第44回オプションを株と現金で作る ― 複製ポートフォリオ

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2026年9月25日

位置: 第5部第44回 / 前提: 第43回（1期間2状態モデル） / 数学編: M11 / この回でできるようになること: オプションと同じ支払いを株と借入で作り、そのコストからオプションの価格を計算できる

0. 物語 ― 期待値の割引で値付けすると何が起きるか

株が上がる確率が7割だと確信しているとき、その株のコールオプションにいくら払いますか。

少し考えてみてください。今の株価が100円で、1年後には120円か90円のどちらかになるとします。利息は年5%です。行使価格100円のコールは、上がった世界で20円もらえ、下がった世界では何ももらえません。

7割で20円だから、平均は14円。1年分の利息で割り引くと約13.3円。これが答えだと思った人は多いはずです。

ところが、この値段は間違っています。株を3分の2株だけ買い、約57円を借り入れると、上がった世界でも下がった世界でも、コールとまったく同じ受け取りが再現できます。この「材料費」はわずか約9.5円です。コールの値段が13.3円で通るなら、この組み立てで作ったものを13.3円で売り、材料費の9.5円を引いた差額の約3.8円が、どちらの世界になっても手元に残ります。

では上がる確率を3割に下げるとどうなるでしょう。期待値の割引は約5.7円に下がります。しかし組み立ての材料費は9.5円のまま動きません。確率を5割にしても同じです。材料費が変わらないのは、組み立てが「上がった世界でぴったり」「下がった世界でぴったり」という2つの等式を解いているだけだからです。そこに「何割で上がるか」という重みは一切入りません。

値段を決めているのは、株と借入でオプションを実際に作るコストです。作れてしまう以上、見通しを値段に混ぜた人は、混ぜた分だけ持っていかれます。

1. 動機 ― オプションを自分で作れるか

この回を読み終えると、オプションと同じ支払いを株と借入で作り、そのコストからオプションの価格を計算できます。

この「自分で作る」操作を複製と呼びます。そして、作るのにかかった費用がそのままオプションの価格になります。ここが核心です。価格を決めるのに「株がどれだけ上がりそうか」という見通しは一切使いません。材料費が決まれば値段が決まる、という製造業の発想に近い話です。

今回は、2状態モデルで複製ポートフォリオが一意に存在すること、そのコストが無裁定価格であること、そして原資産の保有量（デルタ）の意味を証明します。

この記事で証明すること

THM-RP2-1 1期間2状態で $u$ と $d$ が異なるとき、任意のペイオフを複製する保有量の組はただ一つに存在します。
THM-RP2-2 無裁定市場では、ペイオフの価格は複製ポートフォリオの時点0のコストに一致します。
THM-RP2-3 原資産の保有量（デルタ）は、ペイオフの差を原資産価格の差で割った量であり、価格の原資産に対する感応度です。

2. 設定と仮定 ― 2状態のペイオフと2本の資産

第43回の設定と仮定をすべて引き継ぎます。改めて書き出します。

時間: $t = 0$ （現在）と $t = 1$ （満期）の1期間。
状態: 満期に起こりうる世界は2つ、 $Ω = {ω_{u}, ω_{d}}$ 。
原資産: 現在価格 $S_{0} > 0$ 。満期には $S_{1} (ω_{u}) = u S_{0}$ または $S_{1} (ω_{d}) = d S_{0}$ 。ただし $0 < d < u$ 。
安全資産: 時刻0に1を預けると時刻1に $1 + r$ になる。 $r > - 1$ は確定した値。
摩擦なし: 取引コスト、税、売買スプレッドはない。空売りができる。株も安全資産も任意の実数単位で売買できる。

ペイオフとは、時点1の2つの状態に対して実数を与える関数です。 $X = (X_{u}, X_{d})$ と書きます。コールなら $X_{u} = max (S_{1} (ω_{u}) - K, 0)$ 、 $X_{d} = max (S_{1} (ω_{d}) - K, 0)$ です。

ポートフォリオは $(Δ, B)$ の組で表します。 $Δ$ は株の保有量、 $B$ は安全資産に置く金額（負なら借入）です。保有量は実数で、負の値（空売り・借入）も許します。ポートフォリオの価値は

V_{0} = Δ S_{0} + B, V_{1} (ω) = Δ S_{1} (ω) + B (1 + r)

です。複製とは、 $V_{1} (ω_{u}) = X_{u}$ かつ $V_{1} (ω_{d}) = X_{d}$ を満たすポートフォリオを見つけることです。

