第48回 コールとプットの定義 ― ペイオフ図を正確に描く

位置: 第5部 第48回 / 前提: 第3回、第43回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: コール・プットとその組み合わせのペイオフ図を正確に描き、満期の支払いと損益を区別できる

0. 物語 ― ペイオフと損益の混同

前回までに、オプションとは「権利」であり、不利なら行使しなくてよい、という話をしました。この性質は、別の面から見ることもできます。「行使できた」ことと「儲かった」こととは、実は別物だ、という面です。

行使価格100のコールオプションを、8で買ったとします。満期に原資産の価格が105だったとしましょう。行使すれば5が手に入ります。「5もらえたのだから得をした」と思うかもしれません。しかし、そのオプションを買うのに8を支払っています。手に入る5から支払った8を引くと、差し引きマイナス3です。行使できたのに損をしています。

このコールの買い手が利益を出すには、原資産の価格が108を超えなければなりません。100を超えて行使できる状態と、108を超えて初めて利益が出る状態のあいだには、8の幅があります。この幅がまさに、権利を手に入れるために支払った対価です。

ここで混同されているのが「ペイオフ」と「損益」の区別です。ペイオフとは満期に受け取る金額のことで、この場合は5です。損益とはペイオフから支払った対価を差し引いた金額で、マイナス3です。ペイオフが正であっても、損益が負になることがあります。

この区別をあいまいにしたまま先に進むと、どんなに複雑な理論を積み上げても、満期の支払い額と儲けの額をいつまでも取り違えることになります。この回では、コールとプットのペイオフを正確に定義し、折れ線の形・凸性・合成の恒等式という3つの性質を証明します。定義が正確であれば、ペイオフと損益を混同する余地はなくなります。

1. 動機 ― オプションの中身を正確に決める

この回を読み終えると、コール・プットとその組み合わせのペイオフ図を正確に描き、満期の支払いと損益を区別できます。

オプションという言葉は知っていても、その中身を数式で書けるかと聞かれると手が止まる人は多いはずです。「上がったら儲かる」「下がったら儲かる」という直感は正しいのですが、正確にいくら受け取れるかを式にしないと、証明も数値計算もできません。

今回はコールとプットのペイオフを定義し、その数学的な性質を3つ証明します。ペイオフの非負性と単調性、コールとプットを組み合わせたときに原資産との間に成り立つ恒等式、そしてペイオフ関数の凸性です。どれもオプション理論の土台になる性質で、ここを曖昧にすると後の議論が全て曖昧になります。

この記事で証明すること

• THM-CP3-1 コールのペイオフは原資産価格について広義単調増加で非負、プットのペイオフは広義単調減少で非負です。
• THM-CP3-2 コールの買いとプットの売りを同じ行使価格で組むと、満期のペイオフは $S_T-K$ に一致します。
• THM-CP3-3 コールとプットのペイオフはいずれも原資産価格の凸関数です。

2. 設定と仮定 ― 行使価格と満期

この記事では次の仮定を置きます。全てを明示しておくのは、後でどの仮定が効いているかを追跡するためです。

• ヨーロピアン型に限る。 満期 $T$ にのみ行使の判断をします。満期前に行使できるアメリカンは第52回で扱います。
• 原資産は満期まで配当を払わない。
• ペイオフは満期時点の値だけで決まる。 途中の経路には依存しません。
• 取引コストと税は無い。

コールオプションとは、満期 $T$ において原資産を行使価格 $K$ で買う権利です。権利であって義務ではないため、不利なら行使しません。したがってコールのペイオフは

