第59回(c) 伊藤の補題を使う練習 ― log S と S^2 で手を動かす

位置: 第6部 第59回(c) / 前提: 第59回 / 数学編: M3、M4 / この回でできるようになること: 株価の対数や二乗の動きを、伊藤の補題で自分で計算できる

0. 物語 ― 対数を取れば普通の微分でよいと考える

トレーディングデスクで、ジュニアのクオンツが株価モデルを組んでいます。年率リターン5%、ボラティリティ20%の株を1年間シミュレーションし、対数リターンの平均を出す仕事です。

「対数を取って微分すれば、株価の変化率をそのまま引っ張ってこられる」。大学の微分積分で習った通りに計算すると、対数リターンの平均は5%になるはずです。ところが5万本のシミュレーションを走らせると、平均はおよそ3%にしかなりません。2%も足りないのです。

隣のシニアクオンツが画面を覗き込んで、すぐに原因を指摘します。「株価にはランダムな揺れが入っている。揺れがある量の対数を取ると、普通の微分にはない追加の項が出る。その項がちょうどボラティリティの二乗の半分、つまり2%分だけドリフトを引き下げるんだ」。

追加の項は、ランダムな揺れの二乗が時間に比例して残ることから来ます。通常の微分では二次の項は無視できるほど小さいのですが、ブラウン運動を含む量では無視できません。対数関数は上に凸なので、揺れがあると平均が下がる方向に補正がかかります。これがドリフトから引かれる2%の正体です。

ボラティリティが20%なら2%のずれで済みますが、もし40%あれば引かれる量は8%になり、5%のリターンを上回ります。対数リターンの平均が負になるのです。追加の項を忘れると、ドリフトの大きさどころか符号すら間違えることになります。

この追加の項を正しく扱う道具が、前回導いた伊藤の補題です。今回は対数、二乗、積という3つの関数に補題を当てはめ、それぞれの追加項がどう効くかを手を動かして確認します。

1. 動機 ― 公式は使えて初めて意味がある

この回を読み終えると、株価の対数や二乗の動きを、伊藤の補題で自分で計算できます。

公式を導けることと使えることは別です。今回は、3つの具体的な関数に補題を当てはめ、結果を自分で再現できるようにします。

選ぶ関数は 対数、二乗、積 です。この3つは以降の回で繰り返し使う基本部品です。それぞれで「追加項を忘れるとどうなるか」を数値で確認し、通常の微分との違いを体に染み込ませます。

この記事で証明すること

• THM-ITO3-1 幾何ブラウン運動の対数を取ると、ドリフトから ${\sigma }^2/2$ を引いた定数ドリフトのブラウン運動になります。
• THM-ITO3-2 ブラウン運動の二乗に伊藤の補題を適用すると $d(W_t^2)=2W_{t}d{W}_t+dt$ が得られ、両辺の期待値が一致します。
• THM-ITO3-3 2つの伊藤過程の積の微分には、通常の積の微分に加えて、拡散項の積による交差項が現れます。

2. 設定と仮定 ― 適用する関数を3つ選ぶ

第59回(b)の伊藤の補題をそのまま使います。適用条件を毎回確認します。

伊藤の補題（1次元）: $X_t$ が $d{X}_t=a_{t}dt+b_{t}d{W}_t$ を満たし、$f(t,x)$ が $C^{1,2}$ 級（$t$ について1回、$x$ について2回連続微分可能）であるとき

$$\begin{array}{rl}df(t,X_t)& =f_{t}dt+f_{x}d{X}_t+\frac{1}{2}{f}_{xx}(d{X}_t{)}^2\\ & =\left(f_t+a_t{f}_x+\frac{1}{2}{b}_t^2{f}_{xx}\right)dt+b_t{f}_{x}d{W}_t.\end{array}$$

ここで $(d{W}_t{)}^2=dt$、$(dt{)}^2=0$、$dtd{W}_t=0$ の規則を使っています。通常の微分と違うのは $\frac{1}{2}{b}_t^2{f}_{xx}$ の項です。これが「追加項」です。

適用する3つの関数は

1. $f(x)=\log x$（対数）— 幾何ブラウン運動に適用
2. $f(x)=x^2$（二乗）— ブラウン運動に適用
3. $f(x,y)=xy$（積）— 2つの伊藤過程に適用

