第60回 幾何ブラウン運動 ― なぜ指数の肩にマイナス2分の1が出るのか

位置: 第6部 第60回 / 前提: 第21回、第59回 / 数学編: M4 / この回でできるようになること: 幾何ブラウン運動の株価の期待値と中央値を計算し、長期で両者が離れていく理由を説明できる

0. 物語 ― 長く持てば必ず増えるのか

毎年平均5%ずつ増えると聞けば、10年も持てば大きく殖えると期待するのが普通です。100万円を預けて、10年後には165万円になる計算です。

ところが、値動きにばらつきがある世界では、話が変わります。毎日の値上がり・値下がりの幅が大きいとしましょう。良い年には倍近く跳ね上がり、悪い年には半分近くまで沈みます。それでも「平均すると年5%」です。

この条件で1万人が同時に同じ投資を始めたとします。10年後に全員の残高を並べると、驚くべきことに約48%の人が元本割れしています。半分近くが損をしているのに、1万人の平均残高は164万円と、理論上の期待値にしっかり近い値を示しています。

からくりは、残高の分布が極端に右に偏っていることです。残高を小さい順に並べてちょうど真ん中に来る人でも約104万円で、元本をわずかに上回る程度です。平均の164万円には遠く及ばず、上位4分の1に入る人でようやく約195万円です。一方で、ごく一部の幸運な人が飛び抜けた金額を手にしています。一番大きな残高は4790万円を超えます。この少数の勝者が全体の平均を大きく押し上げているのです。

1万人の真ん中、つまり5000番目の人の残高は約104万円です。「平均では165万円」と「真ん中の人は104万円」の間には60万円もの開きがあります。値動きのばらつきが大きいほど、この開きは広がります。

この回で明らかにするのは、株価を表す数式の中に、この「平均と真ん中のずれ」を正確に記述する補正の項が自然に現れること、そしてその項を落とすと計算が合わなくなることです。

1. 動機 ― 株価の標準的なモデルを作る

この回を読み終えると、幾何ブラウン運動の株価の期待値と中央値を計算し、長期で両者が離れていく理由を説明できます。

株価は負にならない。しかも変動の大きさは、株価そのものに比例します。100 の株が 1 日で 1 動くなら、10000 の株は 100 動きます。この「比例的な変動」を数学で表す方法を見ます。

答えは幾何ブラウン運動です。ブラウン運動を指数の肩に乗せると、この 2 つの性質が同時に得られます。ところが、ただ乗せるだけでは式が狂います。指数の肩に $-{\sigma }^2/2$ という補正項が現れます。「なぜ引くのか」が今回の主題です。

第59回で伊藤の補題を導きました。今回はそれを $\ln S_t$ に適用するだけです。新しい道具は要りません。

この記事で証明すること

• THM-GBM-1 ドリフト率 $\mu$ と拡散率 $\sigma$ が一定のとき、解は $S_t=S_0\exp ((\mu -{\sigma }^2/2)t+\sigma W_t)$ です。指数の肩にドリフトから ${\sigma }^2/2$ を引いた項が現れます。
• THM-GBM-2 解の期待値は $\mathbb{E}[S_t]=S_0{e}^{\mu t}$ であり、補正項は期待値には現れません。
• THM-GBM-3 中央値は $S_0\exp ((\mu -{\sigma }^2/2)t)$ であり、期待値より小さくなります。この差が補正項の正体です。

2. 設定と仮定 ― 比例的な変化を仮定する

次の仮定を置きます。

• ドリフト率とボラティリティは定数: $\mu$ と $\sigma >0$ はいずれも定数です。
• 初期値は正: $S_0>0$。
• 配当と取引コストは無い: 保有中の収入やコストはゼロです。
• 数値実験では乱数のシードを固定する: 再現性のため、シード $42$ を使います。

原資産の瞬間的な変動を比例的に書くと、次の確率微分方程式（SDE）になります。

$$\frac{d{S}_t}{S_t}=\mu dt+\sigma d{W}_t\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

$\mu dt$ はトレンドの方向を表すドリフト項、$\sigma d{W}_t$ はランダムな揺らぎを表す拡散項です。左辺が $d{S}_t$ ではなく $d{S}_t/S_t$（収益率）になっている点が重要です。変動の絶対量ではなく、比率が一定の分散を持つことを仮定しています。