$$C_T=\max (S_T-K,0)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

です。$S_T>K$ なら $S_T-K$ を受け取り、$S_T\le K$ なら何も受け取りません。

プットオプションとは、満期 $T$ において原資産を行使価格 $K$ で売る権利です。同様に

$$P_T=\max (K-S_T,0)\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

です。$S_T<K$ なら $K-S_T$ を受け取り、$S_T\ge K$ なら何も受け取りません。

$\max$ を使うのがポイントです。不利な場合に行使しない、つまり受取額がゼロで止まるという事実を $\max (\cdot ,0)$ が表現しています。

ペイオフとは満期に受け取る金額のことで、そのオプションを手に入れるために支払った金額（プレミアム）は含みません。この区別は反例の節で数値を使って確認します。

以上の定義が、この記事の全ての出発点です。

3. 主張 ― ペイオフは折れ線で、凸である

定義 (1.1), (1.2) から、3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-CP3-1（ペイオフの非負性と単調性） コールのペイオフ $C_T=\max (S_T-K,0)$ は $S_T$ について広義単調増加で非負である。プットのペイオフ $P_T=\max (K-S_T,0)$ は $S_T$ について広義単調減少で非負である。

定理 THM-CP3-2（合成による恒等式） コールの買いとプットの売りを同じ行使価格 $K$ で組むと、満期のペイオフは

$$C_T-P_T=S_T-K\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

に等しい。すなわち、原資産価格から行使価格を引いたものに一致する。

定理 THM-CP3-3（凸性） コールのペイオフ $f(S)=\max (S-K,0)$ およびプットのペイオフ $g(S)=\max (K-S,0)$ は、いずれも $S\ge 0$ 上の凸関数である。すなわち、任意の $S_1,S_2\ge 0$ と $\lambda \in [0,1]$ に対し

$$f(\lambda S_1+(1-\lambda )S_2)\le \lambda f(S_1)+(1-\lambda )f(S_2)$$

が成り立つ。$g$ についても同様である。

THM-CP3-2 の (2.1) は、コールとプットの関係を直接つなぐ式です。この恒等式自体はペイオフの定義から場合分けだけで出ますが、次回の第49回で扱うより深い関係の出発点になります。

3つの定理をまとめると、コールとプットのペイオフは「非負の折れ線で、しかも凸」という性質を持っています。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 定義から場合分けで確かめる

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-CP3-1 の証明

コールの非負性。 定義 (1.1) より $C_T=\max (S_T-K,0)\ge 0$ です。$\max$ の定義そのものから、2つの引数のうち大きい方を返すので、$0$ 以上であることは仮定を使うまでもなく成り立ちます。

コールの広義単調増加。 $S_T^{\prime }\ge S_T$ とします。$C_T$ の値を場合分けで確認します。

• $S_T\ge K$ の場合。$C_T=S_T-K$、$C_T^{\prime }=S_T^{\prime }-K$。$S_T^{\prime }\ge S_T$ より $C_T^{\prime }\ge C_T$ です。
• $S_T<K\le S_T^{\prime }$ の場合。$C_T=0$、$C_T^{\prime }=S_T^{\prime }-K\ge 0=C_T$ です。
• $S_T^{\prime }<K$ の場合。$S_T\le S_T^{\prime }<K$ なので $C_T=0$、$C_T^{\prime }=0$。等号で $C_T^{\prime }\ge C_T$ が成り立ちます。

どの場合も $C_T^{\prime }\ge C_T$ なので、コールのペイオフは $S_T$ について広義単調増加です。

プットの非負性。 定義 (1.2) より $P_T=\max (K-S_T,0)\ge 0$ です。コールと同じく $\max$ の定義から直ちに従います。

プットの広義単調減少。 $S_T^{\prime }\ge S_T$ とします。

• $S_T^{\prime }\le K$ の場合。$P_T=K-S_T$、$P_T^{\prime }=K-S_T^{\prime }$。$S_T^{\prime }\ge S_T$ より $K-S_T^{\prime }\le K-S_T$ なので $P_T^{\prime }\le P_T$ です。
• $S_T\le K<S_T^{\prime }$ の場合。$P_T=K-S_T\ge 0$、$P_T^{\prime }=0$。$P_T^{\prime }=0\le P_T$ です。
• $S_T>K$ の場合。$P_T=0$、$P_T^{\prime }=0$。等号で $P_T^{\prime }\le P_T$ が成り立ちます。