いずれも必要な回数の微分が存在するので、$C^{1,2}$ の条件を満たします。

数値実験では乱数のシードを42に固定し、50000本の経路で検証します。

この節のまとめ: 伊藤の補題の追加項は $\frac{1}{2}{b}_t^2{f}_{xx}$ です。3つの関数でこの項がどう効くかを順に見ます。

3. 主張 ― 対数、二乗、積の3つの形

定理 THM-ITO3-1（対数への適用） 幾何ブラウン運動 $d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$ に対し

$$d(\log S_t)=\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)dt+\sigma d{W}_t$$

が成り立つ。すなわち $\log S_t$ は定数ドリフト $\mu -{\sigma }^2/2$ と定数拡散 $\sigma$ を持つブラウン運動である。

定理 THM-ITO3-2（二乗への適用） 標準ブラウン運動 $W_t$ に対し

$$d(W_t^2)=2W_{t}d{W}_t+dt$$

が成り立つ。積分して期待値を取ると $\mathbb{E}[W_T^2]=T$ が得られる。

定理 THM-ITO3-3（積の公式） 2つの伊藤過程 $d{X}_t=a_{t}dt+b_{t}d{W}_t^{(1)}$、$d{Y}_t=c_{t}dt+d_{t}d{W}_t^{(2)}$ の積について

$$d(X_t{Y}_t)=Y_{t}d{X}_t+X_{t}d{Y}_t+\rho b_t{d}_{t}dt$$

が成り立つ。ここで $\rho =\mathrm{Corr}(d{W}_t^{(1)},d{W}_t^{(2)})$ である。第3項が交差項で、通常の積の微分にはない。

この節のまとめ: 対数では $-{\sigma }^2/2$ のドリフト修正、二乗では $+dt$ の追加項、積では $+\rho b_t{d}_{t}dt$ の交差項が現れます。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― それぞれ微分を計算して当てはめる

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第3回「偏微分、全微分、多変数のテイラー展開」、数学編 第4回「連鎖律を徹底的に」へ。

THM-ITO3-1 の証明

$f(x)=\log x$ とします。微分を計算します。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x},f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}.$$

$\log x$ は $x>0$ で $C^{\infty }$ 級なので、$C^{1,2}$ の条件を満たします。$S_t>0$ は幾何ブラウン運動の性質から保証されます。

幾何ブラウン運動では $a_t=\mu S_t$、$b_t=\sigma S_t$ です。伊藤の補題に代入します。$f$ は $t$ に陽に依存しないので $f_t=0$ です。

$$\begin{array}{rl}d(\log S_t)& =f^{\prime }(S_t)d{S}_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(S_t)(d{S}_t{)}^2\\ & =\frac{1}{S_t}d{S}_t+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{S_t^2}\right)(\sigma S_t{)}^{2}dt.\end{array}$$

第1項に $d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$ を代入します。

$$\frac{1}{S_t}d{S}_t=\mu dt+\sigma d{W}_t.$$

第2項（追加項）を計算します。$(d{S}_t{)}^2=(\sigma S_t{)}^2(d{W}_t{)}^2={\sigma }^2{S}_t^{2}dt$ なので

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{S_t^2}\right){\sigma }^2{S}_t^{2}dt=-\frac{{\sigma }^2}{2}dt.$$

合わせると

$$d(\log S_t)=\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)dt+\sigma d{W}_t.$$

これを $0$ から $T$ まで積分すると

$$\log S_T-\log S_0=\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T+\sigma W_T.$$

右辺は正規分布 $N\left(\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T,{\sigma }^{2}T\right)$ に従います。 ∎

なぜ追加項が現れるのか。 通常の微分なら $d(\log S)=dS/S$ で終わりです。しかし $S_t$ はブラウン運動を含むので、二次の項 $(dS{)}^2$ が $dt$ の大きさで残ります。$f^{\prime \prime }<0$（対数は凹関数）なので追加項は負になり、ドリフトを引き下げます。

THM-ITO3-2 の証明

$f(x)=x^2$ とします。$f^{\prime }(x)=2x$、$f^{\prime \prime }(x)=2$ です。$x^2$ は $C^{\infty }$ 級なので条件を満たします。

$X_t=W_t$ は $d{W}_t=0\cdot dt+1\cdot d{W}_t$（ドリフトなし、拡散係数1）です。

$$\begin{array}{rl}d(W_t^2)& =f^{\prime }(W_t)d{W}_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(W_t)(d{W}_t{)}^2\\ & =2W_{t}d{W}_t+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot dt\\ & =2W_{t}d{W}_t+dt.\end{array}$$

