第45回(b) 状態が3つになると価格が決まらない ― 一物一価が崩れる瞬間

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2026年9月25日

位置: 第5部第45回(b) / 前提: 第43回、第44回、第45回(a) / 数学編: M16 / この回でできるようになること: 複製できないオプションについて、無裁定だけで決まる価格の上限と下限を計算できる

0. 物語 ― 価格が一つに決まらなくても裁定は無い

デリバティブのトレーディングデスクで、新しいオプションの値付けが議論になっています。対象は、来期の決算発表で株価が大きく上がったときだけ利益が出る商品です。ところが、来期の決算には「大幅増益」「横ばい」「減益」の3通りのシナリオがあり、手元で取引できるのは株と預金の2本だけです。

前回までの2通りの世界なら、株と預金を組み合わせてオプションのペイオフをぴったり再現でき、値段はひとつに決まりました。しかし今回は世界が3通りあるのに道具が2本しかありません。2本の道具では3つの世界を全部カバーできないので、オプションを「作り直す」ことができません。

作り直せないとどうなるか。理論が出す答えは「値段は1つではなく、幅を持つ」です。この商品の場合、無裁定と矛盾しない値段はおよそ4.76から9.52の間のどこかです。5でも7でも9でも、この範囲に収まっていれば、どれだけ頑張っても「元手ゼロで確実にもうかる取引」は組み立てられません。

実際に5で売ろうとしてヘッジを組んでみると、ある状態では株をたくさん持たなければならず、別の状態では株を減らさなければなりません。2つの条件が矛盾して、全部の状態で損をしない組み合わせが見つからないのです。買い側でも同じことが起こります。

一方、この幅を外れた値段、たとえば12で売りに出されたらどうなるでしょう。売り手はおよそ9.52の元手でペイオフを上回るポートフォリオを作れるので、差額のおよそ2.48が確実な利益になります。幅の外では裁定が成立してしまうのです。

「値段が1つに決まらない」と聞くと、市場が壊れているように感じるかもしれません。しかしこの回で確かめるのは、幅の中にいる限り裁定は存在しないということ、そして幅の広さは道具の不足が生み出しているということです。

1. 動機 ― 状態を1つ増やすだけで価格が決まらなくなる

この回を読み終えると、複製できないオプションについて、無裁定だけで決まる価格の上限と下限を計算できます。

前回（第45回(a)）では、2状態モデルで主観確率が消え、リスク中立確率 $q$ がただひとつに定まることを見ました。ペイオフが何であれ、 $q$ を使えば価格は一意に決まる ― これが「完備市場」の世界です。

では、起こりうる状態を3つに増やしたらどうなるでしょうか。取引できる資産は株と安全資産の2本だけのまま、世界のシナリオだけ1つ追加します。この「たった1つの追加」が、価格の決まり方を根本から変えます。

今回の主役は複製の失敗です。2本の道具では3つの世界を全部カバーできないので、特定のペイオフを作り直す方法が存在しなくなります。すると、リスク中立確率は1つに絞れず、無裁定でも価格は幅を持ちます。

この記事で証明すること

THM-IM3-1 3状態で資産が2本しかないとき、複製可能なペイオフは $R^{3}$ の2次元部分空間にとどまり、複製できないペイオフが存在します。
THM-IM3-2 割引後の原資産価格を保つ正の確率ベクトル $q$ の全体 $Q$ は1次元の開線分になり、一意ではありません。
THM-IM3-3 複製できないペイオフの無裁定価格全体は、 $Q$ 上での割引期待値の下限と上限がつくる開区間に一致します。

2. 設定と仮定 ― 3状態1期間、取引できるのは2本だけ

仮定を全て書き出します。前回との違いは状態が1つ増えたことだけです。

時間: $t = 0$ （現在）と $t = 1$ （満期）の1期間のみ。
状態: 満期に起こりうる世界は3つ、 $Ω = {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}}$ 。
原資産: 現在価格 $S_{0} > 0$ 。満期には3つの異なる値を取ります。

S_{1} (ω_{1}) = u_{1} S_{0}, S_{1} (ω_{2}) = u_{2} S_{0}, S_{1} (ω_{3}) = u_{3} S_{0} .

