第43回世界一簡単な市場を作る ― 1期間2状態モデル

当ページのリンクには広告も含まれています。

2026年9月25日

位置: 第5部第43回 / 前提: 第2回、第16回、第17回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: 株と安全資産だけの市場で、裁定が起きるかどうかを数値の条件で判定できる

0. 物語 ― 金利が高すぎると株を持つ理由が消える

ある新人トレーダーが、株と預金だけの単純な市場で最初の取引をしました。株の値段は100円。1年後には120円に上がるか、90円に下がるか、どちらかしか起こりません。一方、銀行に預けると年25%の利息がつきます。100円を預ければ1年後に125円です。

新人は株が上がると予想して、100円で株を1株買いました。ところが先輩はこう言います。「その株を持つ理由がない。上がっても120円にしかならないのに、預金なら確実に125円になる。最良のシナリオでさえ預金に負けている」。

先輩は新人の逆を突きます。株を1株借りてきて空売りし、手に入った100円をそのまま銀行に預けます。元手はゼロです。1年後、株が上がった世界では、預金が125円になり、株を120円で買い戻して返します。手元に5円残ります。株が下がった世界では、預金125円に対して買い戻しは90円で済み、35円が残ります。どちらの世界でも、先輩は確実に得をしています。

新人の失敗は「金利が高すぎる市場で株を持ったこと」でした。株の最良ケースが預金の確定リターンに届かない状況では、株を持つこと自体が不利で、逆側に立てば元手ゼロで確実に利益が取れます。これが「裁定」です。

裁定が起きない正常な市場には、条件があります。株の上がり幅は預金の利回りより大きく、預金の利回りは株が下がったときの利回りより大きい。この両方が成り立っていなければなりません。片方でも崩れると、どちらかの資産がもう片方を完全に支配してしまい、元手ゼロの確実な儲けが作れてしまいます。この回では、その条件がたった一本の不等式に集約されることを証明します。

1. 動機 ― 価格理論を最小の部品で組み立てる

この回を読み終えると、株と安全資産だけの市場で、裁定が起きるかどうかを数値の条件で判定できます。

金融商品の「正しい値段」は、どうやって決まるのでしょうか。需要と供給、と言いたくなりますが、それだけでは裁定（タダ同然で確実に儲かる取引）が残りうる価格体系を排除できません。裁定が存在しない――無裁定を出発点に置いたとき、価格は何に縛られるのかを見極めるのが、この先の目標です。

その構造を見極めるには、余分なものを全部削り落としてしまうのが近道です。時間は「今」と「満期」の2点、世界の状態は「上がる」か「下がる」かの2つ、売買できる資産は安全資産と原資産の2本だけ。この最小モデルだけで、無裁定条件が不等式1本に翻訳されること、各状態に値札がつくこと、任意のペイオフが作れることを全て示します。

この記事では、構造を理解するために必要な3つの定理を一切省略せず証明します。道具は代数と不等式だけです。

この記事で証明すること

THM-OPB-1 安全資産と原資産だけの1期間2状態モデルが無裁定であることと、 $d < 1 + r < u$ が成り立つことは同値です。
THM-OPB-2 無裁定のとき、各状態に1単位を払う基本証券の価格（状態価格）が正の値として一意に定まります。
THM-OPB-3 2状態に対して独立な資産が2本あるため、任意のペイオフが安全資産と原資産の組み合わせで作れます。

2. 設定と仮定 ― 2つの状態と2本の資産

仮定を全て書き出します。あとで壊すために、今は全部揃えておきます。

時間: $t = 0$ （現在）と $t = 1$ （満期）の1期間のみ。
状態: 満期に起こりうる世界は2つ、 $Ω = {ω_{u}, ω_{d}}$ 。
原資産: 現在価格 $S_{0} > 0$ 。満期には $S_{1} (ω_{u}) = u S_{0}$ または $S_{1} (ω_{d}) = d S_{0}$ 。ただし $0 < d < u$ 。
安全資産: 時刻0に1を預けると時刻1に $1 + r$ になる。 $r > - 1$ は確定した値。
摩擦なし: 取引コスト、税、売買スプレッドはない。空売りができる。任意の実数単位で売買できる。
主観確率: 上昇の確率は $P (ω_{u}) = p$ 、 $p \in (0, 1)$ 。両方の状態が起こりうるということです。