主観確率 $P (ω_{u}) = p$ は市場参加者が「そう信じている」確率ですが、複製の計算に一切使いません。これが今回の要点です。

この節のまとめ: 2つの状態に対して2つの資産（株と安全資産）を使い、ペイオフを再現する保有量を求める問題が「複製」です。

3. 主張 ― 作り方はただ一つに決まる

定理 THM-RP2-1（複製の存在と一意性） 1期間2状態モデルで $u \neq = d$ のとき、任意のペイオフ $X = (X_{u}, X_{d})$ を複製するポートフォリオ $(Δ, B)$ は一意に存在する。具体的には

$Δ = \frac{X _{u} - X _{d}}{( u - d ) S _{0}}, B = \frac{u X _{d} - d X _{u}}{( u - d ) ( 1 + r )}$
である。

定理 THM-RP2-2（複製コストが価格である） 無裁定市場では、ペイオフ $X$ の価格は複製ポートフォリオの時点0のコスト $V_{0} = Δ S_{0} + B$ に一致する。

定理 THM-RP2-3（デルタの意味） 原資産の保有量 $Δ$ は

$Δ = \frac{X _{u} - X _{d}}{S _{1} ( ω _{u} ) - S _{1} ( ω _{d} )}$
であり、ペイオフの差を原資産価格の差で割った量である。これは価格の原資産に対する感応度を表す。

この節のまとめ: 2つの未知数に対して2本の独立な方程式が立つので、解はただ一つに決まります。その解がデルタと安全資産の保有額を与えます。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 連立方程式を解く

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第11回「ラグランジュ未定乗数法」へ。

THM-RP2-1 の証明

複製の条件を書き下します。各状態でポートフォリオ価値がペイオフに一致する、すなわち

{Δ \cdot u S_{0} + B (1 + r) = X_{u} Δ \cdot d S_{0} + B (1 + r) = X_{d} (1)

です。これは $Δ$ と $B$ についての2元1次連立方程式です。

$B (1 + r)$ を消去するため、第1式から第2式を引きます。

Δ (u - d) S_{0} = X_{u} - X_{d} .

$u \neq = d$ かつ $S_{0} > 0$ なので、両辺を $(u - d) S_{0}$ で割ることができます。

Δ = \frac{X _{u} - X _{d}}{( u - d ) S _{0}} . (2)

次に $B$ を求めます。 $Δ$ の式 (2) を (1) の第1式に代入して $B$ について解きます。

B (1 + r) = X_{u} - Δ \cdot u S_{0} = X_{u} - \frac{u ( X _{u} - X _{d} )}{u - d} .

通分するため、 $X_{u}$ に $\frac{u - d}{u - d}$ を掛けて整理します。

B (1 + r) = \frac{X _{u} ( u - d ) - u ( X _{u} - X _{d} )}{u - d} = \frac{u X _{u} - d X _{u} - u X _{u} + u X _{d}}{u - d} = \frac{u X _{d} - d X _{u}}{u - d} .

$1 + r > 0$ なので両辺を $(1 + r)$ で割れます。

B = \frac{u X _{d} - d X _{u}}{( u - d ) ( 1 + r )} . (3)

2つの未知数に対して2本の独立な1次方程式を解いたので、解は一意です。任意の $(X_{u}, X_{d})$ に対して (2) と (3) が定義できるので、存在も示されました。 ∎

THM-RP2-2 の証明

複製ポートフォリオ $(Δ, B)$ が存在するとき、無裁定であればペイオフ $X$ の価格は $V_{0} = Δ S_{0} + B$ に一致することを示します。

オプションの市場価格を $π$ とします。

$π > V_{0}$ の場合。 オプションを1単位売り（ $π$ を受け取り）、複製ポートフォリオを1単位買います（ $V_{0}$ を支払います）。時刻0のキャッシュフローは $π - V_{0} > 0$ です。

満期を見ます。オプションの売り手として状態 $ω$ で $X (ω)$ を支払う義務があります。一方、複製ポートフォリオの価値は $V_{1} (ω) = X (ω)$ です。両者は全ての状態で一致するので、満期の損益はゼロです。

よって時刻0に $π - V_{0} > 0$ を確定で受け取り、満期の損益はゼロ。元手なしで正の利益を得ているので裁定です。

$π < V_{0}$ の場合。 逆の操作をします。オプションを1単位買い（ $π$ を支払い）、複製ポートフォリオを1単位売ります（ $V_{0}$ を受け取ります）。時刻0のキャッシュフローは $V_{0} - π > 0$ です。満期には、オプションから $X (ω)$ を受け取り、複製の売りポジションから $X (ω)$ を支払うので損益はゼロです。同じく裁定です。

