第49回 プット・コール・パリティ ― モデルを一切使わずに決まる関係

位置: 第5部 第49回 / 前提: 第43回、第44回、第48回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: コール・プット・株・債券の価格の間の崩れてはいけない関係を、モデルを使わずに確かめることができる

0. 物語 ― 配当があるとパリティがずれる

「コールが10円なら、プットはいくらになると思う？」

大学の演習室で、同じゼミの友人にそう聞かれました。株価は100円、行使価格も100円、満期は1年後、金利は年5%。条件はそろっています。

答えは計算で出ます。コールを買ってプットを売ると、満期には必ず「そのときの株価マイナス行使価格」を受け取ることになります。株がいくらになろうと、この形は変わりません。同じ受け取りを、株を1株買って100円ぶん借金することでも作れます。2つの組み合わせが同じ結果を生むなら、最初に払う金額も同じでなければなりません。そうでなければ、安い方を買って高い方を売れば、誰でも確実に儲かってしまいます。

この関係から逆算すると、プットは約5.24円です。株がどんな確率で上がろうと下がろうと、この値段は変わりません。

「じゃあ、この株が半年後に3円の配当を出すとしたら？」

友人がそう続けました。さっきと同じ式で計算すると、プットは5.24円のままです。ところが、配当を正しく考慮した式で計算し直すと、プットは約8.16円になります。差は約2.93円で、これはちょうど配当3円を半年分だけ割り引いた値です。

配当を無視したまま5.24円でプットを売ってしまえば、約2.93円ぶん安く売りすぎたことになります。株の値動きをどれだけ正確に予測しても、この損失は取り返せません。なぜなら、コールとプットと株と債券の間の関係は、株の動き方に一切依存しない等式だからです。

この等式を「プット・コール・パリティ」と呼びます。等式が成り立つ条件を1つでも外すと、等式は崩れます。この回では、等式そのものを証明したうえで、どの条件を外すと何が起きるかを数値で確かめます。

1. 動機 ― 分布を何も仮定せずに決まる関係がある

この回を読み終えると、コール・プット・株・債券の価格の間の崩れてはいけない関係を、モデルを使わずに確かめることができます。

オプション価格を求めるには、原資産が将来どう動くかのモデルが必要です。2状態モデルならば $u$ と $d$ を決めましたし、より精緻なモデルでは分布の形を仮定します。

ところが、コールとプットの価格の差に限っては、分布の仮定が一切要りません。同じ原資産、同じ満期、同じ行使価格のヨーロピアンオプションであれば、株価がどのような確率で動こうと、コールとプットの間に確定した等式が成り立ちます。この等式がプット・コール・パリティです。

等式が成り立つ理由は裁定の議論だけで完結します。モデルを使わないので、モデルが間違っていても崩れません。今回はこの等式を証明し、仮定を外すと何が起きるかを数値で確かめます。

この記事で証明すること

• THM-PCP-1 配当なしの原資産について、同一満期・同一行使価格のヨーロピアンコールとプットの間に $C_0-P_0=S_0-K\cdot D(0,T)$ が成り立ちます。原資産の分布は一切使いません。
• THM-PCP-2 コールの買いとプットの売りを組み合わせると、行使価格 $K$ の先渡の買いと満期のペイオフが一致します。パリティはこの一致を時刻 0 の価格で読み替えたものです。
• THM-PCP-3 満期までに既知の配当がある場合、パリティは $C_0-P_0=S_0-D_{\mathrm{div}}-K\cdot D(0,T)$ に修正されます。

2. 設定と仮定 ― 同じ原資産、同じ満期、同じ行使価格

以下の仮定を置きます。

• オプションの型: ヨーロピアン型（満期 $T$ まで行使できない）。
• 同一の原資産・同一の満期 $T$・同一の行使価格 $K$: コールとプットが同一の条件を持つ。
• 配当なし（THM-PCP-3 でこの仮定を外します）。
• 借入と貸出が同一の無リスク金利 $r$ で行える。割引係数 $D(0,T)=(1+r{)}^{-T}$ は確定した値。
• 空売り可、取引コスト・税・スプレッドなし。任意の実数単位で売買できる。
• 原資産価格の確率分布については一切仮定しない。

6番目の仮定がこの回の要点です。$S_T$ が2状態を取るのか、100状態を取るのか、連続な分布に従うのか、何も決めません。にもかかわらず、$C_0-P_0$ の値が確定します。

