第75回 離散ヘッジと取引コスト ― 現実のヘッジ誤差はどこから来るのか

位置: 第7部 第75回 / 前提: 第67回、第74回 / 数学編: M18 / この回でできるようになること: ヘッジの頻度と取引コストの兼ね合いから、ヘッジ誤差の大きさを見積もることができる

0. 物語 ― 頻度を上げるほど悪くなる

トレーディングデスクでオプションを売った直後、まず考えるのは「どれくらいの頻度でヘッジを組み替えるか」です。教科書の理論では、ポジションを絶え間なく調整し続ければリスクは完全に消えます。だから頻度は高いほどいい、と思うかもしれません。

ところが、売買のたびに手数料がかかります。月に1回の組み替えなら手数料は年間で0.23ほどですが、毎日やれば0.62に膨らみ、1日に4回まで増やすと1.10に達します。オプションの価格が10.45ですから、1日4回のヘッジでは価格の1割以上を手数料だけで失います。

一方、組み替え回数を増やすほど、理論値からのずれ――ヘッジ誤差――は小さくなります。月1回では誤差のばらつきが1.94もあったのが、毎日なら0.49まで縮みます。誤差を減らしたければ頻度を上げたい。しかしコストは回数に応じて増えていく。この2つは逆方向に動きます。

両方を足し合わせて最も損が小さくなる回数を探すと、年150回あたりに折り返し点が見つかります。それより少なければ誤差が大きすぎ、それより多ければコストが食いすぎるのです。

理論どおりに「できるだけ頻繁に」ヘッジした人が、月1回しか動かさなかった人よりも損をする。この逆転がなぜ起きるのか、そしてどこに折り合いの点があるのかを、今回は定量的に明らかにします。

1. 動機 ― 理論どおりにヘッジできない理由

この回を読み終えると、ヘッジの頻度と取引コストの兼ね合いから、ヘッジ誤差の大きさを見積もることができます。

ブラック・ショールズの理論では、デルタを連続的に組み替えることで完全にリスクを消せます。しかし現実には連続的な組み替えは不可能です。1日に1回、あるいは1時間に1回しかポジションを動かせません。しかも毎回の売買には取引コストがかかります。

頻度を上げれば理論に近づき、ヘッジ誤差は小さくなります。しかし取引コストは回数に応じて増えます。誤差とコストは逆方向に動きます。どこで折り合いをつけるかが、離散ヘッジの核心です。

今回は、組み替え回数を変えたときの複製誤差の振る舞いと、取引コストの累積を定量的に分析します。

この記事で証明すること

• THM-DH-1 複製誤差の分散は組み替え回数に反比例して縮みます。標準偏差は回数の平方根に反比例します。
• THM-DH-2 比例的な取引コストのもとでは、コストの累積は組み替え回数の平方根に比例して増えます。
• THM-DH-3 誤差とコストの和を最小にする組み替え回数が存在します。

2. 設定と仮定 ― 離散的な組み替えと取引コスト

仮定を全て書き出します。

• 原資産は幾何ブラウン運動に従います。$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$。
• 取引コストは売買代金に比例します。比率を $ϵ$ と書きます。
• デルタはブラック・ショールズ式のものを使います。
• 数値実験では乱数のシードを42に固定し、標本路を1万本取ります。

パラメータは $S_0=100$、$K=100$、$r=0.05$、$\sigma =0.2$、$T=1$、コスト率 $ϵ=0.001$（0.1%）です。

ブラック・ショールズ価格は $C_0=10.4506$ です。この価格でコールを売り、デルタヘッジを行います。理論上は満期のペイオフと完全に相殺できるはずですが、離散的な組み替えでは誤差が生じます。

ヘッジ誤差とは、ヘッジポートフォリオの満期価値からコールのペイオフを引いたものです。理想的にはゼロですが、離散ヘッジでは正にも負にもなります。

この節のまとめです。原資産はGBM、デルタはBS式、コストは比例的という設定で、離散ヘッジの誤差とコストを分析します。

3. 主張 ― 誤差とコストは逆方向に動く

定理 THM-DH-1（ヘッジ誤差の分散） 等時間間隔でヘッジを $n$ 回組み替えるとき、1ステップのヘッジ誤差は

$$e_i\approx \frac{1}{2}{\Gamma }_i((\Delta S_i{)}^2-{\sigma }^2{S}_i^2\Delta t)$$