この SDE の解を陽に求めることが、この記事の目標です。

3. 主張 ― 解の肩に補正項が現れる

定理 THM-GBM-1（解の形） SDE (2.1) の解は

$$S_t=S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

である。

$\mu =0.05$, $\sigma =0.3$ のとき、指数の肩の確定的な部分は $\mu -{\sigma }^2/2=0.05-0.045=0.005$ です。ドリフト $0.05$ がそのまま残るのではなく、$0.045$ だけ差し引かれます。

定理 THM-GBM-2（期待値） $S_t$ の期待値は

$$\mathbb{E}[S_t]=S_0{e}^{\mu t}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

である。補正項 $-{\sigma }^2/2$ は期待値には現れない。

定理 THM-GBM-3（中央値との差） $S_t$ の中央値は

$$\mathrm{med}(S_t)=S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\left)t\right)\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

であり、$\sigma >0$ である限り $\mathrm{med}(S_t)<\mathbb{E}[S_t]$ である。

$T=10$ のとき、$\mathbb{E}[S_{10}]=164.8721$ ですが、中央値は $105.1271$ にとどまります。差は $59.7450$ です。期待値は一部の大きな値に引き上げられており、「典型的な」結果は中央値のほうが正確に表しています。

この 3 つの定理をまとめると、補正項の役割が見えます。解の肩には $\mu -{\sigma }^2/2$ が現れるが、期待値を取ると ${\sigma }^2/2$ が復活して $\mu$ に戻る。中央値には復活が起きず、$\sigma$ が大きいほど期待値から離れていく。これが「$-{\sigma }^2/2$」の正体です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 対数に伊藤の補題を当てる

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第4回「連鎖律を徹底的に」へ。

THM-GBM-1 の証明

解の形を求めるために、$Y_t=\ln S_t$ とおきます。$S_t>0$ が保証される形を探しているので、対数をとって指数に戻す戦略が自然です。

$f(x)=\ln x$ とすると、$f^{\prime }(x)=1/x$、$f^{\prime \prime }(x)=-1/x^2$ です。伊藤の補題（第59回(b) THM-ITO2-1）を $f(S_t)$ に適用します。

$$\begin{array}{rl}d{Y}_t& =d(\ln S_t)\\ & =f^{\prime }(S_t)d{S}_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(S_t)(d{S}_t{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

通常の微積分なら第2項はありません。伊藤の補題が通常の連鎖律と異なるのは、$W_t$ の二次変分が $dt$ のオーダーで残るからです。この第2項がまさに補正項 $-{\sigma }^2/2$ の起源です。

各項を計算します。SDE (2.1) を $d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$ と書き直しておきます。

第1項: $f^{\prime }(S_t)=1/S_t$ を掛けます。

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{S_t}d{S}_t& =\frac{1}{S_t}(\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t)\\ & =\mu dt+\sigma d{W}_t\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

$S_t$ が分母と分子で消えるのは、もともと SDE が比例的な形で書かれていたからです。

第2項: $(d{S}_t{)}^2$ を展開します。

$$(d{S}_t{)}^2=(\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t{)}^2$$

伊藤の計算規則（第59回）によれば、$dt\cdot dt=0$、$dt\cdot d{W}_t=0$、$d{W}_t\cdot d{W}_t=dt$ です。したがって

$$(d{S}_t{)}^2={\sigma }^2{S}_t^{2}dt\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

$dt$ や $dt\cdot d{W}_t$ の項が消えるのは、これらが $dt$ より高位の無限小だからです。$d{W}_t\cdot d{W}_t=dt$ だけが生き残ります。

(4.3) に $f^{\prime \prime }(S_t)=-1/S_t^2$ を掛けて $1/2$ を付けると

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(S_t)(d{S}_t{)}^2& =\frac{1}{2}(-\frac{1}{S_t^2}){\sigma }^2{S}_t^{2}dt\\ & =-\frac{{\sigma }^2}{2}dt\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

$S_t^2$ がふたたび消え、定数 $-{\sigma }^2/2$ だけが残ります。

(4.2) と (4.4) を (4.1) に代入すると

$$d{Y}_t=(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})dt+\sigma d{W}_t\text{\hspace{1em}(4.5)}$$(4.5)

$$Y_t-Y_0=(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t$$

$$\ln S_t=\ln S_0+(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

両辺の指数を取ると

$$S_t=S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t)$$

これが (3.1) です。補正項 $-{\sigma }^2/2$ は、伊藤の補題の第2項 (4.4) から来ました。通常の連鎖律には第2項がないので、通常の微積分に慣れた目にはこの項が「余計」に見えます。しかしブラウン運動のもとでは、二次変分が消えないために、この項は数学的に不可避です。 ∎

