第64回 ギルサノフの定理 ― 測度を取り替えるとドリフトが変わる

位置: 第6部 第64回 / 前提: 第26回、第46回、第60回 / 数学編: M23 / この回でできるようになること: 確率の測り方を取り替えるとドリフトは変わるがボラティリティは変わらないことを、数値で確かめることができる

0. 物語 ― 測度を変えてもボラティリティは変えられない

手元に100万円があって、年率10%で上がると信じている株を買ったとします。値動きの荒さ、つまり上下のブレ幅は年率20%です。さて、オプションの値段を付けるために、株の成長率を10%から5%に書き換える操作を考えます。離散モデルのときは、上がる確率と下がる確率を付け替えるだけで済みました。連続時間でも同じことがしたい。それがギルサノフの定理です。

ところが、成長率を書き換えるのと同じやり方で、ブレ幅も自由に変えられると思うと、間違いに陥ります。5万本の株価シミュレーションで検証してみると、成長率を10%から5%に変えた後でも、ブレ幅に対応する量（二次変分の平均）は0.04のまま変わりませんでした。成長率が5%のときも10%のときも、0.04です。理論値もやはり0.04です。

なぜブレ幅は動かないのでしょうか。ブレ幅は、株価の軌跡そのものから計算される量です。確率の割り当てを変えても、どの軌跡が起こりうるかは変わりません。起こりうる軌跡が同じなら、そこから読み取れるブレ幅も同じです。確率の付け替えで変えられるのは、軌跡ごとの「起こりやすさ」だけで、軌跡の形そのものではありません。

この性質があるからこそ、価格計算用の確率に乗り換えても、ヘッジに使うブレ幅の情報は失われないのです。

1. 動機 ― 現実の確率から価格用の確率へ移る

この回を読み終えると、確率の測り方を取り替えるとドリフトは変わるがボラティリティは変わらないことを、数値で確かめることができます。

株価が年率 $\mu =10\%$ で上がると投資家が思っているとします。しかしオプションの価格計算で使うのは $\mu$ ではなく、無リスク金利 $r=5\%$ に置き換えたドリフトです。離散モデルではリスク中立確率 $\mathbb{Q}$ を手で構成しました。連続時間では、ブラウン運動のドリフトを丸ごと入れ替える操作が必要になります。

この入れ替えを正当化するのがギルサノフの定理です。定理は「密度過程と呼ばれる指数マルチンゲールを使って測度を取り替えると、もとのブラウン運動にドリフトが足されたものが新しい測度のもとでブラウン運動になる」と主張します。しかもボラティリティ（拡散係数）は変わりません。変わるのはドリフトだけです。

今回は、この定理の主張を述べ、なぜ拡散係数が不変なのかを証明し、幾何ブラウン運動にギルサノフの定理を適用して連続時間のリスク中立測度を具体的に構成します。

この記事で証明すること

• THM-GI-1 指数マルチンゲールを密度として測度を取り替えると、もとのブラウン運動にドリフトを加えた過程が新しい測度のもとでブラウン運動になります。
• THM-GI-2 測度変換はドリフトだけを変え、拡散係数（ボラティリティ）を変えません。二次変分が測度によらないことがその理由です。
• THM-GI-3 幾何ブラウン運動に対し、ドリフトを無リスク金利 $r$ に一致させる測度変換が一意に定まります。これが連続時間のリスク中立測度です。

2. 設定と仮定 ― 同値な測度と密度過程

ギルサノフの定理を述べる前に、測度の取り替えに必要な道具を整理します。

• 同値な測度: 2つの確率測度 $\mathbb{P}$ と $\mathbb{Q}$ が同値であるとは、確率 $0$ の事象が一致すること、すなわち $\mathbb{P}(A)=0⟺\mathbb{Q}(A)=0$ が全ての事象 $A$ について成り立つことです。起こりうることの集合は変えず、確率の割り当てだけを変える操作を考えます。
• ラドン＝ニコディム密度: $\mathbb{Q}$ が $\mathbb{P}$ と同値であるとき、正の確率変数 $Z$ で

$$\mathbb{Q}(A)=\mathbb{E}[Z\cdot 1_A]$$

を満たすものが存在します。これを $Z=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ と書き、ラドン＝ニコディム密度と呼びます。

