第24回 情報は時間とともに増える ― フィルトレーションと適合過程

位置: 第3部 第24回 / 前提: 第17回、第23回 / 数学編: M13 / この回でできるようになること: ある売買ルールが、その時点までの情報だけで実行できるルールかどうかを判定できる

0. 物語 ― 未来の値を覗き見る売買ルール

天気予報を思い出してください。傘を持って出るかどうかは、朝の時点で手に入る情報で決めるしかありません。夕方の天気を「覗き見」してから朝の行動を決められるなら、誰も濡れません。当たり前ですが、時間はそういう仕組みにはなっていません。

株の売買も同じです。いまの株価が100だとします。次の時点には120に上がるか、90に下がるか、どちらか一方しか起こりません。銀行に預ければ利息が5%つきます。ここで、もし次の株価を覗き見できたらどうなるでしょうか。

上がるとわかったら株を1単位買います。元手はゼロで、100を丸ごと借入でまかないます。次の時点に株を120で売り、借入の返済は105ですから、手元に15が残ります。下がるとわかったら株を1単位空売りします。次の時点に90で買い戻し、空売りの代金100を預けた利息105との差で、やはり15が手元に残ります。

どちらに転んでも、元手ゼロから15の利益が確定します。これは裁定です。正しいモデルでは裁定は起きないはずなのに、未来を覗き見するだけで裁定が生まれてしまいます。

問題の根は、売買ルールが「いま手に入る情報だけを使っているか」を判定する仕組みがなかったことにあります。今回の記事では、その仕組みを導入します。時間に沿って「いつ、何がわかっているか」を並べた道具を使うと、ある売買ルールが先読みをしていないかどうかを数学的に判定できるようになります。

1. 動機 ― 昨日知らなかったことを今日は知っている

この回を読み終えると、ある売買ルールが、その時点までの情報だけで実行できるルールかどうかを判定できます。

金融数学では、「先読み」を排除するために、いつ・どこまで知っているかを数学的に記述する仕組みが必要です。それがフィルトレーションです。フィルトレーションとは、σ加法族を時間で並べた族のことで、「時間が経つほど情報が増える」という日常の直感を数式にしたものです。

第23回で条件付き期待値を定義しました。条件付き期待値は「ある情報のもとで何が分かるか」を計算する道具でしたが、情報が時間とともにどう増えるかについては何も言っていませんでした。今回はここを固めます。

この記事で証明すること

• THM-FL-1 情報の族が時間について増大するとは、前の時点のσ加法族が後の時点のσ加法族に含まれることです。一度知った事実は忘れない、という要請を数式にしたものです。
• THM-FL-2 過程が適合であることと、各時点でその値がその時点までの情報だけから決まることは同値です。
• THM-FL-3 取引戦略が適合でない場合、将来の情報を使うことになり、有限の標本空間では確実に利益を出す戦略が構成できます。

2. 設定と仮定 ― 情報を時間で並べた族として書く

以下の仮定を全て置きます。

• 標本空間は有限で、時点も有限個。$\Omega =\{{\omega }_1,\dots ,{\omega }_N\}$ で、時点は $t=0,1,\dots ,T$。
• 各時点の情報は標本空間の分割として表す。時点 $t$ での分割 ${\mathcal{P}}_t$ は $\Omega$ を重ならない部分集合に分けたもので、同じセルに入る状態は区別できません。分割が生成するσ加法族を ${\mathcal{F}}_t$ と書きます。
• 分割は時間とともに細かくなる。粗くなることは無い。$s\le t$ のとき ${\mathcal{P}}_t$ は ${\mathcal{P}}_s$ を細分します。つまり ${\mathcal{P}}_t$ の各セルは ${\mathcal{P}}_s$ のどれかのセルの部分集合です。
• 取引戦略は各時点の情報だけを使って決める。
• 数値に単位は付けない。

フィルトレーションとは、σ加法族の列 ${\mathcal{F}}_0\subset {\mathcal{F}}_1\subset \cdots \subset {\mathcal{F}}_T$ のことです。各 ${\mathcal{F}}_t$ は時点 $t$ で「何が分かっているか」を表します。

分割が細かくなるとはどういうことかを補足します。${\mathcal{P}}_0=\{\Omega \}$（全く何も分からない）から始まり、${\mathcal{P}}_T=\{\{\omega \}:\omega \in \Omega \}$（全て分かる）に至るのが典型です。途中の分割は、前の分割のセルを「割る」操作で作ります。一度分けたセルを再び合体させることは、情報が減ることに対応するので、許しません。