通常の微分なら $d(W^2)=2WdW$ ですが、追加項 $+dt$ が加わります。$f^{\prime \prime }=2>0$ なので追加項は正です。

$0$ から $T$ まで積分すると

$$W_T^2=2{\int }_0^T{W}_{t}d{W}_t+T.\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

両辺の期待値を取ります。伊藤積分 ${\int }_0^T{W}_{t}d{W}_t$ はマルチンゲールなので期待値は0です。したがって

$$\mathbb{E}[W_T^2]=0+T=T.\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

これはブラウン運動の分散が $T$ であるという既知の結果を、伊藤の補題から再現したものです。 ∎

注意。 (4.1) は二次変分 $[W{]}_T=T$ と同じ内容を別の角度から述べています。$W_T^2-T=2{\int }_0^T{W}_{t}d{W}_t$ はマルチンゲールです。

THM-ITO3-3 の証明

2次元の伊藤の補題を $f(x,y)=xy$ に適用します。$f_x=y$、$f_y=x$、$f_{xx}=0$、$f_{yy}=0$、$f_{xy}=1$ です。$xy$ は $C^{\infty }$ 級なので条件を満たします。

2次元の伊藤の補題（交差項を含む形）は

$$\begin{array}{rl}df& =f_{x}dX+f_{y}dY\\ & +\frac{1}{2}{f}_{xx}(dX{)}^2+f_{xy}dXdY+\frac{1}{2}{f}_{yy}(dY{)}^2.\end{array}$$

$f_{xx}=f_{yy}=0$ なので

$$d(X_t{Y}_t)=Y_{t}d{X}_t+X_{t}d{Y}_t+d{X}_{t}d{Y}_t.$$

交差項 $d{X}_{t}d{Y}_t$ を計算します。$d{X}_t=a_{t}dt+b_{t}d{W}_t^{(1)}$、$d{Y}_t=c_{t}dt+d_{t}d{W}_t^{(2)}$ に対し、$dt$ の大きさで残る項だけを拾います。

$$d{X}_{t}d{Y}_t=b_t{d}_{t}d{W}_t^{(1)}d{W}_t^{(2)}=\rho b_t{d}_{t}dt.$$

ここで $d{W}_t^{(1)}d{W}_t^{(2)}=\rho dt$ を使いました。$\rho$ は2つのブラウン運動の相関係数です。

まとめると

$$d(X_t{Y}_t)=Y_{t}d{X}_t+X_{t}d{Y}_t+\rho b_t{d}_{t}dt.$$

通常の積の微分 $d(XY)=YdX+XdY$ に、交差項 $\rho b_t{d}_{t}dt$ が加わります。 ∎

交差項の意味。 2つの過程が正に相関していれば（$\rho >0$）、同時に上がる（下がる）傾向があるので、積は通常の微分が予測するよりも速く増えます。その分が交差項です。

特に $X_t=Y_t=W_t$（同じブラウン運動、$\rho =1$）の場合、$d(W_t\cdot W_t)=2W_{t}d{W}_t+dt$ となり、THM-ITO3-2 と一致します。

5. 反例 ― 追加項を忘れるとドリフトがずれる

CEX-ITO3-1: 対数のドリフトずれ

$\mu =0.05$、$\sigma =0.20$ の幾何ブラウン運動で $\log (S_T/S_0)$ の平均を計算します。

• 正しいドリフト（伊藤の補題）: $\mu -{\sigma }^2/2=0.05-0.02=0.03$
• 誤ったドリフト（追加項を忘れた場合）: $\mu =0.05$

シミュレーション（50000経路）の結果、$\log (S_T/S_0)$ の平均は $0.0289$ で、正しい理論値 $0.03$ に近く、誤った値 $0.05$ からは明確に離れています。ずれは ${\sigma }^2/2=0.02$ です。

$\sigma =0.40$ なら ${\sigma }^2/2=0.08$ となり、$\mu =0.05$ を超えてドリフトが負になります。追加項を無視するとドリフトの符号すら誤ります。