• 密度過程: フィルトレーション $({\mathcal{F}}_t)$ が与えられているとき、$Z_t=\mathbb{E}[Z\mid {\mathcal{F}}_t]$ を密度過程と呼びます。$Z_t$ は $\mathbb{P}$ のもとでマルチンゲールです。$Z_0=1$、$Z_T=Z$ です。
• 指数マルチンゲール: $\theta$ を定数として

$$Z_t=\exp \left(-\theta W_t-\frac{1}{2}{\theta }^{2}t\right)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

とおくと、$Z_t$ は $\mathbb{P}$ のもとでマルチンゲールになります。ここで $W_t$ は $\mathbb{P}$ のもとでの標準ブラウン運動です。

• ノビコフ条件: $\theta$ が定数のときは自動的に満たされます。$\theta$ が確率過程 ${\theta }_t$ に拡張されるときは、$\mathbb{E}\left[\exp \left(\frac{1}{2}{\int }_0^T{\theta }_t^{2}dt\right)\right]<\infty$ が成り立てば $Z_t$ がマルチンゲールであることが保証されます。この条件が満たされているものとして議論を進めます。
• 数値実験では乱数のシードを固定します（シード $42$）。

測度の取り替えに必要なのは「同値性」と「密度のマルチンゲール性」の2つです。同値性は確率 $0$ の事象を変えないことを保証し、密度のマルチンゲール性は新しい測度が確率測度であること（全体の測度が $1$）を保証します。

3. 主張 ― ドリフトだけが変わる

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-GI-1（ギルサノフの定理） $W_t$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上の標準ブラウン運動、$\theta$ を定数とする。指数マルチンゲール $(2.1)$ を密度として測度 $\mathbb{Q}$ を

$$\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=Z_T=\exp \left(-\theta W_T-\frac{1}{2}{\theta }^{2}T\right)$$

で定めると、$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{P}$ と同値であり、

$$W_t^{\mathbb{Q}}:=W_t+\theta t\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

は $\mathbb{Q}$ のもとで標準ブラウン運動である。

定理 THM-GI-2（ボラティリティは変わらない） 確率過程 $X_t$ の二次変分 $[X{]}_t$ は $\mathbb{P}$ のもとでも $\mathbb{Q}$ のもとでも同じ値を取る。とくに、拡散係数 $\sigma$ をもつ過程の二次変分は ${\sigma }^{2}t$ であり、測度変換で変わらない。

定理 THM-GI-3（リスク中立測度の構成） 幾何ブラウン運動

$$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$$

に対し、$\theta =\frac{\mu -r}{\sigma }$ として測度 $\mathbb{Q}$ を定めると、

$$d{S}_t=r{S}_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t^{\mathbb{Q}}$$

が成り立つ。$\mathbb{Q}$ のもとで割引価格 $e^{-rt}{S}_t$ はマルチンゲールである。この $\mathbb{Q}$ は $\sigma >0$ のとき一意に定まる。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 指数マルチンゲールを密度に取る

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第23回「ラドン・ニコディム微分」へ。

THM-GI-1 の証明（要点）

ギルサノフの定理の完全な証明にはマルチンゲール理論の技術的な道具が必要です。ここでは証明の要点を述べます。

$W_t^{\mathbb{Q}}=W_t+\theta t$ が $\mathbb{Q}$ のもとで標準ブラウン運動であることを示すには、$\mathbb{Q}$ のもとで以下の3つを確認します。