ただし $u_{1} > u_{2} > u_{3} > 0$ です。

安全資産: 時刻0に1を預けると時刻1に $1 + r$ になります。 $r > - 1$ は確定した値です。
無裁定条件: $u_{3} < 1 + r < u_{1}$ 。これは前回の $d < 1 + r < u$ の自然な拡張で、安全資産の成長率が株価の最大と最小の間に入ることを意味します。
主観確率: すべての状態で正、 $P (ω_{i}) > 0$ 。
摩擦なし: 取引コスト、税、売買スプレッドはありません。空売りができます。株も安全資産も任意の実数単位で売買できます。

ポートフォリオ $(Δ, B)$ の価値は

V_{0} V_{1} (ω_{i}) = Δ S_{0} + B, = Δ S_{1} (ω_{i}) + B (1 + r) .

です。 $Δ$ は株の保有量、 $B$ は安全資産に置く金額です。

前回との唯一の違いは $∣Ω∣ = 3$ です。未知数 $(Δ, B)$ は2つのまま、拘束条件は3本に増えます。ここに不完備性の源があります。

3. 主張 ― 複製できないペイオフと、価格の区間

定理 THM-IM3-1（複製可能なペイオフの部分空間）

3状態1期間で取引できる資産が安全資産と原資産の2本だけのとき、複製可能なペイオフ全体は $R^{3}$ の2次元部分空間であり、複製できないペイオフが存在する。

定理 THM-IM3-2（リスク中立確率が一意でなくなること）

無裁定であることと、割引後の原資産価格を保つ正の確率ベクトル $q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})$ が存在することは同値である。ただしその全体 $Q$ は1次元の開線分になり、一意でない。

具体的には、 $q_{1} + q_{2} + q_{3} = 1$ かつ

S_{0} = \frac{q _{1} \cdot u _{1} S _{0} + q _{2} \cdot u _{2} S _{0} + q _{3} \cdot u _{3} S _{0}}{1 + r} (3.1)

を満たす正のベクトルの全体です。前回（THM-RNM1-2）では解が1点でしたが、今回は方程式の本数が足りず、解が線分になります。

定理 THM-IM3-3（無裁定価格は区間になる）

複製できないペイオフ $X$ の無裁定価格全体は、 $Q$ 上での割引期待値の下限と上限がつくる開区間に一致する。

π \in (q \in Q in f \frac{E ^{q} [ X ]}{1 + r}, q \in Q sup \frac{E ^{q} [ X ]}{1 + r}) . (3.2)

前回は $Q$ が1点だったので区間が潰れて価格が一意に決まりました。 $Q$ が広がると価格にも幅が出ます。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 未知数2・方程式3が解けないことを確かめる

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第16回「条件付き期待値は射影である」へ。

THM-IM3-1 の証明

ペイオフ $X = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in R^{3}$ が複製可能であるとは、ある $(Δ, B)$ が存在して

Δ \cdot u_{i} S_{0} + B (1 + r) = X_{i} (i = 1, 2, 3) (4.1)

が全て成り立つことです。この連立方程式を行列で書きます。

A u_{1} S_{0} u_{2} S_{0} u_{3} S_{0} 1 + r 1 + r 1 + r (Δ B) = X_{1} X_{2} X_{3} . (4.2)

$A$ は $3 \times 2$ 行列です。第1列は $(u_{1} S_{0}, u_{2} S_{0}, u_{3} S_{0})$ で、 $u_{1} > u_{2} > u_{3}$ より3成分が異なるので零ベクトルではありません。第2列は $(1 + r, 1 + r, 1 + r)$ で、これも零ではありません。しかも $u_{i}$ が異なるので第1列は第2列の定数倍ではありません。

したがって $A$ の2本の列は一次独立であり、 $A$ の階数は $2$ です。 $A$ の像 $Im (A) \subset R^{3}$ は2次元部分空間です。

$R^{3}$ の次元は3、 $Im (A)$ の次元は2なので、 $Im (A)$ に入らないベクトルが必ず存在します。具体的な例は反例 CEX-IM3-1 で示します。