確率過程 $X_0,X_1,\dots ,X_T$ が適合であるとは、各 $t$ で $X_t$ が ${\mathcal{F}}_t$-可測であることをいいます。有限の標本空間では、これは「$X_t$ の値が ${\mathcal{P}}_t$ の各セルの上で定数である」ことと同値です。同じセルに入る二つの状態 $\omega ,{\omega }^{\prime }$ に対して $X_t(\omega )=X_t({\omega }^{\prime })$ でなければなりません。直感的には、$t$ 時点で区別できない状態には同じ値を割り当てなければならない、ということです。

以上が今回の全ての道具立てです。新しい記法は ${\mathcal{F}}_t$ と「適合」の二つだけです。

3. 主張 ― 適合性は先読みの禁止である

ここで3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-FL-1（フィルトレーションの単調性） σ加法族の列 ${\mathcal{F}}_0,{\mathcal{F}}_1,\dots ,{\mathcal{F}}_T$ がフィルトレーションであるとは、

$$s\le t⟹{\mathcal{F}}_s\subset {\mathcal{F}}_t$$

が成り立つことをいう。有限標本空間では、これは分割の列 ${\mathcal{P}}_0,{\mathcal{P}}_1,\dots ,{\mathcal{P}}_T$ について、${\mathcal{P}}_t$ が ${\mathcal{P}}_s$ の細分であることと同値である。

定理 THM-FL-2（適合性と実現可能性） 過程 $X_0,X_1,\dots ,X_T$ がフィルトレーション $\{{\mathcal{F}}_t\}$ に適合であることと、各時点 $t$ で $X_t$ の値がその時点までの情報だけから決まることは同値である。すなわち、

$$X\text{ が適合}⟺\text{各 }t\text{ で }{X}_t\text{ は }{\mathcal{F}}_t\text{–可測}$$

である。有限標本空間では、${\mathcal{F}}_t$-可測であることは「${\mathcal{P}}_t$ の各セル上で $X_t$ が定数」と同値である。

定理 THM-FL-3（先読み戦略の排除） 取引戦略 ${\Delta }_0,{\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_{T-1}$ がフィルトレーション $\{{\mathcal{F}}_t\}$ に適合でない場合、将来の情報を使っていることになる。有限の標本空間で、時点1の株価がどの状態でも $(1+r)S_0$ と異なる（たとえば $d<1+r<u$ の二項モデル）とする。適合でない戦略を許すと、そのような先読みを利用して、初期コスト $0$ で全ての状態において正の利益を出す戦略を構成できる。

定理 THM-FL-3 が「適合でなければ裁定ができる」と言っている点に注意してください。無裁定を前提とする限り、取引戦略は適合でなければなりません。これが適合性を要請する実際的な理由です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 先読みが許されると裁定ができることを見る

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第13回「σ加法族と可測性」へ。

THM-FL-1 の証明

有限標本空間 $\Omega$ 上の分割 $\mathcal{P}$ が生成するσ加法族を $\sigma (\mathcal{P})$ と書きます。$\sigma (\mathcal{P})$ は $\mathcal{P}$ のセルの合併で書ける集合すべてと空集合からなります。

${\mathcal{P}}_t$ が ${\mathcal{P}}_s$ の細分であるとき、${\mathcal{P}}_s$ の任意のセル $A$ は ${\mathcal{P}}_t$ のいくつかのセルの合併として書けます。$A$ は ${\mathcal{P}}_t$ のセルの合併なので $A\in \sigma ({\mathcal{P}}_t)={\mathcal{F}}_t$ です。${\mathcal{F}}_s$ の任意の元は ${\mathcal{P}}_s$ のセルの合併ですから、${\mathcal{F}}_s$ の元はすべて ${\mathcal{F}}_t$ にも属します。よって ${\mathcal{F}}_s\subset {\mathcal{F}}_t$ です。

逆に、${\mathcal{F}}_s\subset {\mathcal{F}}_t$ とします。${\mathcal{P}}_s$ の任意のセル $A$ を取ります。$A\in {\mathcal{F}}_s\subset {\mathcal{F}}_t$ なので $A\in {\mathcal{F}}_t=\sigma ({\mathcal{P}}_t)$ です。${\mathcal{P}}_t$ の各セルは $\Omega$ の互いに素な部分集合ですから、$A$ が $\sigma ({\mathcal{P}}_t)$ に属するためには、$A$ は ${\mathcal{P}}_t$ のいくつかのセルの合併でなければなりません。したがって ${\mathcal{P}}_t$ の各セル $C$ は $C\subset A$ または $C\cap A=\varnothing$ のどちらかです。これが ${\mathcal{P}}_s$ の全てのセル $A$ について成り立つので、${\mathcal{P}}_t$ の各セルは ${\mathcal{P}}_s$ のどれかのセルに含まれます。つまり ${\mathcal{P}}_t$ は ${\mathcal{P}}_s$ の細分です。 ∎

