第25回 独立増分とランダムウォーク ― 一歩ずつ足すだけのモデル

位置: 第3部 第25回 / 前提: 第19回、第24回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: ランダムウォークの価格の散らばりが時間の平方根で広がることを、計算で確かめることができる

0. 物語 ― 平均に戻るはずだという期待

「先輩、このチャートおかしくないですか」。新人トレーダーが画面を指さしました。「この銘柄、上がる確率と下がる確率は半々のはずなのに、ずっとマイナス側にいます。1万回のうち7500回以上、片方に偏りっぱなしです」。

先輩は椅子を回して画面をのぞき込みました。「壊れてないよ。上がるか下がるかが完全に五分五分でも、片側に7500回以上とどまることはふつうにある」。

「でも、長く続ければ平均に戻るんじゃないですか。大数の法則ってそういう意味でしょう」。

「よくある誤解だ。大数の法則が言っているのは、1回あたりの平均がゼロに近づくということであって、位置そのものがゼロに戻るとは言っていない。1万回動いたとき、位置の散らばりの幅はおよそ100だ。1回あたりに直せば100割る1万でほぼゼロだから、平均は確かにゼロに近づく。でも位置自体は100のスケールで散らばっていて、ゼロに引き戻す力なんてどこにも働いていない」。

新人はシミュレーションを3本走らせてみました。1万歩のウォークの最終位置はマイナス56、マイナス86、プラス28。2本目は全体の75パーセント以上をマイナス側で過ごしていました。

「本当だ。ゼロに戻る力なんてない……」。

先輩はうなずきました。「位置の散らばりは、時間そのものではなく、時間の平方根で広がる。100歩で幅が10なら、400歩では40ではなく20だ。この法則を支えているのは、独立な増分の散らばりが足し算になるという、たった一つの性質だよ」。

1. 動機 ― 一歩ずつ足すだけで何が起きるか

この回を読み終えると、ランダムウォークの価格の散らばりが時間の平方根で広がることを、計算で確かめることができます。

コインを投げて、表が出たら1歩右へ、裏が出たら1歩左へ進みます。これを繰り返すだけのモデルがランダムウォークです。単純すぎるように見えますが、このモデルから驚くほど多くの結果が出ます。

100歩歩いたときのばらつきは100ではなく $\sqrt{100}=10$ に比例します。時間を4倍にしても、ばらつきは2倍にしかなりません。対称なウォーク（右と左が同じ確率）は確率1で出発点に戻りますが、戻るまでの平均時間は無限大です。「必ず戻るが、いつ戻るかは約束しない」という不思議な性質です。

今回は増分を足すだけの操作から、分散の加法性、マルコフ性、再帰性という3つの性質を導きます。ここで確立する「ばらつきは時間の平方根で広がる」という感覚は、第54回・第55回で連続時間のモデルに進むときの土台になります。

この記事で証明すること

• THM-RW-1 独立同分布の増分を $n$ 回足したランダムウォークは、期待値が $n$ に比例し、分散も $n$ に比例します。したがって標準偏差は $\sqrt{n}$ に比例します。
• THM-RW-2 ランダムウォークの将来の分布は、現在の値だけで決まり、そこに至る経路には依存しません。
• THM-RW-3 1次元の対称なランダムウォークは、確率1で出発点に戻ります。ただし戻るまでの平均時間は無限大です。

2. 設定と仮定 ― 独立な増分を並べる

ランダムウォークの定義を書き出します。

• 増分: $X_1,X_2,\dots$ は独立で同じ分布に従う確率変数です。各ステップの時間幅は等しいとします。
• 初期値: $S_0=0$ とします。
• ランダムウォーク: $n$ 歩目の位置を

$$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n=\sum _{i=1}^n{X}_i\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

で定めます。

特に、$X_i$ が確率 $1/2$ で $+1$、確率 $1/2$ で $-1$ を取る場合を対称ランダムウォークと呼びます。以下の定理と証明は、対称でない場合も含む一般の独立同分布増分に対して成り立ちます。

対称ランダムウォークの場合、増分の期待値と分散は

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X_i]& =\frac{1}{2}(+1)+\frac{1}{2}(-1)=0,\\ \mathrm{Var}(X_i)& =\mathbb{E}[X_i^2]=1\end{array}$$