3. 主張 ― コールとプットの差は先渡である

定理 THM-PCP-1（プット・コール・パリティ） 上の仮定のもとで、同一原資産・同一満期・同一行使価格のヨーロピアンコールとプットについて

$$C_0-P_0=S_0-K\cdot D(0,T)\text{\hspace{1em}(1)}$$

が成り立つ。原資産の分布について何も仮定しない。

定理 THM-PCP-2（合成先渡としての言い換え） コールの買いとプットの売りを組み合わせた建玉は、行使価格 $K$・満期 $T$ の先渡の買いと満期のペイオフが一致する。パリティはこの一致を時刻 0 の価格に読み替えたものである。

定理 THM-PCP-3（既知配当がある場合の修正） 満期までに支払われる配当の現在価値を $D_{\mathrm{div}}$ とすると

$$C_0-P_0=S_0-D_{\mathrm{div}}-K\cdot D(0,T)\text{\hspace{1em}(2)}$$

となる。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 2つの建玉が満期に一致することを見る

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-PCP-2 の証明（合成先渡）

まず THM-PCP-2 を示します。これが THM-PCP-1 の背骨になります。

建玉 A: コールを1単位買い、プットを1単位売る。

満期のペイオフを場合分けします。

• $S_T\ge K$ のとき: コールを行使して $S_T-K$ を受け取ります。プットは行使されないので $0$ です。合計 $S_T-K$ です。
• $S_T<K$ のとき: コールは行使しないので $0$ です。プットが行使され、$K-S_T$ を支払います。合計 $-(K-S_T)=S_T-K$ です。

どちらの場合も満期のペイオフは $S_T-K$ です。つまりこの建玉は、満期に原資産を $K$ で買う義務と同じキャッシュフローを生みます。これは行使価格 $K$、満期 $T$ の先渡の買いのペイオフそのものです。

ここで重要なのは、$S_T$ がどのような値を取りうるかを一切指定していないことです。場合分けは $S_T\ge K$ と $S_T<K$ の2つだけで、$S_T$ の分布には触れていません。 ∎

THM-PCP-1 の証明（パリティ等式）

THM-PCP-2 で得た「合成先渡」を使い、裁定の議論で等式を導きます。

ポートフォリオ X: コール1単位の買い ＋ プット1単位の売り。

時刻 0 のコスト: $C_0-P_0$。

満期のペイオフ: THM-PCP-2 より $S_T-K$。

ポートフォリオ Y: 原資産1単位の買い ＋ 額面 $K$ の安全資産の売り（借入）。

時刻 0 のコスト: $S_0-K\cdot D(0,T)$。安全資産を額面 $K$ ぶん借り入れるとは、時刻 0 に $K\cdot D(0,T)$ を受け取り、満期に $K$ を返済することです。

満期のペイオフ: $S_T-K$。原資産の価値 $S_T$ から借入の返済 $K$ を引いた値です。

2つのポートフォリオは全ての状態で同じペイオフ $S_T-K$ を生みます。 $S_T$ がどんな値を取ろうと、差が生まれる状態は存在しません。

もし時刻 0 のコストが異なる、すなわち $C_0-P_0\ne S_0-K\cdot D(0,T)$ であれば、高い方を売って安い方を買うことで裁定が作れます。具体的に見ます。

$C_0-P_0>S_0-K\cdot D(0,T)$ の場合。 ポートフォリオ X を売り（コール売り・プット買い）、ポートフォリオ Y を買います（原資産買い・安全資産借入）。

• 時刻 0: $(C_0-P_0)-(S_0-K\cdot D(0,T))>0$ を受け取ります。
• 満期: X の売りは $-(S_T-K)$ のペイオフ、Y の買いは $S_T-K$ のペイオフ。合計 $0$ です。

元手なしで正の利益を得ており、裁定です。

$C_0-P_0<S_0-K\cdot D(0,T)$ の場合。 逆の建玉を取ります。

• 時刻 0: $(S_0-K\cdot D(0,T))-(C_0-P_0)>0$ を受け取ります。
• 満期: 同様に合計 $0$ です。

裁定です。

したがって、無裁定のもとでは

$$C_0-P_0=S_0-K\cdot D(0,T)$$

が成り立つしかありません。

この証明のどこにも $S_T$ の分布は登場していません。ポートフォリオ X と Y が状態ごとにペイオフが一致することだけを使いました。一致が全状態で成り立つので、確率の重みで平均する必要がなく、分布の情報が入る余地がありません。 ∎

THM-PCP-3 の証明（配当がある場合）

配当が満期前の時点 $t_1,t_2,\dots$ に確定額で支払われるとします。配当の合計の現在価値を

$$D_{\mathrm{div}}=\sum _i{c}_i\cdot D(0,t_i)$$

と書きます。

THM-PCP-1 の証明を振り返ります。ポートフォリオ X（コール買い・プット売り）の満期ペイオフは依然として $S_T-K$ です。オプションのペイオフは配当を含まないからです。