どの場合も $P_T^{\prime }\le P_T$ なので、プットのペイオフは $S_T$ について広義単調減少です。 ∎

THM-CP3-2 の証明

$S_T$ と $K$ の大小で場合分けします。

場合1: $S_T\ge K$ のとき。

定義 (1.1) より $C_T=S_T-K$ です。$S_T\ge K$ より $K-S_T\le 0$ なので、定義 (1.2) より $P_T=0$ です。したがって

$$C_T-P_T=(S_T-K)-0=S_T-K.$$

場合2: $S_T<K$ のとき。

$S_T-K<0$ なので、定義 (1.1) より $C_T=0$ です。$K-S_T>0$ なので、定義 (1.2) より $P_T=K-S_T$ です。したがって

$$C_T-P_T=0-(K-S_T)=S_T-K.$$

どちらの場合も $C_T-P_T=S_T-K$ が成り立ちます。 ∎

この証明で見落としてはいけないのは、$S_T=K$ のときです。場合1に含まれていて、$C_T=0$, $P_T=0$ なので $C_T-P_T=0=S_T-K$。問題なく成り立ちます。

(2.1) を言葉にすると、コールの買いとプットの売りの組み合わせは、満期において原資産を $K$ で買うのと同じペイオフを生む、ということです。$S_T>K$ ならコールを行使して $S_T-K$ を得て、$S_T<K$ なら売ったプットを行使されて $S_T-K<0$ を受け入れます。権利の「買い」と「売り」が組み合わさって、どちらの場合にも同じ式になるのです。

THM-CP3-3 の証明

コールのペイオフ $f(S)=\max (S-K,0)$ が凸であることを示します。任意の $S_1,S_2\ge 0$ と $\lambda \in [0,1]$ を取ります。示すべきは

$$\begin{array}{rl}& f(\lambda S_1+(1-\lambda )S_2)\\ & \le \lambda f(S_1)+(1-\lambda )f(S_2)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

です。

$\max$ 関数の性質を使います。一般に、任意の実数 $a,b,c,d$ と $\lambda \in [0,1]$ に対して

$$\begin{array}{rl}& \max (\lambda a+(1-\lambda )c,\lambda b+(1-\lambda )d)\\ & \le \lambda \max (a,b)+(1-\lambda )\max (c,d)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

が成り立ちます。これは $\max (a,b)\ge a$ かつ $\max (a,b)\ge b$ を使うと確かめられます。右辺は $\lambda a+(1-\lambda )c$ 以上であり、同時に $\lambda b+(1-\lambda )d$ 以上でもあるので、それらの $\max$ 以上です。

(3.2) を $a=S_1-K$, $b=0$, $c=S_2-K$, $d=0$ に適用します。左辺は

$$\begin{array}{rl}& \max (\lambda (S_1-K)+(1-\lambda )(S_2-K),0)\\ & =\max (\lambda S_1+(1-\lambda )S_2-K,0)\\ & =f(\lambda S_1+(1-\lambda )S_2).\end{array}$$

$K$ がくくり出せるのは、$\lambda K+(1-\lambda )K=K$ だからです。右辺は

$$\begin{array}{rl}& \lambda \max (S_1-K,0)\\ & +(1-\lambda )\max (S_2-K,0)\\ & =\lambda f(S_1)+(1-\lambda )f(S_2).\end{array}$$

したがって (3.1) が成り立ち、$f$ は凸です。

プットの凸性。 $g(S)=\max (K-S,0)$ に対しても同じ論法を使います。(3.2) に $a=K-S_1$, $b=0$, $c=K-S_2$, $d=0$ を代入します。左辺は

$$\begin{array}{rl}& \max (\lambda (K-S_1)+(1-\lambda )(K-S_2),0)\\ & =\max (K-(\lambda S_1+(1-\lambda )S_2),0)\\ & =g(\lambda S_1+(1-\lambda )S_2).\end{array}$$

右辺は $\lambda g(S_1)+(1-\lambda )g(S_2)$ です。したがって $g$ も凸です。 ∎

凸性を直感的に言うと、ペイオフのグラフ上の2点を結ぶ線分が、グラフの上側にあるということです。折れ線が「上に凸」ではなく「下に凸」に折れている ― つまりどちらも $S=K$ で上向きに折れていて、右側が右上がりになるのがコール、左側が右下がりになるのがプットです。どちらも折れ目を境に傾きが増加する（コール: $0\to 1$、プット: $-1\to 0$）ので、凸です。