THM-FL-2 の証明

有限標本空間での ${\mathcal{F}}_t$-可測性の定義に戻ります。確率変数 $X_t:\Omega \to \mathbb{R}$ が ${\mathcal{F}}_t$-可測であるとは、任意の $x\in \mathbb{R}$ に対し $\{X_t=x\}:=\{\omega \in \Omega :X_t(\omega )=x\}\in {\mathcal{F}}_t$ が成り立つことです。

(⇒) $X_t$ が ${\mathcal{F}}_t$-可測ならば ${\mathcal{P}}_t$ の各セルで定数。

${\mathcal{P}}_t$ のセル $C$ を取り、$\omega ,{\omega }^{\prime }\in C$ とします。仮に $X_t(\omega )\ne X_t({\omega }^{\prime })$ とします。$x=X_t(\omega )$ とすると、$\{X_t=x\}\in {\mathcal{F}}_t=\sigma ({\mathcal{P}}_t)$ なので、$\{X_t=x\}$ は ${\mathcal{P}}_t$ のいくつかのセルの合併です。$\omega \in C\cap \{X_t=x\}$ ですから $C\subset \{X_t=x\}$（$C$ はセルなので全体が入るか全体が入らないかのどちらか）。しかし ${\omega }^{\prime }\in C$ かつ $X_t({\omega }^{\prime })\ne x$ なので ${\omega }^{\prime }\notin \{X_t=x\}$ となり、$C\subset \{X_t=x\}$ に矛盾します。よって $X_t(\omega )=X_t({\omega }^{\prime })$ です。

(⇐) ${\mathcal{P}}_t$ の各セルで $X_t$ が定数ならば ${\mathcal{F}}_t$-可測。

任意の $x\in \mathbb{R}$ を取ります。$\{X_t=x\}$ は「$X_t$ が $x$ に等しいセル全体の合併」です。${\mathcal{P}}_t$ の各セル $C$ で $X_t$ は定数ですから、$C$ は $\{X_t=x\}$ に全体が入るか、全く入らないかのどちらかです。したがって $\{X_t=x\}$ は ${\mathcal{P}}_t$ のいくつかのセルの合併であり、$\{X_t=x\}\in \sigma ({\mathcal{P}}_t)={\mathcal{F}}_t$ です。 ∎

THM-FL-3 の証明

取引戦略 ${\Delta }_t$ が ${\mathcal{F}}_t$ に適合でない場合を考えます。ある時点 $t_0$ と ${\mathcal{P}}_{t_0}$ のあるセル $C$ が存在して、$C$ の中に ${\Delta }_{t_0}(\omega )\ne {\Delta }_{t_0}({\omega }^{\prime })$ となる $\omega ,{\omega }^{\prime }\in C$ があります。

具体的な構成を示します。${\Delta }_{t_0}$ が ${\mathcal{F}}_{t_0}$-可測でないということは、$t_0$ 時点の情報では区別できない二つの状態 $\omega ,{\omega }^{\prime }$ に対して異なる保有量を割り当てていることを意味します。これは $t_0$ 時点では知り得ない将来の情報を使っていることになります。

まず一般の形で構成します。仮定から、全ての $\omega$ で $S_1(\omega )-(1+r)S_0\ne 0$ です。時点1の株価を先読みして、保有量を

$${\Delta }_0(\omega )=\{\begin{array}{ll}1& S_1(\omega )>(1+r)S_0,\\ -1& S_1(\omega )<(1+r)S_0\end{array}$$

と決め、安全資産の保有額を $B_0(\omega )=-{\Delta }_0(\omega )S_0$ として初期コストを $0$ にします。時点1の価値は

$$\begin{array}{rl}{V}_1(\omega )& ={\Delta }_0(\omega )S_1(\omega )+B_0(\omega )(1+r)\\ & =|S_1(\omega )-(1+r)S_0|>0\end{array}$$