ポートフォリオ Y（原資産買い・安全資産借入）の満期ペイオフも $S_T-K$ ですが、原資産の保有者は満期までに配当を受け取ります。 この配当を満期まで再投資した値を考慮する必要があります。

修正したポートフォリオ Y’ を作ります。

ポートフォリオ Y’: 原資産1単位の買い ＋ 額面 $K$ の安全資産の売り ＋ 配当の現在価値 $D_{\mathrm{div}}$ ぶんの安全資産の売り。

時刻 0 のコスト: $S_0-K\cdot D(0,T)-D_{\mathrm{div}}$。

満期のペイオフを確認します。原資産の価値は $S_T$ で、途中で配当を受け取りそのつど安全資産の借入の返済に充てます。配当を受け取った時点で $D_{\mathrm{div}}$ ぶんの借入がちょうど返済され、残る借入は $K\cdot D(0,T)$ に対応する部分だけです。満期時点で $S_T-K$ が残ります。

したがってポートフォリオ X と Y’ は全状態でペイオフが一致し、THM-PCP-1 と同じ裁定の議論により

$$C_0-P_0=S_0-D_{\mathrm{div}}-K\cdot D(0,T)$$

が成り立ちます。配当がないとき $D_{\mathrm{div}}=0$ となり、THM-PCP-1 に戻ります。 ∎

5. 反例 ― 配当と早期行使で等式が破れる

CEX-PCP-1: 配当なしの仮定が破れる

$S_0=100$、$K=100$、$r=0.05$、$T=1$、$C_0=10$ として、配当なしパリティを使ってプット価格を求めると

$$\begin{array}{rl}{P}_0& =C_0-S_0+K\cdot D(0,T)\\ & =10-100+100\times \frac{20}{21}\\ & =\frac{110}{21}\approx 5.2381\end{array}$$

です。

ところが、この銘柄が $t=0.5$ に確定配当 3 を支払うとします。半年の割引係数を $D(0,0.5)=1/(1+r/2)=40/41$ とすると、配当の現在価値は

$$D_{\mathrm{div}}=3\times \frac{40}{41}=\frac{120}{41}\approx 2.9268$$

です。修正パリティ（THM-PCP-3）で正しいプット価格を求めると

$$\begin{array}{rl}{P}_0& =C_0-S_0+D_{\mathrm{div}}+K\cdot D(0,T)\\ & =10-100+\frac{120}{41}+\frac{2000}{21}\\ & =\frac{7030}{861}\approx 8.1649\end{array}$$

になります。配当なしパリティとの差は $\frac{120}{41}\approx 2.9268$ で、これはちょうど配当の現在価値 $D_{\mathrm{div}}$ に一致します。配当を無視すると、プットを $2.9268$ だけ安く見積もってしまいます。

CEX-PCP-2: ヨーロピアンの仮定が破れる（アメリカンプット）

パリティはヨーロピアン型でのみ等式です。アメリカンプットでは早期行使が最適になる場合があり、等式が不等式に弱まります。

モデルを使わずにこれを示します。ヨーロピアンプットの満期ペイオフは最大で $K$（原資産が $0$ になった場合）ですから、その現在価値は $K\cdot D(0,T)$ を超えません。

$$P_{\mathrm{Euro}}\le K\cdot D(0,T)$$

いま $K=100$、$r=0.20$、$T=1$、$S_0=10$ とします。割引係数は $D(0,1)=5/6$ です。

• ヨーロピアンプットの価格上限: $K\cdot D(0,T)=100\times \frac{5}{6}=\frac{250}{3}\approx 83.3333$
• 即時行使の価値: $K-S_0=100-10=90$

即時行使の価値 $90$ は、ヨーロピアンプットがどんな分布のもとでも超えられない上限 $83.3333$ を上回っています。差は $\frac{20}{3}\approx 6.6667$ です。

これは「今すぐ行使して 90 を手にし、安全資産に置けば満期に $90\times 1.20=108$ になる。待ったところで割り引いた最大値は $83.3333$ にしかならない」ということです。金利が高く原資産価格が低い状況では、プットの早期行使が合理的になります。

アメリカンプットの価格はヨーロピアンプットの価格以上なので、パリティの等式は $C_0-P_0=S_0-K\cdot D(0,T)$ から

$$C_0-P_0\le S_0-K\cdot D(0,T)$$

という不等式に弱まります（$P_0$ が大きくなるので左辺が小さくなります）。

CEX-PCP-3: 借入と貸出が同一金利という仮定が破れる

貸出金利 $r_{\mathrm{lend}}=0.05$、借入金利 $r_{\mathrm{borrow}}=0.07$（金利差 $0.02$）とします。

THM-PCP-1 の証明で、ポートフォリオ Y を組むときに安全資産を借り入れるか貸し出すかで適用される金利が異なります。

• 裁定で安全資産を貸す側は割引係数 $D_{\mathrm{lend}}=\frac{20}{21}\approx 0.9524$ を使います。
• 裁定で安全資産を借りる側は割引係数 $D_{\mathrm{borrow}}=\frac{100}{107}\approx 0.9346$ を使います。

