数学編 第23回 ラドン・ニコディム微分 ― 測度を測度で割る

位置: 数学編 第23回 / 前提: M14, M16 / 数学編: なし / この回でできるようになること: 測度を取り替えたときの期待値を、ラドン・ニコディム微分で計算できる

0. 物語 ― 密度を掛け忘れて期待値を取る誤り

トレーディングデスクで、ある資産の期待収益を計算する場面を考えてみてください。4つの起こりうるシナリオがあり、それぞれの資産の値は8、4、2、6です。ここに2つの確率の見方があります。ひとつは市場が想定している確率で、もうひとつはリスクを調整した後の確率です。

リスク調整後の確率で計算すると、この資産の期待値は6になります。ところが、ある担当者が「確率を切り替えたのだから、そのまま別の確率で平均を取ればいい」と考えて、市場の確率でそのまま期待値を計算してしまいました。結果は5です。正しい値との差は1で、これは無視できない大きさです。

なぜずれたのでしょうか。確率の割り当てを変えるときには、ただ確率を入れ替えるだけでは足りません。2つの確率の「比」にあたる重みを、資産の値に掛けてから平均を取る必要があります。この重みを忘れると、確率の違いが反映されないまま計算が進み、答えがずれてしまいます。

同じことは、正規分布を使った連続的な計算でも起きます。平均がゼロの分布をもとに、平均が0.5の分布での期待値を求めたいとします。重みを正しく掛ければ、期待値はおよそ0.5になります。しかし重みを掛けずに計算すると、答えはゼロ付近のままで、誤差はおよそ0.5です。分布が連続であっても、離散であっても、確率を乗り換えるなら重みは欠かせません。

この回では、この「重み」の正体を明らかにします。2つの確率の比として定まる関数があり、それを使えば、どちらの確率のもとでも正しく期待値を計算できることを証明します。

1. 動機 ― 確率の割り当てを変えるとはどういうことか

この回を読み終えると、測度を取り替えたときの期待値を、ラドン・ニコディム微分で計算できます。

同じ事象に対して、2つの確率の割り当て方があるとします。たとえば、サイコロの目の出やすさについて、あなたと相手が違う信念を持っている状況です。このとき「相手の確率は、自分の確率に何か重みを掛けたもので書けないか」と考えるのが、ラドン・ニコディム微分の出発点です。

金融では、現実の確率 $\mathbb{P}$ からリスク中立確率 $\mathbb{Q}$ に移る操作が頻繁に現れます。この「確率の乗り換え」を正確に記述する道具がラドン・ニコディム微分です。本編第64回で登場する測度変換の理論的な土台になります。

この記事で証明すること

• THM-M23-1 $\mathbb{Q}$ が $\mathbb{P}$ に関して絶対連続であれば、$\mathbb{Q}(A)$ を $A$ 上での $Z$ の $\mathbb{P}$ による積分として表す非負可積分な $Z$ がほとんど確実に一意に存在します。この定理は結果として引用します。
• THM-M23-2 $\mathbb{Q}$ のもとでの $X$ の期待値は、$\mathbb{P}$ のもとでの $XZ$ の期待値に等しいことを証明します。
• THM-M23-3 $\mathbb{P}$ と $\mathbb{Q}$ が互いに絶対連続なら、$\mathbb{P}$ の $\mathbb{Q}$ に関する微分は $Z$ の逆数に等しいことを証明します。

この節のまとめ: 測度の変換を「重み関数 $Z$」で記述するのがラドン・ニコディム微分の考え方です。

2. 設定と仮定 ― 2つの測度と絶対連続性

同じ標本空間 $(\Omega ,\mathcal{F})$ の上に、2つの確率測度 $\mathbb{P}$ と $\mathbb{Q}$ が与えられているとします。

絶対連続性 $\mathbb{Q}$ が $\mathbb{P}$ に関して絶対連続であるとは、すべての $A\in \mathcal{F}$ に対して

$$\mathbb{P}(A)=0⟹\mathbb{Q}(A)=0$$

が成り立つことです。$\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ と書きます。

直感的には「$\mathbb{P}$ で起きない事象は $\mathbb{Q}$ でも起きない」という条件です。もし $\mathbb{P}$ で確率 $0$ の事象に $\mathbb{Q}$ が正の確率を与えてしまうと、$\mathbb{P}$ の情報だけでは $\mathbb{Q}$ を再現できません。

同値な測度 $\mathbb{P}\ll \mathbb{Q}$ かつ $\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ のとき、$\mathbb{P}$ と $\mathbb{Q}$ は同値であると言い、$\mathbb{P}\sim \mathbb{Q}$ と書きます。有限の標本空間（各点が事象になっている場合）では、各点について「一方で正の確率を持つことと、もう一方で正の確率を持つことが同値である」ことと同値です。特に、すべての点で両方が正の確率を持てば同値です。