これが不完備性の核心です。2本の資産で張れるのは $R^{3}$ の2次元分だけなので、3次元のうち1次元分は「手の届かない方向」として残ります。 ∎

THM-IM3-2 の証明

（存在と構造） (3.1) の両辺を $S_{0} > 0$ で割り、 $(1 + r)$ を掛けると

1 + r = q_{1} u_{1} + q_{2} u_{2} + q_{3} u_{3} . (4.3)

$q_{1} + q_{2} + q_{3} = 1$ と合わせて、未知数3つに対して方程式は2本です。自由度は $3 - 2 = 1$ なので、解は1次元の集合になります。

$q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2}$ を (4.3) に代入して整理します。 $u_{3}$ でまとめる操作をする目的は、 $q_{1}$ と $q_{2}$ だけの関係式を得ることです。

q_{1} (u_{1} - u_{3}) + q_{2} (u_{2} - u_{3}) = 1 + r - u_{3} . (4.4)

$u_{1} - u_{3} > 0$ , $u_{2} - u_{3} > 0$ です。 $q_{1}$ をパラメータにして $q_{2}$ を表すと

q_{2} = \frac{( 1 + r - u _{3} ) - ( u _{1} - u _{3} ) q _{1}}{u _{2} - u _{3}} . (4.5)

$q_{3}$ は $q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2}$ で決まります。 $q_{1}$ を動かすと $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ は $R^{3}$ 内の直線を描きます。

（正の条件で開線分になること） 3成分がすべて正になる範囲を求めます。

$q_{1}$ はパラメータとして正の範囲を動かすので、この条件は仮定そのものです。 $q_{2} > 0$ から

q_{1} < \frac{1 + r - u _{3}}{u _{1} - u _{3}} . (4.6)

$q_{3} > 0$ すなわち $1 - q_{1} - q_{2} > 0$ に (4.5) を代入して整理すると、分母の符号に注意しながら

q_{1} > \frac{1 + r - u _{2}}{u _{1} - u _{2}} \cdot \frac{u _{2} - u _{3}}{u _{1} - u _{3}} \cdot \frac{u _{1} - u _{3}}{u _{2} - u _{3}}

と書くよりも直接計算した方が明快です。 $q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2}$ に (4.5) を代入します。

q_{3} = 1 - q_{1} - \frac{( 1 + r - u _{3} ) - ( u _{1} - u _{3} ) q _{1}}{u _{2} - u _{3}} = \frac{( u _{1} - u _{2} ) q _{1} - ( 1 + r - u _{2} )}{u _{2} - u _{3}} .

通分して分子を展開すると、定数項は $u_{2} - u_{3} - 1 - r + u_{3} = u_{2} - 1 - r$ であり、 $q_{1}$ の係数は $- (u_{2} - u_{3}) + (u_{1} - u_{3}) = u_{1} - u_{2}$ です。したがって $q_{3}$ は (4.7) の形になります。

q_{3} = \frac{( u _{1} - u _{2} ) q _{1} + ( u _{2} - 1 - r )}{u _{2} - u _{3}} . (4.7)

$u_{1} > u_{2}$ かつ $u_{2} - u_{3} > 0$ なので、 $q_{3} > 0$ は

q_{1} > \frac{1 + r - u _{2}}{u _{1} - u _{2}} . (4.8)

この下限が正であるためには $1 + r > u_{2}$ が必要ですが、 $u_{3} < 1 + r < u_{1}$ のもとで $u_{2}$ は $1 + r$ より上にも下にもなり得ます。 $1 + r \leq u_{2}$ のときは右辺が $0$ 以下になるので $q_{1} > 0$ の条件に吸収されます。

まとめると、 $q_{1}$ の動く範囲は開区間になります。端点ではどれかの成分が $0$ になり（上端では $q_{2} = 0$ 、下端では $q_{3} = 0$ または $q_{1} = 0$ ）、「正の確率ベクトル」の条件から外れます。したがって $Q$ は1次元の開線分です。