です。${\Delta }_0$ の符号を $S_1(\omega )-(1+r)S_0$ の符号に合わせたので、積が絶対値になります。$T\ge 2$ なら、時点1で株を清算して全額を安全資産に移し満期まで持てば、$V_T=V_1(1+r{)}^{T-1}>0$ が全ての状態で成り立ちます。この ${\Delta }_0$ は $S_1$ の値に依存するので、一般に ${\mathcal{F}}_0$-可測ではありません。

次に、この構成を具体的な数値で確かめます。$S_0=100$、$u=1.2$、$d=0.9$、$r=0.05$ の2期間モデルを使います。$\Omega =\{\text{uu},\text{ud},\text{du},\text{dd}\}$ で、${\mathcal{P}}_0=\{\Omega \}$ です。

次の戦略を考えます。時点 $t=0$ で、$t=1$ の株価 $S_1$ を見てから保有量を決めます。

$${\Delta }_0(\omega )=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{S}_1(\omega )=120(\omega \in \{\text{uu},\text{ud}\}),\\ -1& \text{if }{S}_1(\omega )=90(\omega \in \{\text{du},\text{dd}\}).\end{array}$$

${\Delta }_0$ は ${\mathcal{P}}_0=\{\Omega \}$ のセル $\Omega$ の上で定数ではないので、${\mathcal{F}}_0$-可測ではありません。これは適合でない戦略です。

安全資産の保有額を $B_0(\omega )=-{\Delta }_0(\omega )S_0$ として初期コストを $0$ にします。すなわち

$$V_0(\omega )={\Delta }_0(\omega )S_0+B_0(\omega )=0\text{for all }\omega .$$

$t=1$ でのポートフォリオ価値を計算します。上昇の場合（$\omega \in \{\text{uu},\text{ud}\}$）は ${\Delta }_0=1$、$B_0=-100$ なので

$$V_1=1\times 120+(-100)\times 1.05=120-105=15.$$

下落の場合（$\omega \in \{\text{du},\text{dd}\}$）は ${\Delta }_0=-1$、$B_0=100$ なので

$$V_1=(-1)\times 90+100\times 1.05=-90+105=15.$$

全ての状態で $V_0=0$ かつ $V_1=15>0$ です。元手ゼロで確実に 15 の利益を得ています。これは裁定です。

この裁定の原因は、${\Delta }_0$ が ${\mathcal{F}}_0$-可測でないこと、つまり $t=0$ の時点で知り得ない $S_1$ の情報を使っていることにあります。無裁定を維持するためには、各時点の戦略がその時点の情報のみに基づくこと、すなわち適合性を要請しなければなりません。 ∎

5. 反例 ― 情報が粗くなると計算が壊れる

CEX-FL-1: 先読みすれば確実に儲かる

上の証明で構成した戦略を改めて反例として記録します。

$S_0=100$, $u=1.2$, $d=0.9$, $r=0.05$ の2期間モデルで、$t=0$ に $S_1$ の値を先読みして保有量を決めます。

状態	${\Delta }_0$	$B_0$	$V_0$	$V_1$
uu	$1$	$-100$	$0$	$15$
ud	$1$	$-100$	$0$	$15$
du	$-1$	$100$	$0$	$15$
dd	$-1$	$100$	$0$	$15$

全状態で元手 $0$ から 15 の利益を得ています。${\Delta }_0$ は ${\mathcal{P}}_0=\{\Omega \}$ の上で定数でないので適合ではなく、先読みによる裁定です。

無裁定の条件 $d<1+r<u$（$0.9<1.05<1.2$）は満たされているのに裁定が生まれてしまうのは、戦略が適合でないからです。適合性は無裁定の前提条件に組み込まれなければなりません。

CEX-FL-2: 情報が粗くなるとタワー則が壊れる

フィルトレーションの単調性（THM-FL-1）が崩れる例を作ります。

$\Omega =\{a,b,c,d\}$ に一様確率 $\mathbb{P}(\omega )=1/4$ を与えます。正常な族は

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{H}}_0=\{\Omega \},\\ & {\mathcal{H}}_1=\sigma (\{a,b\},\{c,d\}),\\ & {\mathcal{H}}_2=\sigma (\{a\},\{b\},\{c\},\{d\})\end{array}$$