であり、全体の誤差の分散は $n$ に反比例して縮む。したがって標準偏差は $n$ の平方根に反比例する。

定理 THM-DH-2（取引コストの累積） 比例的な取引コスト $ϵ$ のもとでは、$n$ が大きいとき、初回の建玉と満期の手仕舞いの分（$n$ によらない定数）を除いた累積コストの期待値は $n$ の平方根に比例して増える。

$$\mathbb{E}\left[\sum _{i=1}^{n-1}ϵ|{\Delta }_i-{\Delta }_{i-1}|S_i\right]\propto ϵ\sqrt{n}.$$

定理 THM-DH-3（最適な頻度） 誤差とコストの和を最小にする組み替え回数 $n^{\ast }$ が存在する。頻度を上げれば誤差は減るがコストは増える。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 誤差の分散とコストの累積を評価する

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第18回「収束の4概念」へ。

THM-DH-2 の証明

1回の組み替えでデルタが ${\Delta }_i$ から ${\Delta }_{i+1}$ に変わるとき、取引コストは

$$ϵ|{\Delta }_{i+1}-{\Delta }_i|S_{t_i}.$$

$\Delta$ はブラック・ショールズのデルタで、その変化は主にガンマと原資産の変動に起因します。テイラー展開で

$${\Delta }_{i+1}-{\Delta }_i\approx {\Gamma }_i\Delta S_i+\text{(時間の項)}.$$

主要項は ${\Gamma }_i\Delta S_i$ です。$\Delta S_i$ の典型的な大きさは $\sigma S_i\sqrt{\Delta t}$ ですから、デルタの変化の絶対値の期待値は

$$\mathbb{E}[|{\Delta }_{i+1}-{\Delta }_i|]\approx \mathbb{E}[|{\Gamma }_i|\sigma S_i\sqrt{\Delta t}].$$

1回あたりのコストの期待値は

$$ϵ\mathbb{E}[|{\Gamma }_i|\sigma S_i^2\sqrt{\Delta t}].$$

$n$ 回の合計は、$\Delta t=T/n$ を使って

$$n\cdot ϵ{\bar{C}}_1\sqrt{T/n}=ϵ{\bar{C}}_1\sqrt{T}\cdot \sqrt{n}$$

ここで ${\bar{C}}_1$ は1回あたりの $\mathbb{E}[|{\Gamma }_i|\sigma S_i^2]$ の平均的な値です。累積コストは $\sqrt{n}$ に比例して増加します。初回の建玉（保有ゼロから ${\Delta }_0$ を買う）と満期の手仕舞いのコストは、デルタの変化が $\sqrt{\Delta t}$ のオーダーにならず、回数によらない大きさなので、この評価から除いています。 ∎

THM-DH-1 の証明の骨格

各ステップのヘッジ誤差は、テイラー展開（伊藤の補題の離散版）から

$$e_i\approx \frac{1}{2}{\Gamma }_i((\Delta S_i{)}^2-{\sigma }^2{S}_i^2\Delta t).$$

$(\Delta S_i{)}^2$ の期待値は ${\sigma }^2{S}_i^2\Delta t$ なので $\mathbb{E}[e_i]\approx 0$。分散は $(\Delta S_i{)}^2$ の分散に比例し、$\Delta t^2\propto 1/n^2$ のオーダーです。$n$ 個のステップの和の分散は $n\cdot O(1/n^2)=O(1/n)$ で、$n$ に反比例します。標準偏差は $O(1/\sqrt{n})$ です。 ∎

THM-DH-3 の証明の骨格

誤差の標準偏差は $A/\sqrt{n}$、コストは $B\sqrt{n}$ の形をしています（$A,B>0$ は定数）。和は

$$f(n)=\frac{A}{\sqrt{n}}+B\sqrt{n}.$$

$f^{\prime }(n)=-\frac{A}{2n^{3/2}}+\frac{B}{2\sqrt{n}}=0$ を解くと $n^{\ast }=A/B$ で、$n<n^{\ast }$ では $f^{\prime }<0$、$n>n^{\ast }$ では $f^{\prime }>0$ なので、ここに最小値が存在します（正確には離散最適化ですが、連続緩和で位置が分かります）。$n<n^{\ast }$ では誤差が支配的で頻度を上げるべき、$n>n^{\ast }$ ではコストが支配的で頻度を下げるべきです。 ∎

5. 反例 ― 頻度を上げすぎると悪化する

CEX-DH-1: 取引コストで総損益が悪化する

取引コスト $ϵ=0.001$（0.1%）を入れて、組み替え回数を変えた結果です。

回数	平均損益	標準偏差	平均コスト
12	$-0.2106$	$1.9410$	$0.2303$
52	$-0.3565$	$0.9731$	$0.3502$
252	$-0.6336$	$0.4890$	$0.6185$
1000	$-1.1213$	$0.4332$	$1.0973$