第1段階: $W_0^{\mathbb{Q}}=0$ であること。

定義から $W_0^{\mathbb{Q}}=W_0+0=0$ です。

第2段階: 増分が正規分布に従うこと。

$\mathbb{Q}$ のもとでの期待値は、密度 $Z_T$ を使って $\mathbb{P}$ の期待値に翻訳できます。任意の ${\mathcal{F}}_s$-可測な有界関数 $f$ に対し

$$\begin{array}{rl}& {\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[f\cdot g(W_t^{\mathbb{Q}}-W_s^{\mathbb{Q}})]\\ & =\mathbb{E}\left[\frac{Z_T}{Z_s}\cdot Z_s\cdot f\cdot g(W_t-W_s+\theta (t-s))\right]\end{array}$$

の形に書き直します。$W_t-W_s$ は $\mathbb{P}$ のもとで $N(0,t-s)$ に従い ${\mathcal{F}}_s$ と独立ですから、密度 $Z_T/Z_s$ の構造を使って計算すると、$W_t^{\mathbb{Q}}-W_s^{\mathbb{Q}}$ の $\mathbb{Q}$ のもとでの条件付き分布が $N(0,t-s)$ になることが示せます。

ここで鍵となるのは、指数マルチンゲール $(2.1)$ が $Z_T/Z_s$ を $W_t-W_s$ の関数として分離できる構造を持っていることです。具体的には

$$\frac{Z_T}{Z_s}=\exp \left(-\theta (W_T-W_s)-\frac{1}{2}{\theta }^2(T-s)\right)$$

であり、さらに $W_T-W_t$ と $W_t-W_s$ が独立であることを使って積分を分離します。$e^{-\theta x}$ と $N(0,{\sigma }^2)$ の密度を掛けて積分すると平均が $\theta (t-s)$ だけずれ、このずれが $W_t^{\mathbb{Q}}$ の定義中の $+\theta t$ と相殺します。

第3段階: マルチンゲール性。

$\mathbb{Q}$ のもとでの条件付き期待値を $\mathbb{P}$ に翻訳する公式

$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[Y\mid {\mathcal{F}}_s]=\frac{1}{Z_s}\mathbb{E}[Z_T\cdot Y\mid {\mathcal{F}}_s]$$

を使います。$Y=W_t^{\mathbb{Q}}$ を代入し、$Z_T\cdot (W_t+\theta t)$ の条件付き期待値を $Z_s$ の外に出す計算をすると、${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[W_t^{\mathbb{Q}}\mid {\mathcal{F}}_s]=W_s^{\mathbb{Q}}$ が得られます。この計算でも指数マルチンゲールの乗法構造と、ブラウン運動の独立増分が本質的に使われます。

以上の3条件がレヴィの特徴づけ定理の条件を満たすので、$W_t^{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ のもとで標準ブラウン運動です。 ∎

THM-GI-2 の証明

二次変分が測度によらないことを示します。

$X_t$ を連続な確率過程とし、区間 $[0,t]$ の分割 $\Pi =\{0=t_0<t_1<\cdots <t_n=t\}$ に対し二次変分を

$$[X{]}_t=\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=0}^{n-1}(X_{t_{k+1}}-X_{t_k}{)}^2\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

で定義します。ここで $\Vert \Pi \Vert$ は分割の刻み幅の最大値です。

この定義には確率測度が一切入っていないことが鍵です。二次変分は標本路 $\omega$ を1つ固定したとき、その路の上で定まる量です。測度 $\mathbb{P}$ と $\mathbb{Q}$ が同値であれば、確率 $1$ の事象の集合は一致しますから、$\mathbb{P}$-a.s. で成り立つ極限と $\mathbb{Q}$-a.s. で成り立つ極限は同じです。

より具体的に確認します。ブラウン運動 $W_t$ の二次変分は $[W{]}_t=t$ です。ギルサノフの定理で測度を $\mathbb{Q}$ に変えると

$$W_t=W_t^{\mathbb{Q}}-\theta t$$

となります。$\theta t$ は滑らかな関数なので二次変分への寄与はゼロです。実際、$\theta t$ の二次変分は

$$\begin{array}{rl}& \sum _{k=0}^{n-1}(\theta t_{k+1}-\theta t_k{)}^2={\theta }^2\sum _{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k{)}^2\\ & \le {\theta }^2\Vert \Pi \Vert \sum _{k=0}^{n-1}(t_{k+1}-t_k)={\theta }^2\Vert \Pi \Vert \cdot t\to 0\end{array}$$