5. 反例 ― ペイオフと損益は別物

CEX-CP3-1: ペイオフと損益を混同する誤り

ペイオフと損益（P&L）は別物です。ペイオフは満期に受け取る金額、損益はそこからプレミアムを引いた金額です。この混同はオプション初学者に非常に多い誤りです。

$K=100$ のコールをプレミアム 8 で買った場合を考えます。

$S_T$	ペイオフ	損益
80	0	$-8$
90	0	$-8$
100	0	$-8$
105	5	$-3$
110	10	2
120	20	12

ペイオフは $S_T\le 100$ でゼロですが、損益は $-8$ です。コールの買い手は、何も起きなくてもプレミアム分だけ損をしています。

損益分岐点はペイオフがプレミアムと等しくなる点です。コールの場合、$S_T-K=8$ すなわち $S_T=108$ です。$S_T>108$ でようやく利益が出ます。

同様に $K=100$ のプットをプレミアム 5 で買った場合、損益分岐点は $K-S_T=5$ すなわち $S_T=95$ です。$S_T<95$ で利益が出ます。

ペイオフ図と損益図は同じ形の折れ線ですが、上下にプレミアム分だけずれています。ペイオフが正でも損益が負になる区間（コールなら $100<S_T<108$）が存在することを見落とすと、「行使できたから儲かった」と誤解します。

CEX-CP3-2: 組み合わせれば何でも作れる、という理解

コールとプットの線形結合で任意のペイオフを作れるように思えるかもしれません。しかし、同一行使価格のコールとプットでは、折れ点を行使価格以外に作ることはできません。

$K=100$ のコールとプットの任意の線形結合 $a\cdot C_T+b\cdot P_T$ を考えます。$S_T<K$ では $C_T=0$, $P_T=K-S_T$ なのでペイオフは $b(K-S_T)$。$S_T\ge K$ では $C_T=S_T-K$, $P_T=0$ なのでペイオフは $a(S_T-K)$。折れ点は $S_T=K=100$ の1箇所だけです。

たとえば $a=1,b=1$（ストラドル）のペイオフを見ます。

$S_T$	80	85	90	95	100	105	110	115	120
ペイオフ	20	15	10	5	0	5	10	15	20

折れ点は $S_T=100$ の1箇所だけで、V字型です。

一方、行使価格を2つ使えば折れ点を2箇所に作れます。$K_1=95$ のコール買いと $K_2=105$ のコール売りを組み合わせたスプレッドを見ます。

$S_T$	80	85	90	95	100	105	110	115	120
コール($K_1=95$)	0	0	0	0	5	10	15	20	25
$-$コール($K_2=105$)	0	0	0	0	0	0	$-5$	$-10$	$-15$
スプレッド	0	0	0	0	5	10	10	10	10

折れ点が $S_T=95$ と $S_T=105$ の2箇所にあります。$S_T<95$ ではゼロ、$95\le S_T\le 105$ では $S_T-95$ で増加し、$S_T>105$ では 10 で頭打ちです。このような台形型のペイオフは、単一の行使価格では作れません。

任意の折れ線型ペイオフを作るには、折れ点の数だけ行使価格が必要です。

CEX-CP3-3: 凸性がどんなペイオフでも成り立つ、という思い込み

THM-CP3-3 はコールとプットの単体のペイオフについての定理です。コールの売り（ショートコール）を含む組み合わせでは、凸性が崩れます。

コールの売りが凸でないことの数値確認。 $K=100$ のコールの売りのペイオフは $f(S)=-\max (S-K,0)$ です。

$S_1=80$, $S_2=120$, $\lambda =1/2$ とします。中点は $S_{\mathrm{mid}}=100$ です。

$$f(S_{\mathrm{mid}})=-\max (100-100,0)=0.$$

$$\begin{array}{rl}& \lambda f(S_1)+(1-\lambda )f(S_2)\\ & =\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot (-20)=-10.\end{array}$$