ラドン・ニコディム微分 $\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ のとき、非負可積分な確率変数 $Z$ で

$$\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}Zd\mathbb{P}\text{for all }A\in \mathcal{F}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

を満たすものを $\mathbb{Q}$ の $\mathbb{P}$ に関するラドン・ニコディム微分と呼び、$Z=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ と書きます。

有限の標本空間では、各標本点 $\omega$ で $\mathbb{P}(\{\omega \})>0$ なら、(2.1) は単に

$$Z(\omega )=\frac{\mathbb{Q}(\{\omega \})}{\mathbb{P}(\{\omega \})}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

です。「測度を測度で割る」という本記事のタイトルは、この (2.2) のことを指しています。

この節のまとめ: 絶対連続性は「確率 $0$ の事象を保存する」条件で、ラドン・ニコディム微分は測度の比を一般化した概念です。

3. 主張 ― 新しい測度は重みで書ける

定理 THM-M23-1（ラドン・ニコディムの定理） $\mathbb{Q}$ が $\mathbb{P}$ に関して絶対連続であれば、非負可積分な確率変数 $Z$ で

$$\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}Zd\mathbb{P}\text{for all }A\in \mathcal{F}$$

を満たすものが存在し、$\mathbb{P}$-ほとんど確実に一意である。

この定理は測度論の中心的な結果です。証明は Folland (1999) の第3章に詳しく載っています。本記事ではこの定理を認めた上で、そこから導かれる性質を証明します。

$Z$ が確率測度の密度であるため、次の基本的な性質が成り立ちます。$A=\Omega$ を (2.1) に代入すると

$$1=\mathbb{Q}(\Omega )={\int }_{\Omega }Zd\mathbb{P}=\mathbb{E}[Z]\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

です。つまり $Z$ の $\mathbb{P}$ のもとでの期待値は $1$ です。

定理 THM-M23-2（期待値の変換公式） $\mathbb{Q}$-可積分な確率変数 $X$ に対し、

$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]=\mathbb{E}[XZ]$$

が成り立つ。ここで右辺の期待値は $\mathbb{P}$ のもとでの期待値である。

定理 THM-M23-3（同値な測度での逆数） $\mathbb{P}\sim \mathbb{Q}$ のとき、$Z>0$ が $\mathbb{P}$-ほとんど確実に成り立ち、

$$\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}}=\frac{1}{Z}$$

が $\mathbb{Q}$-ほとんど確実に成り立つ。

この節のまとめ: ラドン・ニコディムの定理により、絶対連続な測度は重み $Z$ で表現でき、$Z$ の期待値は $1$ です。期待値の変換公式と逆数の公式が主要な帰結です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 有限の場合に比として構成する

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第14回「ルベーグ積分」、数学編 第16回「条件付き期待値は射影である」へ。

THM-M23-2 の証明

有限の標本空間 $\Omega =\{{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n\}$ で $\mathbb{P}(\{{\omega }_i\})>0$ の場合にまず証明します。一般の標本空間の場合は、この証明の最後で扱います。

$\mathbb{Q}$ のもとでの $X$ の期待値を定義に従って展開します。

$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]=\sum _{i=1}^{n}X({\omega }_i)\mathbb{Q}(\{{\omega }_i\})\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

ここで各 $\mathbb{Q}(\{{\omega }_i\})$ に (2.1) を単元集合 $A=\{{\omega }_i\}$ に対して適用すると、$\mathbb{Q}(\{{\omega }_i\})=Z({\omega }_i)\mathbb{P}(\{{\omega }_i\})$ を代入できます。これにより (4.1) は

$$=\sum _{i=1}^{n}X({\omega }_i)Z({\omega }_i)\mathbb{P}(\{{\omega }_i\})\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

と書き換わります。(4.2) の右辺は確率変数 $XZ$ の $\mathbb{P}$ のもとでの期待値の定義そのものです。したがって

$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]=\mathbb{E}[XZ]$$

が得られます。

論法を振り返ると、核心は「$\mathbb{Q}$ の確率を $Z\cdot \mathbb{P}$ に置き換える」というただ一つの操作です。ラドン・ニコディムの定理 (THM-M23-1) がこの置き換えを保証しています。

一般の標本空間では単元集合に分解できないので、次の3段階で同じ置き換えを行います。(i) $X=1_A$ のときは、${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[1_A]=\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}Zd\mathbb{P}=\mathbb{E}[1_{A}Z]$ で、これは (2.1) そのものです。(ii) 両辺は $X$ について線形なので、単関数 $X={\sum }_j{c}_j{1}_{A_j}$ でも成り立ちます。(iii) $X\ge 0$ のときは単関数の増加列 $X_k\uparrow X$ を取ります。$Z\ge 0$ なので $X_{k}Z\uparrow XZ$ でもあり、両辺に単調収束定理（M14）を使うと $X$ でも成り立ちます。一般の $X$ は $X=X^{+}-X^{-}$ と分けます。$\mathbb{Q}$-可積分性から ${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X^{\pm }]<\infty$ なので、(iii) により $\mathbb{E}[X^{\pm }Z]$ も有限であり、差を取れます。 ∎