と評価できます。最初の不等式で各項 $(t_{k+1}-t_k)\le \Vert \Pi \Vert$ を使い、次に区間の長さの総和が $t$ であることを使いました。$(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}+\theta (t_{k+1}-t_k){)}^2$ を展開したときの交差項の和も、$|{\sum }_{k}2\theta (t_{k+1}-t_k)(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})|\le 2|\theta |t{\max }_k|W_{t_{k+1}}-W_{t_k}|$ と抑えられ、経路の連続性から $0$ に収束します。

したがって

$$[W^{\mathbb{Q}}{]}_t=[W+\theta \cdot {]}_t=[W{]}_t=t\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

が成り立ちます。$W_t^{\mathbb{Q}}$ に $\sigma$ を掛けた過程 $\sigma W_t^{\mathbb{Q}}$ の二次変分は ${\sigma }^{2}t$ です。

幾何ブラウン運動 $S_t$ に対して $\log S_t$ の二次変分を考えると

$$[\log S{]}_t={\sigma }^{2}t$$

であり、これは $\mathbb{P}$ でも $\mathbb{Q}$ でも同じです。ボラティリティ $\sigma$ は二次変分から読み取れる量なので、測度変換で変わりません。 ∎

THM-GI-3 の証明

幾何ブラウン運動

$$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

の $d{W}_t$ を書き換えます。$(3.1)$ より $W_t=W_t^{\mathbb{Q}}-\theta t$ なので $d{W}_t=d{W}_t^{\mathbb{Q}}-\theta dt$ です。$(4.3)$ に代入します。

$$\begin{array}{rl}d{S}_t& =\mu S_{t}dt+\sigma S_t(d{W}_t^{\mathbb{Q}}-\theta dt)\\ & =(\mu -\sigma \theta )S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t^{\mathbb{Q}}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

ここで $\theta =(\mu -r)/\sigma$ とおけば $\mu -\sigma \theta =\mu -(\mu -r)=r$ となるので

$$d{S}_t=r{S}_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t^{\mathbb{Q}}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

が得られます。ドリフトが $\mu$ から $r$ に変わり、拡散係数 $\sigma$ はそのまま残っています。THM-GI-2 で示した通り、二次変分が不変なので拡散係数は変わりようがありません。

割引価格がマルチンゲールであることを確認します。${\tilde{S}}_t=e^{-rt}{S}_t$ とおくと、伊藤の公式より

$$\begin{array}{rl}d{\tilde{S}}_t& =e^{-rt}(d{S}_t-r{S}_{t}dt)\\ & =e^{-rt}\sigma S_{t}d{W}_t^{\mathbb{Q}}=\sigma {\tilde{S}}_{t}d{W}_t^{\mathbb{Q}}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

となります。$(4.6)$ はドリフト項がゼロの確率微分方程式です。ドリフトがゼロなので ${\tilde{S}}_t$ は $\mathbb{Q}$ のもとで（局所）マルチンゲールです。$\sigma$ が定数のとき、${\tilde{S}}_t$ は幾何ブラウン運動の形で ${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[{\tilde{S}}_t^2]=S_0^2{e}^{{\sigma }^{2}t}$ です。したがって ${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}\left[{\int }_0^T{\sigma }^2{\tilde{S}}_t^{2}dt\right]<\infty$ となり、被積分関数が二乗可積分な伊藤積分として、${\tilde{S}}_t$ は真のマルチンゲールです。

一意性を示します。$\sigma >0$ のとき、$\theta =(\mu -r)/\sigma$ は一意に定まります。異なる ${\theta }^{\prime }$ を使うと、$(4.4)$ のドリフトが $\mu -\sigma {\theta }^{\prime }\ne r$ になり、割引価格にドリフトが残ってマルチンゲールにならないからです。