これにより、パリティは一点ではなく帯になります。

$$S_0-K\cdot D_{\mathrm{lend}}\le C_0-P_0\le S_0-K\cdot D_{\mathrm{borrow}}$$

数値を入れると

$$\frac{100}{21}\approx 4.7619\le C_0-P_0\le \frac{700}{107}\approx 6.5421$$

です。帯の幅は $\frac{4000}{2247}\approx 1.7802$ です。

帯の内側では裁定が成立しません。借入コストが利益を食いつぶすからです。帯の外側、つまり $C_0-P_0<4.7619$ または $C_0-P_0>6.5421$ のときだけ、金利差を考慮しても確定利益が残る裁定が可能です。

6. 数値例 ― ずれている市場から確定利益を取り出す

$S_0=100$、$K=100$、$r=0.05$、$T=1$、$C_0=10$ のとき、パリティが示すプット価格は

$$P_0=\frac{110}{21}\approx 5.2381$$

です。市場のプット価格がこの値から外れている場合、確定利益を取り出す建玉を組めます。

ケース1: プットが割高（リバーサル）

市場のプット価格が $P_{\mathrm{mkt}}=6$ だとします。理論値 $5.2381$ より高いので、プットを売る側に回ります。

建玉（リバーサル）: コール買い（$-10$）＋ プット売り（$+6$）＋ 原資産売り（$+100$）。

時刻 0 の手元現金は $-10+6+100=96$ です。これを金利 $r=0.05$ で貸し出します。

満期の状況を確認します。

• コール買い＋プット売りのペイオフ: THM-PCP-2 より $S_T-K$ です。
• 原資産売りのペイオフ: $-S_T$ です。
• 貸出の回収: $96\times 1.05=\frac{504}{5}=100.8$ です。

合計すると $(S_T-K)+(-S_T)+100.8=-K+100.8=-100+100.8=0.8$ です。

$S_T$ がどんな値を取ろうと、満期の利益は $0.8$ に確定します。元手はゼロ（時刻 0 で正味の支払いなし）なので、これは裁定です。

ケース2: プットが割安（コンバージョン）

市場のプット価格が $P_{\mathrm{mkt}}=4$ だとします。理論値 $5.2381$ より安いので、プットを買う側に回ります。

建玉（コンバージョン）: コール売り（$+10$）＋ プット買い（$-4$）＋ 原資産買い（$-100$）。

時刻 0 の正味支出は $-10+4+100=94$ です。これを金利 $r=0.05$ で借り入れます。

満期の状況を確認します。

• コール売り＋プット買い＋原資産のペイオフ:
  • $S_T\ge K$: コール売り $-(S_T-K)$、プット買い $0$、原資産 $S_T$。合計 $K=100$。
  • $S_T<K$: コール売り $0$、プット買い $K-S_T$、原資産 $S_T$。合計 $K=100$。
• 借入の返済: $94\times 1.05=\frac{987}{10}=98.7$。

合計すると $100-98.7=1.3$ です。

$S_T$ がどんな値を取ろうと、満期の利益は $1.3$ に確定します。

どちらのケースも、パリティからのずれが裁定利益の源泉です。ずれが大きいほど利益も大きくなります。

7. 次回へ ― モデルなしで言える価格の上限と下限

パリティは「コールとプットの差」を確定させますが、それぞれの水準は決めません。水準を絞り込むには、まだ使っていない道具があります。次回（第50回）では、モデルを使わずにオプション価格の裁定境界、すなわち上限と下限をどこまで詰められるかを見ます。

次のマイルストーンまであと 5 本です。

よくある質問

パリティはどんな相場でも成り立ちますか

前提がそろっていれば成り立ちます。崩れて見えるときは、配当・金利差・アメリカン型・取引コストのどれかが効いています。

モデルを使わないのに価格が決まるのはなぜですか

決まっているのはコールとプットの差だけです。それぞれの水準はモデルがないと決まりません。

実際の市場でパリティのずれは利益になりますか

理屈のうえではなります。ただし手数料と売買の値幅を引くと、ずれのほとんどは消えます。

参考文献

• Stoll H. R.、The Relationship Between Put and Call Option Prices、The Journal of Finance、1969年、DOI 10.2307/2325677
• Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年

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数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。