です。以下ではこの値を具体的に使います。

連続時間への極限は第54回と第55回に送ります。今回は離散の世界に集中します。

3. 主張 ― ばらつきは時間の平方根で広がる

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-RW-1（増分の期待値と分散） $X_1,X_2,\dots$ を独立同分布の確率変数とし、$S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とする。このとき

$$\mathbb{E}[S_n]=n\mathbb{E}[X_1],\mathrm{Var}(S_n)=n\mathrm{Var}(X_1)$$

が成り立つ。したがって $\mathrm{SD}(S_n)=\sqrt{n}\mathrm{SD}(X_1)$ である。

定理 THM-RW-2（マルコフ性） $S_n$ をランダムウォークとする。$S_{n+1},S_{n+2},\dots$ の条件付き分布は、$S_0,S_1,\dots ,S_n$ のうち $S_n$ の値だけに依存し、$S_0,\dots ,S_{n-1}$ には依存しない。すなわち

$$\mathbb{P}(S_{n+k}\le x\mid S_0,S_1,\dots ,S_n)=\mathbb{P}(S_{n+k}\le x\mid S_n)$$

が任意の $k\ge 1$ と $x$ について成り立つ。

定理 THM-RW-3（対称ウォークの再帰性） $X_i$ が確率 $1/2$ で $\pm 1$ を取る1次元対称ランダムウォーク $S_n$ に対し、$S_n=0$ となる $n\ge 1$ が存在する確率は1である。一方、$\tau =\min \{n\ge 1:S_n=0\}$（初回帰還時刻）は $\mathbb{E}[\tau ]=\infty$ を満たす。

THM-RW-1 が言っているのは、独立な増分を足すと、ばらつきは時間に比例して増えるが、標準偏差は時間の平方根にしか比例しないということです。これは「分散が足し算になる」という独立性の帰結です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 分散の加法性から出す

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-RW-1 の証明

期待値の線形性は、独立性がなくても成り立ちます。

$$\mathbb{E}[S_n]=\mathbb{E}\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n\mathbb{E}[X_i]=n\mathbb{E}[X_1]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

最初の等号は $S_n$ の定義 (1.1) です。2番目は期待値の線形性（和の期待値は期待値の和）を使いました。3番目は $X_i$ が同分布であることを使いました。

分散の計算には独立性が必要です。まず分散を定義に従って展開します。$\mu =\mathbb{E}[X_1]$ と書きます。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(S_n)& =\mathbb{E}\left[(S_n-n\mu {)}^2\right]\\ & =\mathbb{E}\left[{\left(\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )\right)}^2\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$(2.1)

右辺の2乗を展開します。

$$\begin{array}{rl}& {\left(\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )\right)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2+2\sum _{i<j}(X_i-\mu )(X_j-\mu )\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

ここで、交差項の期待値を計算します。$i\ne j$ のとき、$X_i$ と $X_j$ は独立なので

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[(X_i-\mu )(X_j-\mu )]\\ & =\mathbb{E}[X_i-\mu ]\mathbb{E}[X_j-\mu ]=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

独立性を使ったのはこの1行です。期待値が積に分かれるのは、独立な確率変数の積の期待値が期待値の積に等しいという性質（第19回）によります。そして $\mathbb{E}[X_i-\mu ]=0$ は期待値の定義そのものです。

(2.3) の期待値を取ると、交差項が (2.4) により全て消えるので

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(S_n)& =\sum _{i=1}^n\mathbb{E}[(X_i-\mu {)}^2]\\ & =\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)=n\mathrm{Var}(X_1)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

最後の等号では $X_i$ が同分布であることを使いました。

標準偏差は分散の正の平方根ですから

$$\mathrm{SD}(S_n)=\sqrt{n\mathrm{Var}(X_1)}=\sqrt{n}\mathrm{SD}(X_1)$$

が得られます。 ∎

証明の核心は (2.4) の1行です。独立だから交差項が消える。消えるから分散が足し算になる。 足し算だから $n$ に比例し、平方根を取ると $\sqrt{n}$ になる。この論理の鎖が、ランダムウォーク全体の骨格です。

対称ランダムウォークの場合は $\mathbb{E}[X_1]=0$、$\mathrm{Var}(X_1)=1$ なので、$\mathbb{E}[S_n]=0$、$\mathrm{Var}(S_n)=n$、$\mathrm{SD}(S_n)=\sqrt{n}$ となります。

THM-RW-2 の証明

$S_{n+k}=S_n+(X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots +X_{n+k})$ と書きます。右辺の第2項を $Y_k=X_{n+1}+\cdots +X_{n+k}$ とおきます。

$Y_k$ は $X_{n+1},\dots ,X_{n+k}$ だけの関数です。これらの増分は、$X_1,\dots ,X_n$ とは独立です。$S_0,S_1,\dots ,S_n$ は $X_1,\dots ,X_n$ の関数ですから、$Y_k$ は $S_0,\dots ,S_n$ とも独立です。