THM-M23-3 の証明

$\mathbb{P}\sim \mathbb{Q}$ を仮定します。

ステップ 1: $Z>0$ の確認。

$Z=0$ となる集合 $A=\{Z=0\}$ を考えます。(2.1) より

$$\mathbb{Q}(A)={\int }_{A}Zd\mathbb{P}=0$$

です。$Z$ は非負で、$A$ 上では $Z=0$ なので積分は $0$ になります。$\mathbb{P}\sim \mathbb{Q}$ より $\mathbb{Q}(A)=0$ ならば $\mathbb{P}(A)=0$ です。したがって $Z>0$ が $\mathbb{P}$-ほとんど確実に成り立ちます。

ステップ 2: $1/Z$ が $d\mathbb{P}/d\mathbb{Q}$ であることの確認。

示すべきことは、任意の $A\in \mathcal{F}$ に対して

$$\mathbb{P}(A)={\int }_A\frac{1}{Z}d\mathbb{Q}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

が成り立つことです。(4.3) の右辺を変形します。$d\mathbb{Q}=Zd\mathbb{P}$ を代入するために、THM-M23-2 の論法を指示関数 $1_A$ に対して使います。

$${\int }_A\frac{1}{Z}d\mathbb{Q}={\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{1_A}{Z}\right]=\mathbb{E}\left[\frac{1_A}{Z}\cdot Z\right]\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

最後の等号は THM-M23-2 を $X=1_A/Z$ に適用した結果です。$Z>0$ が $\mathbb{P}$-ほとんど確実なので $1_A/Z$ は $\mathbb{P}$-ほとんど確実に定義されます。

(4.4) の右辺で $Z$ が約分されます。

$$\mathbb{E}\left[\frac{1_A}{Z}\cdot Z\right]=\mathbb{E}[1_A]=\mathbb{P}(A)$$

これで (4.3) が示されました。ラドン・ニコディム微分の一意性（THM-M23-1）により、$d\mathbb{P}/d\mathbb{Q}=1/Z$ が $\mathbb{Q}$-ほとんど確実に成り立ちます。 ∎

5. 反例 ― 確率0を正にすることはできない

反例 CEX-M23-1: 絶対連続性が破れると密度は存在しない

4点の標本空間 $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4\}$ で、次の2つの測度を考えます。

	${\omega }_1$	${\omega }_2$	${\omega }_3$	${\omega }_4$
$\mathbb{P}$	$1/3$	$1/3$	$1/3$	$0$
$\mathbb{Q}$	$1/4$	$1/4$	$1/4$	$1/4$

$\mathbb{P}(\{{\omega }_4\})=0$ なのに $\mathbb{Q}(\{{\omega }_4\})=1/4>0$ ですから、$\mathbb{Q}\ll \mathbb{P}$ は成り立ちません。

もし密度 $Z$ が存在したとすると、$\mathbb{Q}(\{{\omega }_4\})=Z({\omega }_4)\cdot \mathbb{P}(\{{\omega }_4\})=Z({\omega }_4)\cdot 0=0$ となり、$\mathbb{Q}(\{{\omega }_4\})=1/4$ と矛盾します。つまり、どんな $Z$ を選んでも ${\omega }_4$ の確率 $1/4$ を表現できません。残差は $1/4$ です。

反例 CEX-M23-2: 密度は1を超えてよい

「確率の比なのだから $Z$ は $0$ から $1$ の間に収まる」という直感は誤りです。第6節の数値例で $Z$ の値を見ると

	${\omega }_1$	${\omega }_2$	${\omega }_3$	${\omega }_4$
$Z$	$2$	$1$	$1/2$	$1/2$

$Z({\omega }_1)=2>1$ です。$Z$ は確率そのものではなく確率の比なので、$1$ を超えることは何の問題もありません。重要なのは $\mathbb{E}[Z]=1$ であることです。実際に計算すると

$$\mathbb{E}[Z]=2\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=1$$

であり、(3.1) が成り立っています。

反例 CEX-M23-3: 密度を忘れると期待値がずれる

確率変数 $X$ の値を $X({\omega }_1)=8$, $X({\omega }_2)=4$, $X({\omega }_3)=2$, $X({\omega }_4)=6$ とします。