ポートフォリオは $(Δ, B)$ の組で表します。 $Δ$ は原資産の保有量、 $B$ は安全資産に置く金額（負なら借入）です。時刻0と時刻1の価値は

V_{0} = Δ S_{0} + B, V_{1} (ω) = Δ S_{1} (ω) + B (1 + r)

です。

裁定とは、次の3条件を全て満たすポートフォリオのことです。

V_{0} \leq 0, V_{1} (ω) \geq 0 for all ω, V_{1} (ω) > 0 for some ω .

「タダかそれ以下で手に入り、損はせず、どこかで得する」。これが存在しないとき、市場は無裁定であると言います。

まとめると、モデルの部品は $S_{0}, u, d, r$ の4つの数値と、2つの状態です。この記事ではここからすべてを導きます。

3. 主張 ― 無裁定は不等式1本に翻訳できる

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-OPB-1（無裁定の必要十分条件） 安全資産と原資産だけの1期間2状態モデルが無裁定であることと、

$d < 1 + r < u$
が成り立つことは同値である。

この不等式の意味は明快です。左側 $d < 1 + r$ は「安全資産の利回りが原資産の最悪ケースを上回る」、右側 $1 + r < u$ は「原資産の最良ケースが安全資産の利回りを上回る」。どちらか一方でも崩れると、一方の資産が他方を確実に支配してしまい、裁定が生まれます。

定理 THM-OPB-2（状態価格の存在と一意性） モデルが無裁定であるとき、状態価格 $φ_{u}, φ_{d} > 0$ が一意に存在して、

$φ_{u} + φ_{d} = \frac{1}{1 + r} (1)$
$φ_{u} \cdot u + φ_{d} \cdot d = 1 (2)$
が成り立つ。ここで $φ_{u}$ は「状態 $ω_{u}$ だけで1を払う基本証券」の時刻0での価格、 $φ_{d}$ も同様である。

状態価格とは、「その状態が起きたときだけ1円もらえる券」の値段です。(1) は安全資産の価格整合性（どの状態でも $1 + r$ をもらえる券は $1/ (1 + r)$ の価値）、(2) は原資産の価格整合性（ $S_{0}$ で買った原資産の満期価値を状態価格で加重すると $S_{0}$ に戻る）を表しています。

定理 THM-OPB-3（完備性） 2状態に対して独立な資産が2本あるため、任意のペイオフ $X = (X_{u}, X_{d})$ が安全資産と原資産の組み合わせで作れる。すなわち

$Δ S_{1} (ω) + B (1 + r) = X (ω) for all ω$
を満たす $(Δ, B)$ が一意に存在する。

「独立な資産が2本」とは、原資産と安全資産が満期に異なる値動きをする（ $u S_{0} \neq = d S_{0}$ かつ安全資産は両状態で同じ $1 + r$ ）ということです。状態が2つなので、2本の独立な資産があれば方程式が解けて、どんなペイオフでも作れます。

まとめると、無裁定は不等式1本、状態価格は連立方程式の解、完備性は行列の正則性に帰着します。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 裁定ポートフォリオを直接作る

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-OPB-1 の証明

(⇐) $d < 1 + r < u$ ならば無裁定。

任意のポートフォリオ $(Δ, B)$ で $V_{0} \leq 0$ を満たすものを取ります。 $V_{0} = Δ S_{0} + B \leq 0$ なので $B \leq - Δ S_{0}$ です。 $B$ を大きくするほど満期の価値が上がるので、不等号の向きに注意して上界を調べます。

V_{1} (ω_{u}) = Δ u S_{0} + B (1 + r) \leq Δ u S_{0} - Δ S_{0} (1 + r) = Δ S_{0} (u - (1 + r)) (3)