CEX-ITO3-2: 積の交差項を落とす

相関 $\rho =0.5$ の2つの標準ブラウン運動 $W_t^{(1)},W_t^{(2)}$ の積について

$$\mathbb{E}[W_T^{(1)}{W}_T^{(2)}]=\rho T=\mathrm{0.5.}$$

交差項を落として「通常の積の微分」で計算すると、$d(W^{(1)}{W}^{(2)})=W^{(2)}d{W}^{(1)}+W^{(1)}d{W}^{(2)}$ となり、期待値を取ると $0$ になります。

シミュレーションの結果、$\mathbb{E}[W_T^{(1)}{W}_T^{(2)}]=0.4941$ で、理論値 $0.5$ に近く、交差項を落とした $0$ からは大きく離れています。交差項の数値的な寄与は $0.4999$ で、ほぼ $\rho T=0.5$ に一致しています。

CEX-ITO3-3: 適用条件を満たさない関数

$f(x)=|x|$ は $x=0$ で微分不可能なので、$C^{1,2}$ の条件を満たしません。

機械的に $f^{\prime \prime }(x)=0$（$x\ne 0$）と当てはめると追加項が消え、$d|W_t|=\mathrm{sign}(W_t)d{W}_t$ となります。しかしこれは正しくありません。正しくは田中の公式

$$|W_T|={\int }_0^T\mathrm{sign}(W_t)d{W}_t+L_T$$

にローカルタイム $L_T$ が現れます。シミュレーションで $\mathbb{E}[|W_T|]$ を計算すると $0.7993$ で、理論値 $\sqrt{2/\pi }=0.7979$ に近い値を示します。機械的適用では $L_T$ が欠落するため、$|W_t|$ の挙動を正しく捕らえることができません。

この節のまとめ: 追加項を忘れるとドリフトが ${\sigma }^2/2$ ずれ、交差項を落とすと期待値が合わなくなり、適用条件を確認しないと結果自体が誤ります。

6. 数値例 ― シミュレーションで両辺を突き合わせる

全ての数値はシード42、50000経路、10000ステップのモンテカルロシミュレーションで計算しています。

対数の検証: $\log (S_T/S_0)$ の統計量

	理論値	シミュレーション
平均	$0.0300$	$0.0289$
分散	$0.0400$	$0.0401$

理論値 $(\mu -{\sigma }^2/2)T=0.03$ と ${\sigma }^{2}T=0.04$ に近い値が得られています。

二乗の検証: $W_T^2$ の期待値

	理論値	シミュレーション
$\mathbb{E}[W_T^2]$	$1.0000$	$1.0014$
$\mathbb{E}\left[\int WdW\right]$	$0$	$0.0006$

(4.1) の関係 $W_T^2=2\int WdW+T$ の誤差（$|$左辺$-$右辺$|$ の平均）は $0.0114$ で、十分に小さい値です。

積の検証: $\mathbb{E}[W_T^{(1)}{W}_T^{(2)}]$（$\rho =0.5$）

	理論値	シミュレーション
交差項あり	$0.5000$	$0.4941$
交差項なし	$0$	―

交差項を落とすと理論値が $0$ になり、シミュレーション結果と合致しません。

この節のまとめ: 3つの適用全てで、伊藤の補題の結果がシミュレーションと整合し、追加項を落とした場合には合わなくなることを確認しました。

7. 次回へ ― なぜ指数の肩に負の項が出るのか

THM-ITO3-1 で $\log S_T=\log S_0+(\mu -{\sigma }^2/2)T+\sigma W_T$ を得ました。これを指数に戻すと

$$S_T=S_0\exp \left(\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T+\sigma W_T\right).$$

指数の肩に $-{\sigma }^2/2$ という負の項が現れます。次回（第60回）では、この式を幾何ブラウン運動の解として正式に導き、$-{\sigma }^2/2$ がどこから来るのかを改めて見ます。

次のマイルストーンまであと 18 本です。

よくある質問

なぜ対数を取ることが多いのですか

ドリフトと拡散が定数になり、扱いやすくなるからです。分布も正規分布になります。

追加項はいつも半分ですか

二階微分に $1/2$ が掛かる形です。関数によって値は変わります。

練習はどのくらい必要ですか

この3つを自分で導ければ十分です。以降の回はこの組み合わせで進みます。

参考文献

1. Øksendal B.、Stochastic Differential Equations、第6版、Springer、2003年
2. Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

---

数値例は compute.py によるモンテカルロシミュレーション（シード42）で検算済み。