（無裁定との同値性） 正の $q$ が存在するとき、任意のポートフォリオ $(Δ, B)$ で $V_{0} \leq 0$ を満たすものについて、 $E^{q} [V_{1}] = (1 + r) (Δ S_{0} + B) = (1 + r) V_{0} \leq 0$ です。もし全状態で $V_{1} (ω_{i}) \geq 0$ なら、 $q_{i} > 0$ より $E^{q} [V_{1}] \geq 0$ ですが、 $\leq 0$ でもあるので $E^{q} [V_{1}] = 0$ です。 $q_{i} > 0$ と $V_{1} (ω_{i}) \geq 0$ から、全状態で $V_{1} (ω_{i}) = 0$ となり、裁定は存在しません。

逆に、正の $q$ が存在しないとき裁定が構成できることは、線形計画の双対定理（ファルカスの補題）から従います。 ∎

THM-IM3-3 の証明（要点）

証明の方針を述べます。ペイオフ $X$ が複製できないとき、「 $X$ を新たな取引対象として価格 $π$ で市場に加えたとき、拡張された市場が無裁定であるような $π$ の全体」を求めます。

拡張市場のポートフォリオは $(Δ, B, φ)$ で、 $φ$ は $X$ の保有量です。

V_{0} V_{1} (ω_{i}) = Δ S_{0} + B + φ π, = Δ S_{1} (ω_{i}) + B (1 + r) + φ X_{i} .

拡張市場が無裁定であるためには、THM-IM3-2 と同じ論法で、 $q_{1}, q_{2}, q_{3} > 0$ かつ (4.3) と

π = \frac{q _{1} X _{1} + q _{2} X _{2} + q _{3} X _{3}}{1 + r} = \frac{E ^{q} [ X ]}{1 + r} (4.9)

を同時に満たす $q$ が存在することが必要十分です。 $q$ が $Q$ を動くと $E^{q} [X] / (1 + r)$ は連続関数として動きますから、その値域が $π$ の取りうる範囲です。

$E^{q} [X] / (1 + r)$ は $q_{1}$ の1次関数（ $Q$ が $q_{1}$ でパラメトライズされた開線分なので）です。したがって値域は開区間になります。この開区間の端点は $q_{1}$ の端点に対応しますが、端点自体はどれかの $q_{i} = 0$ なので $Q$ に含まれず、開区間です。

これが (3.2) の主張です。 ∎

5. 反例 ― 価格が一意でなくても裁定はない

反例 CEX-IM3-1: コールの複製方程式が解けない

$S_{0} = 100$ , $u = (1.2, 1.0, 0.9)$ , $r = 0.05$ として、行使価格 $100$ のコールを考えます。ペイオフは

X = (max (120 - 100, 0), max (100 - 100, 0), max (90 - 100, 0)) = (20, 0, 0) .

複製方程式 (4.1) の最初の2本（ $ω_{1}$ と $ω_{2}$ ）だけを解いてみます。

{120Δ + \frac{21}{20} B = 20 100Δ + \frac{21}{20} B = 0

辺々引くと $20Δ = 20$ 、よって $Δ = 1$ です。第2式に戻すと $B = - 100/ \frac{21}{20} = - \frac{2000}{21} \approx - 95.2381$ です。

この $(Δ, B)$ を第3式（ $ω_{3}$ ）に代入します。

1 \times 90 + (- \frac{2000}{21}) \times \frac{21}{20} = 90 - 100 = - 10.

$X_{3} = 0$ ですから残差は $- 10$ です。 $0$ にならないので、3つの状態を同時に満たす $(Δ, B)$ は存在しません。

これは $X = (20, 0, 0)$ が $Im (A)$ に入っていないことの具体例です。2状態なら方程式が2本で未知数が2つなので必ず解けましたが、3状態では方程式が1本余ります。

反例 CEX-IM3-2: リスク中立確率が族になる

同じパラメータで (4.4) に数値を代入します。 $u_{1} - u_{3} = 0.3$ , $u_{2} - u_{3} = 0.1$ , $1 + r - u_{3} = 0.15$ なので