凸性は $f(S_{\mathrm{mid}})\le -10$ を要求しますが、$0>-10$ なので凸性が破れています。コールの売りのペイオフは凸ではなく凹です。

ベアスプレッドでも凸性が崩れる例。 $K_1=95$ のコール売りと $K_2=105$ のコール買いの組み合わせ（ベアスプレッド）を考えます。ペイオフは $h(S)=-\max (S-95,0)+\max (S-105,0)$ です。

$S_1=90$, $S_2=100$, $\lambda =1/2$ とします。中点は $S_{\mathrm{mid}}=95$ です。

$$\begin{array}{rl}h(90)& =0,\\ h(100)& =-5,\\ h(95)& =0.\end{array}$$

$$\lambda h(90)+(1-\lambda )h(100)=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot (-5)=-\mathrm{2.5.}$$

凸性は $h(95)\le -2.5$ を要求しますが、$0>-2.5$ なので凸性が破れています。

凸性は $\max$ の性質（THM-CP3-3 の証明で使った (3.2)）から来ているので、$-\max$ にすると不等号が逆転するのは自然です。「オプションを買えばペイオフは凸、売ればペイオフは凹」と覚えておくのが実用的です。

6. 数値例 ― ペイオフ表を作って図にする

$K=100$ として、$S_T$ を 80 から 120 まで 5 刻みで動かしたペイオフ表です。

$S_T$	コール $\max (S_T-K,0)$	プット $\max (K-S_T,0)$
80	0	20
85	0	15
90	0	10
95	0	5
100	0	0
105	5	0
110	10	0
115	15	0
120	20	0

コールは $S_T=K=100$ を境に右側で増加し、左側はゼロです。プットは逆に左側で増加し、右側はゼロです。どちらも非負であり（THM-CP3-1）、折れ点は $S_T=K$ の1箇所です。

合成の確認（THM-CP3-2）。 コールの買いとプットの売りを同時に持つと、ペイオフは $C_T-P_T$ です。

$S_T$	コール	$-$プット	合成	$S_T-K$
80	0	$-20$	$-20$	$-20$
90	0	$-10$	$-10$	$-10$
100	0	0	0	0
110	10	0	10	10
120	20	0	20	20

合成のペイオフが $S_T-K$ と全行で一致しています。折れ線が直線に変わるのは、コールとプットの折れが $S_T=K$ で打ち消し合うためです。

凸性の数値確認（THM-CP3-3）。 $S_1=80$, $S_2=120$, $\lambda =1/2$ として中点 $S_{\mathrm{mid}}=100$ で確かめます。

コール: $f(100)=0\le \frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 20=10$。成立。

プット: $g(100)=0\le \frac{1}{2}\cdot 20+\frac{1}{2}\cdot 0=10$。成立。

折れ点をまたぐ2点を取ると、中点のペイオフが端点の平均よりも小さくなっています。これが凸性の目に見える現れです。

ペイオフ表の全ての値は compute.py による厳密計算（fractions.Fraction）で検算済みです。

7. 次回へ ― モデルを使わずに成り立つ関係

今回定義したコールとプットのペイオフは、第49回以降の全ての議論の出発点です。

次回 第49回では、ペイオフではなく価格の世界で成り立つ関係を導きます。THM-CP3-2 はペイオフについての恒等式でしたが、次回のテーマはこれを価格に翻訳したとき何が言えるか、です。モデルを一切使わず、無裁定の仮定だけから導かれる関係が出てきます。

次のマイルストーンまであと 6 本です。

よくある質問

ペイオフと損益はどう違うのですか

ペイオフは満期にもらえる額、損益はそこから払ったプレミアムを引いた額です。図の形は同じで、上下にずれます。

なぜ折れ線になるのですか

行使するかしないかを選べるからです。不利なら行使しないので、そこで折れます。

凸であることに意味はありますか

あります。価格が凸になることや、ボラティリティが上がると価値が上がることにつながります。

参考文献

• Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年
• Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance I ― The Binomial Asset Pricing Model、Springer、2004年

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数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。