$\theta =(\mu -r)/\sigma$ を市場価格リスクと呼びます。これは現実のドリフト $\mu$ と無リスク金利 $r$ の差をボラティリティ $\sigma$ で割ったもので、測度変換に必要なドリフト調整の大きさを表しています。 ∎

5. 反例 ― ボラティリティは変えられない

CEX-GI-1: 測度を変えれば拡散係数も変えられるという誤解

「測度を取り替えればドリフトもボラティリティも自由に変えられる」と誤解されることがあります。しかし THM-GI-2 で証明した通り、二次変分は標本路から決まる量であり、測度の取り替えでは変わりません。

数値で確認します。$\mathbb{P}$（$\mu =0.10$）と $\mathbb{Q}$（ドリフト $r=0.05$）のもとで $50,000$ 本の標本路（$1,000$ 刻み）を生成し、$\log S$ の二次変分を計算しました。

理論値は ${\sigma }^{2}T=0.04$ です。

測度	二次変分の平均
$\mathbb{P}$	$0.039998$
$\mathbb{Q}$	$0.040008$

個別の標本路の値も見ておきます。

標本路	$\mathbb{P}$ での二次変分	$\mathbb{Q}$ での二次変分
1	$0.039113$	$0.040958$
2	$0.041320$	$0.039601$
3	$0.041392$	$0.041416$
4	$0.038097$	$0.042497$
5	$0.039830$	$0.039250$

個別の標本路は独立に生成しているため値は異なりますが、いずれも理論値 $0.04$ の近傍に集まっています。平均を取ると両方の測度で $0.04$ に収束します。ドリフトは $\mu =0.10$ と $r=0.05$ で大きく異なるのに、二次変分は同じです。拡散係数は測度によらない量だからです。

CEX-GI-2: 同値性の条件を破る

同値でない測度への変換は許されません。有限の例で確認します。

標本空間 $\Omega =\{a,b\}$ で、2つの測度を

$$\mathbb{P}(\{a\})=0.5,\mathbb{P}(\{b\})=0.5$$

$$\mathbb{Q}(\{a\})=1.0,\mathbb{Q}(\{b\})=0.0$$

と定めます。$\mathbb{P}(\{b\})=0.5>0$ ですが $\mathbb{Q}(\{b\})=0$ です。$\mathbb{P}$ のもとで起こりうる事象 $\{b\}$ が $\mathbb{Q}$ のもとで起こりえなくなっています。同値性の条件「確率 $0$ の事象が一致する」が破れています。

この場合、ラドン＝ニコディム密度 $Z=d\mathbb{Q}/d\mathbb{P}$ は $Z(a)=2$, $Z(b)=0$ になります。$Z(b)=0$ は $\mathbb{Q}$ のもとで事象 $\{b\}$ を消してしまうことを意味します。ギルサノフの定理は密度 $Z>0$（$\mathbb{P}$-a.s.）を要求するので、この変換には適用できません。

金融の文脈では、同値性は「起こりうるシナリオの集合を変えない」ことを意味します。現実にあり得る暴落シナリオをリスク中立測度で消してしまうと、そのシナリオに対するヘッジが不可能になります。

CEX-GI-3: 可積分条件の破れ

$\theta$ が定数であればノビコフ条件は自動的に満たされますが、$\theta$ が確率過程のとき条件が破れる例を示します。

$\theta (t)=1/(T-t)$ とおきます。$t\to T$ で $\theta (t)\to \infty$ です。ノビコフ条件の積分は

$${\int }_0^T\theta (t{)}^{2}dt={\int }_0^T\frac{1}{(T-t{)}^2}dt=\infty$$

と発散します。数値的には $1,000$ 分割で ${\int }_0^T\theta (t{)}^{2}dt\approx 1643.93$ となり、分割を細かくするほど値が大きくなります。