0.3 q_{1} + 0.1 q_{2} = 0.15 ⟹ 3 q_{1} + q_{2} = \frac{3}{2} . (5.1)

これは未知数2つに方程式1本です（ $q_{3} = 1 - q_{1} - q_{2}$ で消去済み）。前回（2状態）では未知数1つ・方程式1本で $q$ が一意に定まりましたが、今回は自由度1が残ります。

$q_{1}$ をパラメータにすると

q_{2} = \frac{3}{2} - 3 q_{1}, q_{3} = 2 q_{1} - \frac{1}{2} . (5.2)

正の条件をまとめます。

条件	不等式
$q_{1} > 0$	パラメータの定義域
$q_{2} > 0$	$q_{1} < \frac{1}{2}$
$q_{3} > 0$	$q_{1} > \frac{1}{4}$

したがって $q_{1} \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ です。端点での値を見ます。

$q_{1}$	$q_{2}$	$q_{3}$	境界の理由
$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$0$	$q_{3}$ が $0$ に触れる
$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$q_{2}$ が $0$ に触れる

端点を含まない開線分が $Q$ です。THM-RNM1-2 の「一意性」は状態数が2だからこそ成り立っていたことが、ここで明らかになります。

反例 CEX-IM3-3: 区間内の価格では裁定が作れない

「価格が一意でない = 裁定がある」という誤解を壊します。

コール $X = (20, 0, 0)$ の無裁定価格区間は

\frac{E ^{q} [ X ]}{1 + r} = \frac{20 q _{1}}{1 + r}, q_{1} \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

より

π \in (\frac{100}{21}, \frac{200}{21}) \approx (4.7619, 9.5238) . (5.3)

区間内の価格 $π = 5$ で裁定を試みる。 コールを1単位売って $(Δ, B)$ でヘッジする戦略を考えます。 $V_{0} = Δ S_{0} + B - π = 0$ とすると $B = π - 100Δ = 5 - 100Δ$ です。各状態の満期価値は

V_{1} (ω_{1}) V_{1} (ω_{2}) V_{1} (ω_{3}) = 15Δ + \frac{21}{20} \times 5 - 20 = 15Δ - \frac{59}{4}, = - 5Δ + \frac{21}{20} \times 5 = - 5Δ + \frac{21}{4}, = - 15Δ + \frac{21}{20} \times 5 = - 15Δ + \frac{21}{4} .

裁定には全状態で $V_{1} \geq 0$ が必要です。 $ω_{1}$ からは $Δ \geq \frac{59}{60} \approx 0.9833$ が、 $ω_{3}$ からは $Δ \leq \frac{7}{20} = 0.35$ が必要ですが、 $\frac{59}{60} > \frac{7}{20}$ なので両立しません。

買い側（ $φ = + 1$ ）も同様です。 $ω_{2}$ からは $Δ \leq - \frac{21}{20} = - 1.05$ が、 $ω_{1}$ からは $Δ \geq - \frac{59}{60} \approx - 0.9833$ が必要ですが、 $- 0.9833 > - 1.05$ なので両立しません。

売りでも買いでも裁定のための不等式が矛盾する ― これが「区間内の価格では裁定が存在しない」ことの直接的な確認です。

区間外の価格 $π = 12$ なら裁定が作れる。 $π = 12 > \frac{200}{21} \approx 9.5238$ です。コールを売り、優複製ポートフォリオ（全状態で $X$ 以上のペイオフを出す最安の組）を買います。

Δ = \frac{2}{3}, B = - \frac{400}{7} \approx - 57.1429, コスト = \frac{200}{21} \approx 9.5238.

