が無裁定と同値である、という主張がここで目に見えます。

6. 数値例 ― S=100、u=1.2、d=0.9 で確かめる

$S_0=100$, $u=1.2$, $d=0.9$, $r=0.05$, 行使価格 $K=100$ のコール。

	上昇 ${\omega }_u$	下落 ${\omega }_d$
$S_1$	120	90
コールのペイオフ $X$	20	0

無裁定の確認: $d=0.9<1.05<1.2=u$。成立。

リスク中立確率:

$$q=\frac{1.05-0.9}{1.2-0.9}=\frac{0.15}{0.30}=\frac{1}{2}.$$

検算: $\frac{0.5\times 120+0.5\times 90}{1.05}=\frac{105}{1.05}=100=S_0$。(3.1) が成り立っています。

複製ポートフォリオ（(4.1), (4.2)）:

$$\Delta =\frac{20-0}{(1.2-0.9)\times 100}=\frac{2}{3},$$

$$B=\frac{1.2\times 0-0.9\times 20}{0.3\times 1.05}=-\frac{400}{7}=-\mathrm{57.1429.}$$

複製コスト:

$$V_0=\frac{2}{3}\times 100-57.1429=\mathrm{9.5238.}$$

リスク中立表現で検算（(3.2)）:

$$\frac{0.5\times 20+0.5\times 0}{1.05}=\frac{10}{1.05}=\mathrm{9.5238.}$$

一致します。厳密には $200/21$ です。

この計算のどこにも $p$ を入力していないことを確認してください。「株は上がりそうだ」という情報は、$S_0=100$ という現在価格に既に織り込まれている、とも言えます。

7. 次回へ ― 状態が3つになると何が起きるか

今回の結論は「2状態なら $q$ は一意に決まり、価格も一意に決まる」でした。

では状態を3つにしたらどうなるか。株と安全資産の2つの道具で3つの状態を複製することは、一般にはできません。そのとき (3.1) を満たす $q$ は一意でなくなり、価格は一つの値ではなく区間になります。次回 45b では、これを具体的な数値で見ます。「無裁定だけでは価格が決まらない」市場の最初の例です。

次のマイルストーンまであと 10 本です。

よくある質問

リスク中立確率は実際に上がる確率のことですか

違います。価格を計算するための重みで、現実に上がる確率とは別物です。現実の確率はこの計算のどこにも出てきません。

なぜ主観確率が価格に出てこないのですか

価格が複製のコストで決まるからです。作るのにいくらかかるかは、上がる見込みをどう思うかに左右されません。

上昇確率をどう見積もっても価格が同じなら、予想は無意味なのですか

価格付けには使いません。持ち続けたときの損益の見通しには効きます。役割が違います。

参考文献

1. Cox J. C.、Ross S. A. and Rubinstein M.、Option Pricing ― A Simplified Approach、Journal of Financial Economics、1979年、DOI 10.1016/0304-405X(79)90015-1
2. Pliska S. R.、Introduction to Mathematical Finance ― Discrete Time Models、Blackwell、1997年

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数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。