2行目で $B \leq - Δ S_{0}$ を代入しました。 $(1 + r) > 0$ なので $B$ が小さいほど $B (1 + r)$ も小さくなり、上界が得られます。同様に

V_{1} (ω_{d}) \leq Δ S_{0} (d - (1 + r)) . (4)

$Δ$ の符号で場合分けします。

$Δ > 0$ のとき。 仮定 $d < 1 + r$ より $d - (1 + r) < 0$ です。 $Δ S_{0} > 0$ を掛けるので (4) の右辺は負、つまり $V_{1} (ω_{d}) < 0$ です。裁定の条件「全ての状態で $V_{1} \geq 0$ 」に反します。

$Δ < 0$ のとき。 仮定 $1 + r < u$ より $u - (1 + r) > 0$ です。 $Δ S_{0} < 0$ を掛けるので (3) の右辺は負、つまり $V_{1} (ω_{u}) < 0$ 。同じく裁定の条件に反します。

$Δ = 0$ のとき。 $V_{0} = B \leq 0$ で、 $V_{1} (ω) = B (1 + r)$ は両状態で同じ値です。 $V_{1} \geq 0$ と両立するのは $B = 0$ のみで、そのとき $V_{1} \equiv 0$ です。「ある状態で $V_{1} > 0$ 」を満たさないので、裁定になりません。

以上より、どの場合も裁定にならず、市場は無裁定です。

(⇒) 無裁定ならば $d < 1 + r < u$ 。

対偶を示します。 $d < 1 + r < u$ が成り立たない、つまり $1 + r \leq d$ または $1 + r \geq u$ のどちらかが成り立つとき、裁定を具体的に構成します。

$1 + r \leq d$ の場合。 安全資産の利回りが原資産の最悪ケースにも及ばないので、借金して原資産を買えば確実に得します。 $Δ = 1, B = - S_{0}$ とおきます。 $V_{0} = S_{0} - S_{0} = 0$ です。

V_{1} (ω_{u}) V_{1} (ω_{d}) = u S_{0} - (1 + r) S_{0} = (u - (1 + r)) S_{0}, = d S_{0} - (1 + r) S_{0} = (d - (1 + r)) S_{0} .

$u > d \geq 1 + r$ より $V_{1} (ω_{u}) > 0$ 、 $V_{1} (ω_{d}) \geq 0$ です。元手ゼロで上昇状態では正の利益、下落状態でも損なし。裁定です。

$1 + r \geq u$ の場合。 原資産がどう動いても安全資産に勝てないので、原資産を空売りして安全資産に置きます。 $Δ = - 1, B = S_{0}$ とおきます。 $V_{0} = - S_{0} + S_{0} = 0$ です。

V_{1} (ω_{u}) V_{1} (ω_{d}) = - u S_{0} + (1 + r) S_{0} = ((1 + r) - u) S_{0} \geq 0, = - d S_{0} + (1 + r) S_{0} = ((1 + r) - d) S_{0} > 0.

$(1 + r) \geq u > d$ より、下落状態では $V_{1} (ω_{d}) > 0$ が成り立ちます。元手ゼロで少なくとも一方の状態で正の利益。裁定です。 ∎

この証明で確率 $p$ は一度も使っていません。裁定の有無は「どの状態が起こりうるか」だけで決まり、「どの程度起こりやすいか」には依存しません。

THM-OPB-2 の証明

状態価格 $φ_{u}, φ_{d}$ は、各資産の時刻0の価格を満期のペイオフの加重和として表す重みです。安全資産は両状態で $1 + r$ を払うので、価格 $1$ との整合性から

φ_{u} (1 + r) + φ_{d} (1 + r) = 1

が必要です。 $(1 + r)$ でくくると (1) が得られます。

φ_{u} + φ_{d} = \frac{1}{1 + r} . (1)

原資産は上昇で $u S_{0}$ 、下落で $d S_{0}$ を払うので、価格 $S_{0}$ との整合性から

φ_{u} \cdot u S_{0} + φ_{d} \cdot d S_{0} = S_{0} .