で、${\mathcal{H}}_0\subset {\mathcal{H}}_1\subset {\mathcal{H}}_2$ です。

ここで ${\mathcal{H}}_2$ を粗くした族を考えます。

$${\mathcal{H}}_2^{\prime }=\sigma (\{a,b,c\},\{d\}).$$

$\{c,d\}\in {\mathcal{H}}_1$ ですが $\{c,d\}\notin {\mathcal{H}}_2^{\prime }$ なので、${\mathcal{H}}_1\not\subset {\mathcal{H}}_2^{\prime }$ です。情報が $t=1$ から $t=2$ にかけて「減って」います。状態 $c$ と $d$ は $t=1$ で区別できていたのに、$t=2$ では $c$ が $\{a,b,c\}$ に合流して区別できなくなっています。

確率変数 $X$ を $X(a)=8,X(b)=0,X(c)=2,X(d)=6$ と定めます。

第23回で示したタワー則は「$\mathcal{G}\subset \mathcal{H}$ のとき $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]\mid \mathcal{G}]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$」でした。${\mathcal{H}}_1\subset {\mathcal{H}}_2$ なら成り立ちますが、${\mathcal{H}}_1\not\subset {\mathcal{H}}_2^{\prime }$ のとき成り立つ保証はありません。実際に計算して壊れることを見ます。

$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_1]$ を計算します。セル $\{a,b\}$ 上では

$$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_1](\{a,b\})=\frac{X(a)+X(b)}{2}=\frac{8+0}{2}=4.$$

セル $\{c,d\}$ 上では

$$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_1](\{c,d\})=\frac{X(c)+X(d)}{2}=\frac{2+6}{2}=4.$$

$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }]$ を計算します。セル $\{a,b,c\}$ 上では

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }](\{a,b,c\})\\ & =\frac{X(a)+X(b)+X(c)}{3}=\frac{10}{3}=\mathrm{3.3333.}\end{array}$$

セル $\{d\}$ 上では

$$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }](\{d\})=X(d)=6.$$

タワー則の左辺 $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }]\mid {\mathcal{H}}_1]$ を計算します。$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }]$ の値は $a,b$ で $3.3333$、$c$ で $3.3333$、$d$ で $6$ です。

セル $\{a,b\}$ 上では $\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }]$ が $a,b$ とも $3.3333$ なので、条件付き期待値は $3.3333$ です。

セル $\{c,d\}$ 上では

$$\frac{3.3333+6}{2}=\mathrm{4.6667.}$$

まとめると

セル	$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_2^{\prime }]\mid {\mathcal{H}}_1]$	$\mathbb{E}[X\mid {\mathcal{H}}_1]$
$\{a,b\}$	$3.3333$	$4$
$\{c,d\}$	$4.6667$	$4$

両者は一致しません。タワー則が崩れています。

原因は明確です。${\mathcal{H}}_1\not\subset {\mathcal{H}}_2^{\prime }$ なので、${\mathcal{H}}_2^{\prime }$ で条件付けた期待値は ${\mathcal{H}}_1$ の情報を「忘れた」計算になっています。$c$ と $d$ の区別が $t=2$ で消えたために、$t=1$ で持っていた情報が無駄になり、二段階の条件付けが一段階の条件付けと一致しなくなります。条件付き期待値の計算が整合的に機能するには、情報が単調に増えるという要請が不可欠です。

CEX-FL-3: 適合でも実行できるとは限らない

適合性は「先読みしていない」という必要条件ですが、戦略が実行可能であることの十分条件ではありません。途中で資金がマイナスになる戦略は、いくら適合であっても実行できません。

$S_0=100$, $u=1.2$, $d=0.9$, $r=0.05$ のモデルで、${\Delta }_0=5$（定数なので ${\mathcal{F}}_0$-可測、つまり適合）、$B_0=-500$ とします。初期コストは

$$V_0=5\times 100+(-500)=0.$$

$t=1$ でのポートフォリオ価値を計算します。

$$\begin{array}{rl}{V}_1(\text{up})& =5\times 120-500\times 1.05\\ & =600-525=75,\\ V_1(\text{down})& =5\times 90-500\times 1.05\\ & =450-525=-75.\end{array}$$

下落状態では $V_1=-75$ です。ポートフォリオ価値がマイナスになっているので、$t=1$ で追加の資金を注入しない限り、この先の取引を続けることはできません。

${\Delta }_0=5$ は定数で適合ですが、5単位もの株を借入だけで買ったために、株価が下がると破綻します。適合性は「使っている情報が正しい」ことを保証するだけで、「資金が足りる」ことは保証しません。実行可能な戦略を定義するには、適合性に加えて「自己充足性（各時点でポートフォリオの組替えに追加資金が不要であること）」や「信用制約（ポートフォリオ価値が負にならないこと）」といった条件が別途必要になります。