THM-GBM-2 の証明

(3.1) の期待値を求めます。指数の中身を整理します。

$$S_t=S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\left)t\right)\cdot \exp (\sigma W_t)\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

前半は定数、後半は確率変数です。$W_t\sim N(0,t)$ なので $\sigma W_t\sim N(0,{\sigma }^{2}t)$ です。

正規分布の指数のモーメント母関数を使います。$Z\sim N(0,{\sigma }^{2}t)$ のとき

$$\mathbb{E}[e^Z]=e^{\mathbb{E}[Z]+\frac{1}{2}\mathrm{Var}(Z)}=e^{0+\frac{1}{2}{\sigma }^{2}t}=e^{{\sigma }^{2}t/2}\text{\hspace{1em}(4.8)}$$(4.8)

(4.7) の期待値を取ると、定数部分は外に出せます。

$$\mathbb{E}[S_t]=S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\left)t\right)\cdot \mathbb{E}\left[e^{\sigma W_t}\right]$$(4.8)

$$=S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\left)t\right)\cdot e^{{\sigma }^{2}t/2}$$

指数の肩を整理すると、$(\mu -{\sigma }^2/2)t+{\sigma }^{2}t/2=\mu t$ ですから

$$\mathbb{E}[S_t]=S_0{e}^{\mu t}$$

これが (3.2) です。$-{\sigma }^2/2$ と $+{\sigma }^2/2$ が完全に打ち消し合い、期待値にはドリフト $\mu$ だけが残ります。 ∎

THM-GBM-3 の証明

中央値を求めます。$S_t$ は $W_t$ の単調増加関数（指数関数）です。単調関数の中央値は、引数の中央値を代入すれば得られます。

$W_t\sim N(0,t)$ の中央値は $0$（正規分布は左右対称）です。したがって

$$\begin{array}{rl}\mathrm{med}(S_t)& =S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma \cdot 0)\\ & =S_0\exp \left(\right(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\left)t\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

これが (3.3) です。

期待値との差を示します。(3.2) と (3.3) の比を取ると

$$\frac{\mathbb{E}[S_t]}{\mathrm{med}(S_t)}=\frac{S_0{e}^{\mu t}}{S_0\exp ((\mu -{\sigma }^2/2)t)}=e^{{\sigma }^{2}t/2}$$

$\sigma >0$ かつ $t>0$ のとき ${\sigma }^{2}t/2>0$ なので $e^{{\sigma }^{2}t/2}>1$ です。したがって $\mathbb{E}[S_t]>\mathrm{med}(S_t)$ です。

中央値は「半分のパスがこれより上、半分がこれより下」の水準です。期待値がこれより上にあるのは、対数正規分布が右に長い裾を持ち、一部の大きな値が平均を押し上げるからです。$\sigma$ が大きいほど裾が重くなり、期待値と中央値の差が広がります。 ∎

5. 反例 ― 補正項を落とすと平均が合わない

CEX-GBM-1: 補正項を落とした式でシミュレーションする

「$-{\sigma }^2/2$ は計算間違いではないか」という疑いを数値で検証します。

補正項を落とした「誤った式」

$$S_t^{\text{wrong}}=S_0\exp (\mu t+\sigma W_t)$$

でシミュレーションすると、平均はどうなるでしょうか。$\mu =0.05$, $\sigma =0.3$, $T=10$, $10000$ 本のパスで計算します。

	理論値	シミュレーション
正しい式の平均	$164.8721$	$164.3752$
誤った式の平均	$258.5710$	$257.7916$

誤った式のシミュレーション平均は $257.7916$ で、正しい理論期待値 $164.8721$ から $92.9194$ もずれています。補正項を落とすと、指数のモーメント母関数により期待値が $S_0{e}^{\mu T+{\sigma }^{2}T/2}=258.5710$ に膨れ上がります。$-{\sigma }^2/2$ は計算間違いではなく、期待値を $e^{\mu T}$ に一致させるために不可欠な補正です。

CEX-GBM-2: 期待値が増えるのに中央値が減る

「期待値が上がるなら中央値も同じだけ上がるはずだ」という理解を壊します。

$\mu =0.04$, $\sigma =0.3$ とします。${\sigma }^2/2=0.045$ なので $\mu <{\sigma }^2/2$ です。