$\mathbb{Q}$ のもとでの期待値は ${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]=6$ です。一方、$Z$ を掛けずに $\mathbb{P}$ のもとで期待値を取ると $\mathbb{E}[X]=5$ となり、誤差は $1$ です。

正しくは THM-M23-2 により $\mathbb{E}[XZ]=6={\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]$ です。$Z$ を掛ける操作を省略すると、測度の違いが反映されないため、値がずれます。

この節のまとめ: 絶対連続性が破れると密度は存在せず、密度は $1$ を超えてもよく、密度を掛け忘れると期待値は一致しません。

6. 数値例 ― 正規分布の平均を動かす

有限の例に続いて、連続分布での測度変換を見ます。$\mathbb{P}$ のもとで $X\sim N(0,1)$ とし、$\mathbb{Q}$ のもとで $X\sim N(0.5,1)$ となる測度 $\mathbb{Q}$ を考えます。

4点の標本空間での確認

まず有限の例で定理を確認します。

	${\omega }_1$	${\omega }_2$	${\omega }_3$	${\omega }_4$
$\mathbb{P}$	$1/4$	$1/4$	$1/4$	$1/4$
$\mathbb{Q}$	$1/2$	$1/4$	$1/8$	$1/8$
$Z=d\mathbb{Q}/d\mathbb{P}$	$2$	$1$	$1/2$	$1/2$

$\mathbb{E}[Z]=1$ です。$X({\omega }_1)=8$, $X({\omega }_2)=4$, $X({\omega }_3)=2$, $X({\omega }_4)=6$ として

$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[X]=8\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{8}+6\cdot \frac{1}{8}=6$$

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[XZ]& =8\cdot 2\cdot \frac{1}{4}+4\cdot 1\cdot \frac{1}{4}\\ & +2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+6\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=6\end{array}$$

一致します。THM-M23-3 の逆数も確認します。$1/Z$ の値は ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4$ の順に $1/2,1,2,2$ で、${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[1/Z]=1$ です。

正規分布の測度変換

$\mathbb{P}$ のもとで $X\sim N(0,1)$ の密度は $\phi (x)=(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-x^2/2}$ です。$\mathbb{Q}$ のもとで $X\sim N(0.5,1)$ の密度は $(2\pi {)}^{-1/2}{e}^{-(x-0.5{)}^2/2}$ です。密度の比を取ると

$$Z(x)=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}(x)=\exp \left(0.5x-0.125\right)\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

となります。指数の中身は ${\mu }_{\mathbb{Q}}x/{\sigma }^2-{\mu }_{\mathbb{Q}}^2/(2{\sigma }^2)$ です。

100万点のモンテカルロシミュレーション（シード固定）で検証します。

• $\mathbb{E}[Z]\approx 0.999$（理論値 $1$）
• $\mathbb{E}[XZ]\approx 0.498$（理論値 $0.5={\mu }_{\mathbb{Q}}$）
• $Z$ を掛けずに $\mathbb{E}[X]\approx -0.002$（${\mu }_{\mathbb{P}}=0$）

$Z$ を掛けた場合は $\mathbb{Q}$ の期待値 $0.5$ に近い値が得られますが、掛けない場合は $0$ 付近にとどまり、誤差は約 $0.5$ です。測度を変えるときに密度を掛ける操作が不可欠であることが、数値でも確認できます。

この節のまとめ: 正規分布の平均をずらす測度変換では、密度 $Z$ は指数関数の形を取り、モンテカルロでも期待値の変換公式が成り立つことを確認しました。

7. 次回へ ― 必勝法が作れない理由

ラドン・ニコディム微分は、ある測度のもとでの計算を別の測度のもとでの計算に翻訳する道具です。本編第64回では、現実の確率 $\mathbb{P}$ とリスク中立確率 $\mathbb{Q}$ の間の変換にこの道具が使われます。

次回 M24 では、停止時刻とドゥーブの任意抽出定理を扱います。マルチンゲールの性質を使って、賭けで必勝法が作れない理由を数学的に示します。

この節のまとめ: ラドン・ニコディム微分は測度間の翻訳を行う道具で、金融数学では確率の乗り換えに使われます。

よくある質問

測度を測度で割るとはどういうことですか

同じ事象に対して2つの確率があるとき、その比を事象ごとに取ったものです。

なぜ絶対連続性が要るのですか

0で割ることになるからです。元の測度で起きない事象に新しい測度で確率を与えることはできません。

金融でどう使うのですか

現実の確率からリスク中立確率に移るときに、この重みを使います。

参考文献

1. Williams D.、Probability with Martingales、Cambridge University Press、1991年
2. Folland G. B.、Real Analysis、第2版、Wiley、1999年

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数値例は compute.py により有理数演算（4点の例）およびモンテカルロシミュレーション（正規分布の例、シード固定）で検算済み。