6. 数値例 ― 2期間モデルで情報の分割を全部書き出す

$S_0=100$, $u=1.2$, $d=0.9$, $r=0.05$ の2期間2状態モデルで、具体的に分割を書き出します。

標本空間: $\Omega =\{\text{uu},\text{ud},\text{du},\text{dd}\}$。最初の文字が $t=0\to 1$ の動き、2番目が $t=1\to 2$ の動きです。

株価:

$\omega$	$S_0$	$S_1$	$S_2$
uu	$100$	$120$	$144$
ud	$100$	$120$	$108$
du	$100$	$90$	$108$
dd	$100$	$90$	$81$

各時点の分割:

時点	分割	意味
$t=0$	${\mathcal{P}}_0=\{\{\text{uu},\text{ud},\text{du},\text{dd}\}\}$	何も分からない
$t=1$	${\mathcal{P}}_1=\{\{\text{uu},\text{ud}\},\{\text{du},\text{dd}\}\}$	最初の動きが分かる
$t=2$	${\mathcal{P}}_2=\{\{\text{uu}\},\{\text{ud}\},\{\text{du}\},\{\text{dd}\}\}$	全てが分かる

${\mathcal{P}}_1$ は ${\mathcal{P}}_0$ の細分です。${\mathcal{P}}_0$ のただ一つのセル $\Omega$ が $\{\text{uu},\text{ud}\}$ と $\{\text{du},\text{dd}\}$ に分かれています。${\mathcal{P}}_2$ は ${\mathcal{P}}_1$ の細分です。$\{\text{uu},\text{ud}\}$ が $\{\text{uu}\}$ と $\{\text{ud}\}$ に、$\{\text{du},\text{dd}\}$ が $\{\text{du}\}$ と $\{\text{dd}\}$ に分かれています。したがって ${\mathcal{F}}_0\subset {\mathcal{F}}_1\subset {\mathcal{F}}_2$ が成り立ち、フィルトレーションの条件を満たします。

適合性の確認:

$S_0$ は全ての $\omega$ で $100$ です。${\mathcal{P}}_0=\{\Omega \}$ の上で定数なので ${\mathcal{F}}_0$-可測です。

$S_1$ はセル $\{\text{uu},\text{ud}\}$ で $120$、セル $\{\text{du},\text{dd}\}$ で $90$ です。${\mathcal{P}}_1$ の各セルの上で定数なので ${\mathcal{F}}_1$-可測です。

$S_2$ はセル $\{\text{uu}\}$ で $144$、$\{\text{ud}\}$ で $108$、$\{\text{du}\}$ で $108$、$\{\text{dd}\}$ で $81$ です。${\mathcal{P}}_2$ の各セルの上で定数なので ${\mathcal{F}}_2$-可測です。

以上より、株価過程 $(S_0,S_1,S_2)$ はフィルトレーション $\{{\mathcal{F}}_t{\}}_{t=0}^2$ に適合です。これは直感と合います。$t$ 時点の株価は、$t$ 時点までに起きた上昇・下落の履歴だけから決まり、まだ起きていない将来の動きには依存しません。

7. 次回へ ― 情報が増える最も単純な形

今回の結論は次の3点です。

1. フィルトレーション ${\mathcal{F}}_0\subset {\mathcal{F}}_1\subset \cdots \subset {\mathcal{F}}_T$ は「情報は増えても減らない」を数式にしたものです。
2. 適合性は「各時点の値がその時点の情報だけで決まる」ことで、先読みの禁止と同値です。
3. 適合でない戦略は裁定を生みます。無裁定を仮定する限り、戦略は適合でなければなりません。

次回（第25回）では、独立増分とランダムウォークを扱います。情報が増える最も単純な形を作ります。フィルトレーションの中身を「コイン投げの積み重ね」で具体的に記述し、各時点の増分が互いに無関係であるという性質を導きます。

次のマイルストーンまであと 18 本です。

よくある質問

フィルトレーションは何のためにあるのですか

いつ何を知っているかを決めるためです。これが無いと、将来を知っている前提の計算を止められません。

適合という言葉が難しいのですが

その時点で知っている情報だけで値が決まる、という意味です。今日の判断に明日の株価を使わない、ということです。

情報が減ることはないのですか

この理論では想定しません。忘れることを許すと、計算の土台が崩れます。

参考文献

1. Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance I ― The Binomial Asset Pricing Model、Springer、2004年
2. Williams D.、Probability with Martingales、Cambridge University Press、1991年

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数値例は compute.py により有理数演算で検算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。