したがって

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}(S_{n+k}\le x\mid S_0,\dots ,S_n)\\ & =\mathbb{P}(S_n+Y_k\le x\mid S_0,\dots ,S_n)\end{array}$$

右辺で条件に効くのは $S_n$ の値だけです。なぜなら、$Y_k$ は $(S_0,\dots ,S_n)$ と独立なので、条件付き分布は $Y_k$ の無条件分布と一致します。$S_n+Y_k\le x$ という事象は $S_n$ の値が決まれば $Y_k\le x-S_n$ と書き直せますから

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}(S_n+Y_k\le x\mid S_0,\dots ,S_n)\\ & =\mathbb{P}(Y_k\le x-S_n\mid S_n)\\ & =\mathbb{P}(S_{n+k}\le x\mid S_n)\end{array}$$

が成り立ちます。これがマルコフ性です。 ∎

マルコフ性は「将来の行き先は今どこにいるかだけで決まり、どの道を通ってきたかは関係ない」と言っています。これは増分が独立であることの直接の帰結です。$Y_k$ が過去の増分に依存しないからこそ、過去の経路 $S_0,\dots ,S_{n-1}$ の情報は不要になります。

THM-RW-3 の証明（要点）

この定理は proof_policy: sketch に従い、要点を全て示します。

再帰性（確率1で戻る）の要点。

$S_{2m}=0$ となる確率を計算します。$2m$ 歩のうちちょうど $m$ 回 $+1$ が出れば $S_{2m}=0$ です（奇数歩では $S_n=0$ にならないことに注意します）。したがって

$$\mathbb{P}(S_{2m}=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{2m}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

スターリングの近似 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)\sim \frac{4^m}{\sqrt{\pi m}}$ を使うと

$$\mathbb{P}(S_{2m}=0)\sim \frac{1}{\sqrt{\pi m}}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

${\sum }_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{\pi m}}=\infty$ なので、原点への訪問回数 $R={\sum }_{m=1}^{\infty }{1}_{S_{2m}=0}$ の期待値は

$$\mathbb{E}[R]=\sum _{m=1}^{\infty }\mathbb{P}(S_{2m}=0)=\infty \text{\hspace{1em}(3.3)}$$

です。もし出発点に戻らない確率が正（$\mathbb{P}(\tau =\infty )>0$）ならば、$R$ は有限の確率で0になるため $\mathbb{E}[R]$ は有限になるはずです。より正確には、初回帰還確率を $f=\mathbb{P}(\tau <\infty )$ とすると、訪問回数 $R$ は幾何分布に従い $\mathbb{E}[R]=f/(1-f)$ です。$\mathbb{E}[R]=\infty$ なので $f=1$、すなわち確率1で出発点に戻ります。

平均帰還時間が無限大であることの要点。

初回帰還時刻 $\tau$ の確率母関数を使います。$\tau =2k$ となる確率は

$$\mathbb{P}(\tau =2k)=\frac{1}{2k-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{2k}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

であることが知られています。スターリングの近似を適用すると $\mathbb{P}(\tau =2k)\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi }{k}^{3/2}}$ です。

$$\mathbb{E}[\tau ]=\sum _{k=1}^{\infty }2k\cdot \mathbb{P}(\tau =2k)\sim \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{\pi k}}=\infty$$

$k^{-1/2}$ の級数は発散するので、$\mathbb{E}[\tau ]=\infty$ です。確率1で戻りますが、戻るまでの平均時間は無限大です。 ∎

この「確率1で起きるが、平均すると無限に時間がかかる」という性質は直感に反します。数値実験でも、初回帰還時刻の中央値は2（すぐ戻る場合が多い）ですが、平均は中央値よりはるかに大きくなります。裾の重い分布の典型例です。

5. 反例 ― 平均に戻る力は働いていない

CEX-RW-1: ばらつきは時間に比例しない

「100歩で10ずれるなら、400歩では40ずれるはず」という直感は間違いです。THM-RW-1 が示す通り、分散が $n$ に比例するので、標準偏差は $\sqrt{n}$ に比例します。

数値実験で確認します。10万本のウォークを生成し、最終位置の標準偏差を計算しました。

$n$（歩数）	実測 SD	理論値 $\sqrt{n}$	比
100	10.0054	10.0	1.000541
10,000	100.2544	100.0	1.002544

実測値は理論値にきわめて近く、$\mathrm{SD}(S_n)=\sqrt{n}$ が確認できます。

時間を4倍にした場合も見ます。$n=100$ と $n=400$ を比較すると、標準偏差の比は 1.9977 です。理論値は $\sqrt{400/100}=2.0$。時間を4倍にしても、ばらつきの幅は2倍にしかなりません。 4倍にはならない。これが「平方根で広がる」ことの具体的な意味です。