どちらの場合も裁定が生じるので、無裁定の仮定のもとでは $π = V_{0}$ しかあり得ません。 ∎

THM-RP2-3 の証明

(2) を書き直します。 $S_{1} (ω_{u}) = u S_{0}$ 、 $S_{1} (ω_{d}) = d S_{0}$ ですから

Δ = \frac{X _{u} - X _{d}}{( u - d ) S _{0}} = \frac{X _{u} - X _{d}}{u S _{0} - d S _{0}} = \frac{X _{u} - X _{d}}{S _{1} ( ω _{u} ) - S _{1} ( ω _{d} )} . (4)

分子はペイオフの差、分母は原資産価格の差です。この比は「原資産が1単位動いたとき、ペイオフがどれだけ動くか」という感応度そのものです。

もう少し丁寧に見ます。ペイオフを原資産価格の関数 $X = f (S_{1})$ と考えると、2状態モデルでは2点 $(d S_{0}, X_{d})$ と $(u S_{0}, X_{u})$ を通る直線の傾きが

\frac{f ( u S _{0} ) - f ( d S _{0} )}{u S _{0} - d S _{0}} = Δ

です。これは差分商であり、連続の世界での微分 $\partial V / \partial S$ の離散版です。原資産が動いたときに複製ポートフォリオの価値がペイオフに追随するために、ちょうどこの傾き分の株を持つ必要がある、というのがデルタの意味です。 ∎

5. 反例 ― 期待値で値付けすると狩られる

CEX-RP2-1: 主観確率を変えても複製コストは変わらない

複製の計算 (2), (3) のどこにも主観確率 $p$ は現れません。これを数値で確認します。 $S_{0} = 100$ , $u = 1.2$ , $d = 0.9$ , $r = 0.05$ , $K = 100$ のコールで、複製コストは $9.5238$ です。

一方、主観的な期待値を $(1 + r)$ で割った値は $p$ によって変わります。

主観確率 $p$	期待値の割引	複製コスト
$0.3$	$5.7143$	$9.5238$
$0.5$	$9.5238$	$9.5238$
$0.7$	$13.3333$	$9.5238$

期待値の割引は $p$ に応じて $5.7143$ から $13.3333$ まで大きく動きますが、複製コストは $9.5238$ で微動だにしません。複製は状態ごとに等式を成り立たせる操作であり、状態の重みづけである確率を一切使わないからです。

「価格は期待値の割引である」という理解は、どの確率で期待値を取るかを指定しない限り正しくなりません。主観確率 $p$ で取った期待値は、 $p$ がたまたま特定の値に一致するとき以外、複製コストとずれます。

この節のまとめ: 主観確率をどう変えても複製コストは変わりません。「期待値の割引 = 価格」は、確率の選び方を指定しない限り誤りです。

CEX-RP2-2: 期待値割引で値付けした相手から確定利益を取る

主観確率で値付けすることの危険を具体的に示します。

あるディーラーが $p = 0.7$ と見積もり、コールの「適正価格」を

\frac{0.7 \times 20 + 0.3 \times 0}{1.05} = 13.3333

と提示したとします。複製コストは $9.5238$ ですから、 $13.3333 > 9.5238$ です。次のように動きます。

ディーラーにコールを1単位、 $13.3333$ で売る。
複製ポートフォリオを買う: 株を $Δ = 2/3$ 単位買い、 $57.1429$ を借りる。コストは $9.5238$ 。
差額 $13.3333 - 9.5238 = 3.8095$ を時刻0に受け取る。

満期を確認します。

上昇: 複製の価値は $2/3 \times 120 - 57.1429 \times 1.05 = 20.0$ 。コールの支払い義務は $20.0$ 。差引ゼロ。
下落: 複製の価値は $2/3 \times 90 - 57.1429 \times 1.05 = 0.0$ 。コールの支払い義務は $0.0$ 。差引ゼロ。

両状態で満期損益はゼロ。時刻0の $3.8095$ がそのまま無リスクの確定利益です。

逆に $p = 0.3$ のディーラーが $5.7143$ で売っていたら、こちらがコールを買い、複製の逆ポジションを組みます。 $9.5238 - 5.7143 = 3.8095$ の確定利益が取れます。