このとき指数マルチンゲール $Z_T=\exp \left(-{\int }_0^T\theta (t)d{W}_t-\frac{1}{2}{\int }_0^T\theta (t{)}^{2}dt\right)$ の $\mathbb{P}$ のもとでの期待値は $1$ になりません。数値実験で $\mathbb{E}[Z_T]\approx 0.0$ が得られます。$Z_T$ がマルチンゲールでないため、$Z_T$ を密度とする「測度」は全体の測度が $1$ にならず、確率測度として定義できません。変換そのものが成立しないのです。

可積分条件は「ドリフトの調整幅が大きすぎないこと」を保証する安全弁です。

6. 数値例 ― 2つの測度で標本路を比べる

パラメータ: $S_0=100$, $\mu =0.10$, $\sigma =0.20$, $r=0.05$, $T=1$, $\theta =0.25$。$50,000$ 本の標本路をシード $42$ で生成しました。

標本路の終値の比較

標本路	$\mathbb{P}$ での終値	$\mathbb{Q}$ での終値
1	$90.2374$	$101.4376$
2	$64.7471$	$79.0459$
3	$134.0637$	$107.6807$

$\mathbb{P}$ のもとではドリフトが $\mu =0.10$ と高いため、平均的に上方向に偏ります。$\mathbb{Q}$ のもとではドリフトが $r=0.05$ に下がるため、上方向への偏りが弱まります。ただし個別の標本路は乱数に依存するため、上下の大小関係は路ごとに異なります。

密度過程の期待値

$$Z_T=\exp \left(-\theta W_T-\frac{1}{2}{\theta }^{2}T\right)$$

の $\mathbb{P}$ のもとでの期待値を $50,000$ 本の標本路で計算すると $0.99888$ です。理論値は $1.0$ です。密度過程が正しいマルチンゲールであれば $\mathbb{E}[Z_T]=Z_0=1$ が成り立ちます。数値実験はこれを確認しています。

ドリフトの確認

$\mathbb{Q}$ のもとでの $S_T$ の期待値を、重点サンプリング（${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[S_T]=\mathbb{E}[Z_T{S}_T]$）で計算すると $105.1033$ です。理論値は $S_0{e}^{rT}=105.1271$ です。

$\mathbb{Q}$ のもとで独立に生成した標本路から $\log (S_T/S_0)$ の平均を取ると $0.031251$ です。理論値は $(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T=0.03$ です。

いずれも理論値に近い値が得られています。ドリフトが $\mu$ から $r$ に変わっていること、そしてボラティリティは $\sigma =0.20$（二次変分 ${\sigma }^{2}T=0.04$）のまま変わらないことが数値的に確認できました。

7. 次回へ ― なぜヘッジできるのか

ギルサノフの定理により、連続時間でリスク中立測度 $\mathbb{Q}$ を構成できました。$\mathbb{Q}$ のもとで割引価格がマルチンゲールになること、そしてボラティリティが変わらないことを示しました。

しかし、マルチンゲールであることと「ヘッジできること」の間にはまだ隙間があります。割引価格がマルチンゲールであれば、任意のペイオフを初期投資とヘッジ戦略で複製できるのか。次回 65 ではマルチンゲール表現定理を扱い、なぜヘッジできるのかの正体に迫ります。

次のマイルストーンまであと 13 本です。

よくある質問

測度を取り替えるとは何をしているのですか

同じ出来事に別の確率を割り当てています。起こりうることの集合は変えません。

なぜボラティリティは変わらないのですか

二次変分が標本路から決まる量で、確率の割り当てに依存しないからです。

現実の確率はどこへ行ったのですか

価格計算には使いません。損益の見通しを立てるときには現実の確率に戻ります。

参考文献

1. Girsanov I. V.、On Transforming a Certain Class of Stochastic Processes by Absolutely Continuous Substitution of Measures、Theory of Probability and Its Applications、1960年、DOI 10.1137/1105027
2. Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

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数値例は compute.py により乱数シード固定のモンテカルロで検算済み。