このポートフォリオの満期ペイオフは

	$ω_{1}$	$ω_{2}$	$ω_{3}$
ポートフォリオ $V_{1}$	$20$	$\frac{20}{3} \approx 6.6667$	$0$
コール義務 $X$	$20$	$0$	$0$
差 $V_{1} - X$	$0$	$\frac{20}{3}$	$0$

全状態で $V_{1} \geq X$ なので、コール売りの義務は確実にカバーされます。時刻0での収支は

12 - \frac{200}{21} = \frac{52}{21} \approx 2.4762

を受け取ります。満期の損益は全状態でゼロを下回らないので、これは裁定です。

区間内では矛盾が出て裁定が作れず、区間外なら裁定が作れる ― この対比が THM-IM3-3 の主張を数値で裏づけています。

6. 数値例 ― u=(1.2, 1.0, 0.9) で価格の幅を出す

$S_{0} = 100$ , $u = (1.2, 1.0, 0.9)$ , $r = 0.05$ , $K = 100$ のコール。

	$ω_{1}$	$ω_{2}$	$ω_{3}$
$S_{1}$	$120$	$100$	$90$
コール $X$	$20$	$0$	$0$

リスク中立確率の開線分（(5.2)）:

Q = {(q_{1}, \frac{3}{2} - 3 q_{1}, 2 q_{1} - \frac{1}{2}) q_{1} \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})} .

端点 $q_{1} = \frac{1}{4}$ では $q = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 0)$ 、 $q_{1} = \frac{1}{2}$ では $q = (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ です。どちらも成分に $0$ があるので $Q$ には含まれません。

無裁定価格区間:

π \in (\frac{100}{21}, \frac{200}{21}) \approx (4.7619, 9.5238) .

2状態に潰すと区間が1点に縮む: $u_{2}$ を $u_{1}$ や $u_{3}$ に近づけると、状態が実質2つになります。

$u_{2}$	価格下限	価格上限	幅
$1.1$	$\frac{50}{7} \approx 7.1429$	$\frac{200}{21} \approx 9.5238$	$\frac{50}{21} \approx 2.3810$
$1.0$ （基準）	$\frac{100}{21} \approx 4.7619$	$\frac{200}{21} \approx 9.5238$	$\frac{100}{21} \approx 4.7619$
$0.95$	$\frac{160}{21} \approx 7.6190$	$\frac{200}{21} \approx 9.5238$	$\frac{40}{21} \approx 1.9048$
$0.91$	$\frac{800}{87} \approx 9.1954$	$\frac{200}{21} \approx 9.5238$	$\frac{200}{609} \approx 0.3284$
$1.19$	$\frac{1900}{203} \approx 9.3596$	$\frac{200}{21} \approx 9.5238$	$\frac{100}{609} \approx 0.1642$

$u_{2}$ が $u_{3} = 0.9$ や $u_{1} = 1.2$ に近づくと幅はゼロに向かいます。極限で3状態が2状態に退化すると $q$ が一意に定まり（ $q = \frac{1}{2}$ ）、価格は $\frac{200}{21} \approx 9.5238$ の1点に収束します。これは前回の2状態モデルの結果そのものです。

不完備性の程度は「状態の数と資産の数の差」で決まります。差が大きいほど幅が広く、差がゼロになると完備に戻ります。

7. 次回へ ― リスク中立確率を測度として定義し直す

今回は「状態を3つにしただけで価格が決まらなくなる」ことを見ました。問題は、2本の資産で3つの状態を張りきれないことにあります。

次回（第46回）では、リスク中立確率を「測度」として正式に定義し直します。第1基本定理（無裁定 ⇔ リスク中立確率の存在）と第2基本定理（完備 ⇔ リスク中立確率の一意性）を、今回の具体例を土台にして一般的に述べます。

次のマイルストーンまであと 9 本です。

よくある質問

価格が一つに決まらないのは市場が壊れているからですか

いいえ。裁定がなくても価格が幅を持つのは正常なことです。決まらないのは、その商品を手持ちの資産で作り直せないからです。

区間のどこが実際の価格になりますか

この理論だけでは決まりません。売り手と買い手の事情で区間の中のどこかに落ち着きます。理論が言えるのは幅の外には出ないということだけです。

状態を増やすほど価格は決まらなくなりますか

状態の数ではなく、取引できる商品の数との差で決まります。取引できる商品を増やせば幅は狭まります。

参考文献

Pliska S. R.、Introduction to Mathematical Finance ― Discrete Time Models、Blackwell、1997年
Föllmer H. and Schied A.、Stochastic Finance ― An Introduction in Discrete Time、第4版、De Gruyter、2016年

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。