$S_{0} > 0$ で割ると (2) が得られます。

φ_{u} \cdot u + φ_{d} \cdot d = 1. (2)

(1)

φ_{u} \cdot u + (\frac{1}{1 + r} - φ_{u}) d = 1.

$φ_{u}$ の項をまとめるために展開します。

φ_{u} (u - d) + \frac{d}{1 + r} = 1.

右辺に移項して $φ_{u}$ を求めます。

φ_{u} (u - d) = 1 - \frac{d}{1 + r} = \frac{( 1 + r ) - d}{1 + r} .

$u \neq = d$ （仮定 $0 < d < u$ ）なので両辺を $u - d$ で割れます。

φ_{u} = \frac{( 1 + r ) - d}{( u - d ) ( 1 + r )} . (5)

同様に $φ_{d}$ は (1) から

φ_{d} = \frac{1}{1 + r} - φ_{u} = \frac{u - ( 1 + r )}{( u - d ) ( 1 + r )} . (6)

解は一意です（2本の1次方程式の係数行列式 $u - d \neq = 0$ ）。

正値性を確認します。分母 $(u - d) (1 + r) > 0$ は、仮定 $0 < d < u$ と $r > - 1$ から成り立ちます。分子について、

φ_{u} > 0 ⟺ (1 + r) - d > 0 ⟺ 1 + r > d,

φ_{d} > 0 ⟺ u - (1 + r) > 0 ⟺ 1 + r < u .

したがって $φ_{u} > 0$ かつ $φ_{d} > 0$ は $d < 1 + r < u$ 、すなわち THM-OPB-1 の無裁定条件と同値です。 ∎

状態価格が正であることと無裁定であることが同値になる、という構造がここに見えます。状態価格のどちらかがゼロや負になると、その状態の価値が崩れて裁定が生まれるということです。

THM-OPB-3 の証明

任意のペイオフ $X = (X_{u}, X_{d})$ を安全資産と原資産で作る条件は、各状態でポートフォリオの満期価値がペイオフに一致することです。

{Δ \cdot u S_{0} + B (1 + r) = X_{u} Δ \cdot d S_{0} + B (1 + r) = X_{d} (7)

これは $(Δ, B)$ についての2元連立1次方程式です。

第1式から第2式を引くと、 $B (1 + r)$ が消えて $Δ$ だけの式になります。

Δ (u - d) S_{0} = X_{u} - X_{d} .

$u \neq = d$ かつ $S_{0} > 0$ なので

Δ = \frac{X _{u} - X _{d}}{( u - d ) S _{0}} . (8)

$Δ$ が一意に定まりました。これを第1式に戻して $B$ を求めます。

B = \frac{X _{u} - Δ \cdot u S _{0}}{1 + r} .

$Δ$ の値 (8) を代入して整理します。分子で $X_{u}$ から $Δ \cdot u S_{0}$ を引くために、通分します。

B = \frac{1}{1 + r} (X_{u} - \frac{u ( X _{u} - X _{d} )}{u - d}) = \frac{1}{1 + r} \cdot \frac{X _{u} ( u - d ) - u ( X _{u} - X _{d} )}{u - d} = \frac{u X _{d} - d X _{u}}{( u - d ) ( 1 + r )} . (9)

分子の整理では $X_{u} \cdot u - X_{u} \cdot d - u \cdot X_{u} + u \cdot X_{d} = u X_{d} - d X_{u}$ としました。

2つの未知数に対して2本の独立な1次方程式（係数行列式 $(u - d) S_{0} \neq = 0$ ）なので、解は一意です。したがって任意のペイオフ $X$ に対して、それを実現するポートフォリオ $(Δ, B)$ がただ一つ存在します。 ∎

この完備性の源泉は「状態の数 = 独立な資産の数 = 2」という釣り合いです。資産が足りなければ方程式が解けなくなり、反例の節で確認します。

なお、複製コストは状態価格で表すこともできます。 $V_{0} = Δ S_{0} + B$ を (8), (9) から計算すると

V_{0} = \frac{X _{u} - X _{d}}{u - d} + \frac{u X _{d} - d X _{u}}{( u - d ) ( 1 + r )} = \frac{( X _{u} - X _{d} ) ( 1 + r ) + u X _{d} - d X _{u}}{( u - d ) ( 1 + r )} = \frac{X _{u} ( 1 + r - d ) + X _{d} ( u - ( 1 + r ))}{( u - d ) ( 1 + r )} .