CEX-RW-2: 平均に戻るはずだ、という期待

「ランダムウォークは0の周りをうろうろするものだ」という直感も危険です。期待値は確かに0ですが、個別の経路は片側に大きく偏った状態が長く続きます。

1万歩のウォークを3本生成し、最終位置と「同じ符号にいた最長連続期間」を調べました。

経路	最終位置	同じ側にいた最長期間
1	$-56$	5,360 歩
2	$-86$	7,576 歩
3	$+28$	3,761 歩

経路2では、1万歩のうち7,576歩――全体の75%以上――で同じ側にいました。「大数の法則があるから、長く見れば平均に戻るはず」という期待は、大数の法則の誤用です。大数の法則は $S_n/n\to 0$ を言っているのであって、$S_n\to 0$ とは言っていません。$S_n$ 自体は $\sqrt{n}$ のオーダーで広がり続けます。

CEX-RW-3: 独立性を外すと分散が変わる

THM-RW-1 の証明では (2.4) で交差項が消えることが核心でした。増分が独立でなければ交差項は消えず、分散の公式が壊れます。

これを数値で確認します。増分が前のステップと相関 $\rho =0.3$ を持つウォークを1万本生成し、100歩目の分散を独立な場合と比較しました。

	分散
独立（$\rho =0$）	99.15
相関あり（$\rho =0.3$）	179.41
比（相関あり／独立）	1.8095

相関がある場合、分散は独立の場合の約1.81倍になりました。$\rho >0$ のとき、前のステップが $+1$ なら次も $+1$ になりやすいため、同じ方向に偏りやすくなります。交差項 $\mathbb{E}[(X_i-\mu )(X_j-\mu )]$ が正の値を持ち、分散が $n$ より速く増えます。THM-RW-1 は独立性がなければ成り立ちません。

6. 数値例 ― 1万歩のウォークを3本描く

対称ランダムウォークの理論値と数値実験の結果をまとめます。

期待値と標準偏差:

対称ランダムウォーク（$\mathbb{E}[X_i]=0$、$\mathrm{Var}(X_i)=1$）では

$$\mathbb{E}[S_n]=0,\mathrm{SD}(S_n)=\sqrt{n}$$

$n=100$ のとき $\mathrm{SD}=10$、$n=10,000$ のとき $\mathrm{SD}=100$ です。10万本の実測値はそれぞれ 10.0054、100.2544 で、理論値との比は 1.0005 と 1.0025 でした。

再帰性:

1,000歩以内に出発点に戻ったウォークの割合は 97.2% でした。戻った回数の平均は 24.04 回です。初回帰還ステップの中央値は 2.0（すぐ戻る場合が多い）ですが、平均は 27.4 です。第1四分位は 2.0、第3四分位は 10.0 で、分布の裾が非常に重いことがわかります。

中央値と平均のこの乖離こそが、$\mathbb{E}[\tau ]=\infty$ の有限標本版です。ステップ数を増やせば平均はさらに大きくなり、発散していきます。

7. 次回へ ― 公平な賭けを数式にする

ランダムウォークの3つの性質――分散の加法性、マルコフ性、再帰性――を見ました。中でも「期待値が変わらない」という性質は特別です。対称ウォークでは $\mathbb{E}[S_{n+1}\mid S_n]=S_n$ が成り立ちます。これは「いま $S_n$ にいるとき、次の期待値もちょうど $S_n$ である」という意味で、公平な賭けの数学的な表現です。

次回（第26回）では、この「条件付き期待値が変わらない」という性質を取り出して、マルチンゲールという概念を定義します。マルチンゲールは第5部と第6部の全体をつなぐ鍵概念です。

次のマイルストーンまであと 17 本です。

よくある質問

ランダムウォークは株価のモデルですか

最も単純な出発点です。現実の株価はもっと複雑ですが、この形を土台にして改良していきます。

長く続ければ平均に戻りますか

戻りません。確率1で出発点を通りますが、そこに落ち着くわけではなく、通り過ぎていきます。

なぜ時間の平方根なのですか

分散が足し算になるからです。標準偏差は分散の平方根なので、時間の平方根に比例します。

参考文献

1. Feller W.、An Introduction to Probability Theory and Its Applications Volume 1、第3版、Wiley、1968年
2. Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance I ― The Binomial Asset Pricing Model、Springer、2004年

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数値例は compute.py によりシード固定のもとで計算済み。