• 期待値: $\mathbb{E}[S_{10}]=100\times e^{0.04\times 10}=149.1825>100$
• 中央値: $\mathrm{med}(S_{10})=100\times e^{(0.04-0.045)\times 10}=95.1229<100$

ドリフトが正なので期待値は増えています。しかし中央値は初期値 $100$ を割り込んでいます。

時点ごとの中央値の推移を見ると、減り続けていることがわかります。

$t$	1	2	3	5	7	10
中央値	$99.5012$	$99.0050$	$98.5112$	$97.5310$	$96.5605$	$95.1229$

期待値が増えても、半分以上のパスは初期値を下回ります。「平均的に得をする」ことと「典型的に得をする」ことは、対数正規分布のもとでは別物です。

CEX-GBM-3: 長期保有すれば必ず増えるか

「ドリフトが正なら長期保有すれば必ず増える」という期待を検証します。$\mu =0.05$, $\sigma =0.3$, $T=10$ で $10000$ 本のパスの最終価格を見ます。

統計量	値
10 パーセンタイル	$30.2296$
25 パーセンタイル	$55.2930$
中央値（50）	$103.8221$
平均	$164.3752$
75 パーセンタイル	$194.7636$
90 パーセンタイル	$354.0039$
99 パーセンタイル	$982.5165$
最大値	$4790.5582$
初期値割れの割合	$48.31\%$

10 年後、ほぼ半数（$48.31\%$）のパスが初期値 $100$ を下回っています。それでも平均は $164.3752$ と理論値 $164.8721$ に近い値を示しています。これは、最大値 $4790.5582$ のような極端に大きな値が平均を押し上げているためです。

99 パーセンタイルは $982.5165$ であり、上位 $1\%$ が平均を大きく引っ張っていることがわかります。長期保有は「平均的には得」ですが、「典型的には微増か元本割れ」です。

反例の要点をまとめます。補正項は計算間違いではなく、期待値を正しく保つ役割を果たしています。期待値と中央値の乖離は、ボラティリティが大きく時間が長いほど顕著になります。

6. 数値例 ― 期待値と中央値を並べる

$\mu =0.05$, $\sigma =0.3$, $S_0=100$, $T=10$ での計算結果をまとめます。

理論値:

$$\mathbb{E}[S_{10}]=100\times e^{0.05\times 10}=164.8721$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{med}(S_{10})& =100\times e^{(0.05-0.045)\times 10}\\ & =100\times e^{0.05}=105.1271\end{array}$$

シミュレーション（$10000$ 本、シード $42$）:

	理論値	シミュレーション
期待値	$164.8721$	$164.3752$
中央値	$105.1271$	$103.8221$

シミュレーションの平均と中央値は、いずれも理論値に近い値を取っています。

指数の肩の $\mu -{\sigma }^2/2=0.005$ は、中央値の年率成長率そのものです。10 年で $e^{0.005\times 10}=e^{0.05}\approx 1.0513$ 倍。一方、期待値の成長は $e^{0.05\times 10}=e^{0.5}\approx 1.6487$ 倍です。この差がボラティリティの「コスト」であり、補正項 $-{\sigma }^2/2$ の実体です。

7. 次回へ ― ドリフトと拡散が表すもの

今回、SDE $d{S}_t/S_t=\mu dt+\sigma d{W}_t$ を解いて、解の陽な形を得ました。補正項 $-{\sigma }^2/2$ は伊藤の補題の第2項から来るもので、期待値を正しく保つ役割を果たします。

次回（第61回）では、SDE のドリフト項と拡散項が何を表しているのかを改めて整理します。ドリフトは平均的な変化率を、拡散はその周りの揺らぎの大きさを記述します。SDE の「読み方」を身につけることで、さまざまなモデルを見通しよく理解できるようになります。

次のマイルストーンまであと 17 本です。

よくある質問

なぜマイナス2分の1が出るのですか

対数を取ったときに伊藤の補題の追加項が出るからです。指数に戻すと肩に残ります。

期待値が増えるのに中央値が減ることがありますか

あります。ボラティリティが大きいと起きます。平均は一部の大きな値に引っ張られます。

この補正はどこで効いてきますか

後の回で扱うオプション価格の式の中で、2つの量の差として現れます。

参考文献

1. Samuelson P. A.、Rational Theory of Warrant Pricing、Industrial Management Review、1965年
2. Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

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数値例は compute.py によるシミュレーション（シード42固定）で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。