分子の各項を $(u - d)$ で割ると、(5), (6) の状態価格が現れます。

V_{0} = φ_{u} X_{u} + φ_{d} X_{d} . (10)

つまり、どんなペイオフでも「状態価格で加重した和」が正しい時刻0の値段です。これは状態価格の定義と整合的です。各状態で1を払う基本証券の値段が $φ_{u}, φ_{d}$ なら、状態 $ω_{u}$ で $X_{u}$ を払い、状態 $ω_{d}$ で $X_{d}$ を払う商品は、基本証券を $X_{u}$ 枚と $X_{d}$ 枚買えば作れるからです。

5. 反例 ― 資産が足りないと何も作れない

反例 CEX-OPB-1: 不等式が崩れると裁定が生まれる

THM-OPB-1 の条件 $d < 1 + r < u$ を崩します。 $S_{0} = 100$ , $u = 1.2$ , $d = 0.9$ はそのままで、金利だけ $r = 0.25$ に上げます。 $1 + r = 1.25 \geq u = 1.2$ です。

原資産を空売りして安全資産に置きます。 $Δ = - 1, B = 100$ で $V_{0} = 0$ 。

V_{1} (ω_{u}) V_{1} (ω_{d}) = - 120 + 125 = 5, = - 90 + 125 = 35.

元手ゼロで、どちらの状態でも正の利益が出ます。原資産の最良ケースでさえ安全資産に負けるなら、原資産を持つ理由がありません。

このとき状態価格を計算しようとすると、(5) から

φ_{u} = \frac{1.25 - 0.9}{0.3 \times 1.25} = \frac{0.35}{0.375} = 0.9333

ですが、(6) から

φ_{d} = \frac{1.2 - 1.25}{0.3 \times 1.25} = \frac{- 0.05}{0.375} = - 0.1333 < 0.

$φ_{d}$ が負になっています。「下落状態で1円もらえる券」に負の値段をつけなければ帳尻が合わない――これは市場が壊れていることの表れです。

反例 CEX-OPB-2: 安全資産だけでは状態を区別できない

THM-OPB-3 の完備性は「独立な資産が2本ある」ことに依存しています。原資産を取り除き、安全資産だけの市場を考えます。

ポートフォリオは $B$ だけです。 $V_{1} (ω_{u}) = B (1 + r)$ と $V_{1} (ω_{d}) = B (1 + r)$ は常に等しくなります。

ペイオフ $(X_{u}, X_{d}) = (30, 10)$ を作ろうとすると、 $B (1 + r) = 30$ と $B (1 + r) = 10$ を同時に満たす $B$ が必要ですが、 $30 \neq = 10$ なので矛盾します。 $B = 28.5714$ と $B = 9.5238$ のどちらか一方しか選べません。

安全資産は両状態で同じ値を払うので、状態を区別する能力を持ちません。区別するには、上昇と下落で異なる値動きをする原資産が必要です。

反例 CEX-OPB-3: 上昇率と下落率が同じだと独立性が消える

$u = d = 1.2$ とします。原資産の満期価格は $S_{1} (ω_{u}) = S_{1} (ω_{d}) = 120$ で、どちらの状態でも同じです。原資産が安全資産と同じく「状態を区別しない」資産になってしまいます。