ディーラーの見通しが正しいかどうかは無関係です。複製コストから外れた価格を付けた瞬間に、裁定の対象になります。

この節のまとめ: 主観確率に基づく価格と複製コストがずれていれば、複製を使って確定利益を取ることができます。

CEX-RP2-3: 状態を3つに増やすと複製できない

ここまでの議論は「2状態で2つの資産」だから成り立ちました。状態を3つに増やすとどうなるか、覗いてみます。

満期の状態を $ω_{u}, ω_{m}, ω_{d}$ の3つとし、株価を $120, 105, 90$ 、コールのペイオフを $20, 5, 0$ とします。複製の条件は3本の方程式です。

⎩ ⎨ ⎧ Δ \times 120 + B \times 1.05 = 20 Δ \times 105 + B \times 1.05 = 5 Δ \times 90 + B \times 1.05 = 0

第1式と第2式から $Δ = (20 - 5) / (120 - 105) = 1.0$ です。一方、第2式と第3式から $Δ = (5 - 0) / (105 - 90) = 0.3333$ です。 $Δ$ の値が矛盾するので、3本を同時に満たす $(Δ, B)$ は存在しません。

2つの道具（株と安全資産）で3つの条件を満たすことは、一般にはできないのです。このとき市場は不完備と呼ばれます。詳しくは第45回(b)で扱います。

この節のまとめ: 状態の数が資産の数を超えると、連立方程式が過剰決定になり、複製が不可能になります。

6. 数値例 ― コールを株と現金で組み立てる

$S_{0} = 100$ , $u = 1.2$ , $d = 0.9$ , $r = 0.05$ , $K = 100$ のコールを複製します。

	上昇 $ω_{u}$	下落 $ω_{d}$
$S_{1}$	$120$	$90$
コールのペイオフ $X$	$20$	$0$

デルタの計算（式 (2)）:

Δ = \frac{20 - 0}{( 1.2 - 0.9 ) \times 100} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} = 0.6667.

安全資産の保有額（式 (3)）:

B = \frac{1.2 \times 0 - 0.9 \times 20}{0.3 \times 1.05} = \frac{- 18}{0.315} = - \frac{400}{7} = - 57.1429.

$B$ が負なので、 $57.1429$ の借入が必要です。

複製コスト:

V_{0} = \frac{2}{3} \times 100 + (- 57.1429) = 66.6667 - 57.1429 = 9.5238.

厳密には $200/21$ です。

各状態での検算:

上昇: $V_{1} (ω_{u}) = \frac{2}{3} \times 120 + (- 57.1429) \times 1.05 = 80 - 60 = 20.0 = X_{u}$ 。
下落: $V_{1} (ω_{d}) = \frac{2}{3} \times 90 + (- 57.1429) \times 1.05 = 60 - 60 = 0.0 = X_{d}$ 。

両状態でぴったり一致します。コールオプションを持つのと、株を $2/3$ 単位持って $57.1429$ を借りるのは、全く同じ結果を生みます。

この計算のどこにも主観確率 $p$ を入力していないことを確認してください。デルタの $2/3$ は「ペイオフの差 $20$ を株価の差 $30$ で割った」だけです。

この節のまとめ: コールの複製には株を $2/3$ 単位買い、 $57.1429$ を借りる必要があり、そのコスト $9.5238$ が無裁定価格です。

7. 次回へ ― 整理すると主観確率が消える

今回の結論は、オプションの価格を決めるのに確率は要らないということでした。株と安全資産の保有量を連立方程式で求め、そのコストを計算するだけです。

しかし不思議なことに、複製コストの式を整理すると、 $p$ ではない「別の重み」が自然に現れます。次回（第45回(a)）では、 $V_{0}$ の式を書き直して、主観確率が消えた代わりに現れる「確率のようなもの」の正体を明らかにします。

次のマイルストーンまであと 11 本です。

よくある質問

なぜ確率が出てこないのですか

作るのにかかる費用を計算しているだけだからです。作れてしまう以上、見通しは値段に影響しません。

デルタとは何ですか

複製に必要な株の数です。原資産が1動いたときにオプションがいくら動くか、とも読めます。

現実に複製できますか

2状態ならできます。現実の連続的な値動きでは、こまめに組み替える必要があり、誤差が出ます。

参考文献

Cox J. C.、Ross S. A. and Rubinstein M.、Option Pricing ― A Simplified Approach、Journal of Financial Economics、1979年、DOI 10.1016/0304-405X(79)90015-1
Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance I ― The Binomial Asset Pricing Model、Springer、2004年

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。