コストなしでは頻度を上げるほど標準偏差が小さくなりました。しかしコストを入れると、1000回のケースでは平均コストが $1.0973$ に達し、オプション価格 $10.4506$ の約10%を食います。平均損益は $-1.1213$ で、コストが利益を大きく上回っています。

CEX-DH-2: 期待値が0でもばらつきが大きい

コストなし、252回の場合のヘッジ誤差の分布を見ます。平均は $0.0015$（ほぼゼロ）ですが、標準偏差は $0.4397$ です。5パーセンタイルは $-0.7209$、95パーセンタイルは $0.718$ です。

つまり、10回に1回はおよそ $0.72$ を超える大きさの誤差が出ます。オプション価格 $10.4506$ の約6.9%です。期待値がゼロだからヘッジは完璧だ、とは言えません。個々の取引では無視できない損失が発生します。

CEX-DH-3: 満期直前の誤差の急増

252回の等間隔ヘッジで、満期直前の誤差が前半に比べてどれだけ大きいかを測ります。

期間	RMS誤差
前半（$t<0.5$）	$0.0219$
残り10%（$t>0.9$）	$0.0445$

残り10%の期間の誤差は前半の $2.03$ 倍です。原因はガンマの急増です。アット・ザ・マネーのガンマは $\tau =0.5$ で $0.0274$、$\tau =0.01$ で $0.1993$ と、$7.29$ 倍に膨らみます。

満期直前はデルタが0と1の間を急激に行き来するため、少しの株価変動で保有量が大きく変わります。同じ頻度でヘッジしていると、この変化に追いつけません。

この節のまとめです。コストを入れると頻度を上げすぎた場合に総損益が悪化し、期待値ゼロでもばらつきは大きく、満期直前はガンマの急増で誤差が倍増します。

6. 数値例 ― 組み替え回数を変えて総損益を比べる

誤差の標準偏差と平均コストの和を指標にして、最適な回数を探します。

回数	誤差 SD	平均コスト	合計
12	$1.9531$	$0.2312$	$2.1843$
24	$1.3741$	$0.2770$	$1.6512$
52	$0.9537$	$0.3498$	$1.3035$
100	$0.7020$	$0.4346$	$1.1366$
150	0.5813	0.5039	1.0853
200	$0.5288$	$0.5640$	$1.0928$
252	$0.4903$	$0.6206$	$1.1109$
400	$0.4315$	$0.7493$	$1.1808$
600	$0.4120$	$0.8803$	$1.2923$
1000	$0.4402$	$1.0987$	$1.5389$

合計が最小になるのは $n=150$（合計 $1.0853$）です。$n=150$ はおおよそ1.7営業日に1回の頻度です。

• $n<150$: 誤差が支配的で、頻度を上げると改善します。
• $n>150$: コストが支配的で、頻度を上げると悪化します。

コストなし（$ϵ=0$）であれば $n$ を増やすほど良くなりますが、$ϵ>0$ の現実では最適点が存在します。THM-DH-3 の予測どおりです。

コストなしでの標準偏差の比も確認します。$n=12$ での標準偏差は $1.9584$、$n=252$ では $0.4397$ で、比は $4.45$ です。理論上の $\sqrt{252/12}=4.58$ に近く、「$1/\sqrt{n}$」のスケーリングが成り立っています。

この節のまとめです。誤差は $1/\sqrt{n}$ で縮み、コストは $\sqrt{n}$ で増えます。両者の和が最小になる最適回数が存在し、今回のパラメータでは約150回です。

7. 次回へ ― 1987年が変えたもの

今回は、ブラック・ショールズの理論がそのまま使える世界で、離散性と取引コストだけを考えました。しかし現実のヘッジにはもう一つ大きな問題があります。ブラック・ショールズの仮定そのものが壊れることです。次回（第76回）では、1987年の暴落が市場の構造をどう変えたかを出発点に、仮定が壊れたときに何が起きるかを扱います。

次のマイルストーンまであと 2 本です。

よくある質問

どのくらいの頻度でヘッジすべきですか

コストと誤差の兼ね合いで決まります。日次程度が実務の目安です。

誤差はゼロにできますか

できません。連続的に組み替えられない限り必ず残ります。

満期直前が難しいのはなぜですか

デルタが急激に変わるからです。少し動くだけで必要な保有量が大きく変わります。

参考文献

1. Leland H. E.、Option Pricing and Replication with Transactions Costs、The Journal of Finance、1985年、DOI 10.2307/2327554
2. Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年

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数値例は compute.py により乱数シード42、1万本の標本路で計算。