ペイオフ $(30, 10)$ を作ろうとすると、(7) の連立方程式は

{Δ \cdot 120 + B (1 + r) = 30 Δ \cdot 120 + B (1 + r) = 10

となり、左辺が両方とも同じなのに右辺が $30 \neq = 10$ 。辺々引くと $0 = 20$ で矛盾します。

(8) の分母 $(u - d) S_{0} = 0$ がゼロになるのがこの矛盾の正体です。 $u = d$ のとき、原資産は「利回りが $u - 1$ の安全資産」と同じですから、2本目の独立な資産が存在しないことになります。

まとめると、完備性には「状態の数だけ独立な資産がある」ことが不可欠です。

6. 数値例 ― 状態価格を2つ計算する

$S_{0} = 100$ , $u = 1.2$ , $d = 0.9$ , $r = 0.05$ で計算します。

無裁定の確認: $d = 0.9 < 1.05 < 1.2 = u$ 。成立します。

状態価格（(5), (6)）:

φ_{u} = \frac{1.05 - 0.9}{0.3 \times 1.05} = \frac{0.15}{0.315} = \frac{10}{21} \approx 0.4762,

φ_{d} = \frac{1.2 - 1.05}{0.3 \times 1.05} = \frac{0.15}{0.315} = \frac{10}{21} \approx 0.4762.

この数値では $φ_{u} = φ_{d}$ になっていますが、これは偶然です。 $1 + r = 1.05$ がちょうど $u = 1.2$ と $d = 0.9$ の中点にあるからです。

和が割引係数に一致することの検算（(1)）:

φ_{u} + φ_{d} = \frac{10}{21} + \frac{10}{21} = \frac{20}{21} \approx 0.9524 = \frac{1}{1.05} .

一致します。

原資産価格の復元（(2) の検算）:

	上昇 $ω_{u}$	下落 $ω_{d}$
$S_{1}$	120	90
状態価格	$10/21$	$10/21$

φ_{u} \times 120 + φ_{d} \times 90 = \frac{1200}{21} + \frac{900}{21} = \frac{2100}{21} = 100 = S_{0} .

任意のペイオフの複製:

ペイオフ $(X_{u}, X_{d}) = (30, 10)$ を作ります。(8), (9) から

Δ = \frac{30 - 10}{0.3 \times 100} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0.6667,

B = \frac{1.2 \times 10 - 0.9 \times 30}{0.3 \times 1.05} = \frac{- 15}{0.315} = - \frac{1000}{21} \approx - 47.619.

コストは

V_{0} = \frac{2}{3} \times 100 - \frac{1000}{21} = \frac{1400}{21} - \frac{1000}{21} = \frac{400}{21} \approx 19.0476.

状態価格で検算（(10)）:

φ_{u} \times 30 + φ_{d} \times 10 = \frac{300}{21} + \frac{100}{21} = \frac{400}{21} \approx 19.0476.

一致します。数値は全て compute.py により有理数演算で検算済みです。

7. 次回へ ― オプションを株と現金で作る

この回で確かめたことは3つです。無裁定は $d < 1 + r < u$ という不等式1本で特徴づけられること。無裁定のもとで各状態に値札（状態価格）がつき、それが正かつ一意であること。そして、独立な資産が状態の数だけあれば任意のペイオフが作れること。

次回（第44回）は、この枠組みを使ってオプションを株と現金だけで作ります。コールやプットのペイオフを具体的に代入して、今回の一般式が何を意味するかを見ます。

次のマイルストーンまであと 12 本です。

よくある質問

2状態は単純すぎませんか

単純だからこそ、価格が何で決まるかがはっきり見えます。状態の数を増やしたモデルは第51回で扱います。

状態価格とは何ですか

その状態が起きたときだけ1円もらえる券の値段です。すべての商品はこの券の組み合わせで作れます。

なぜ資産が2本必要なのですか

状態が2つあるからです。区別するには最低2本の独立な資産が要ります。

参考文献

Cox J. C.、Ross S. A. and Rubinstein M.、Option Pricing ― A Simplified Approach、Journal of Financial Economics、1979年、DOI 10.1016/0304-405X(79)90015-1
Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance I ― The Binomial Asset Pricing Model、Springer、2004年

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。