第80回 ベガ ― ボラティリティが動いたときの感応度

位置: 第8部 第80回 / 前提: 第70回（ブラック・ショールズ公式）、第79回（ガンマ） / 数学編: M6 / この回でできるようになること: ボラティリティが動いたときのオプション価格の変化を、ベガで見積もることができる

0. 物語 ― 満期が近いほど敏感なのか

手元に100万円分のコールオプションを持っていて、満期まであと1年残っているとします。市場のボラティリティの推定値が1ポイント上がったとき、このポジションの価値はおよそ3万6000円動きます。かなり大きな金額です。

前回学んだガンマでは、満期が近づくほど感応度が急激に大きくなりました。同じ直感をボラティリティの感応度にも当てはめたくなります。「満期が近いほど、ボラティリティの変動に対しても敏感になるのだろう」と。

ところが実際に計算してみると、結果は逆です。満期まで1年あるときのボラティリティ感応度はおよそ38ですが、残り半年では27、残り1か月ほどでは13、そして満期まであと数日になると4程度にまで縮みます。満期に近づくとボラティリティへの感応度はむしろ小さくなるのです。

なぜこうなるのでしょうか。ガンマとベガの間には「原資産価格の二乗かける、ボラティリティかける、残存期間」という掛け算の関係があります。ガンマが満期近くで急増しても、掛け算の中の残存期間がゼロに近づくため、積としてのベガは小さくなります。ガンマの直感をそのまま持ち込むと、リスク管理の判断を誤ることになります。

この回では、オプション価格をボラティリティで微分した量「ベガ」の正確な形を導き、コールでもプットでも同じ値になること、そして残存期間が短くなるとベガがゼロに向かうことを証明します。

1. 動機 ― ボラティリティが動くと価格はどうなるか

この回を読み終えると、ボラティリティが動いたときのオプション価格の変化を、ベガで見積もることができます。

デルタは原資産価格の変化に対する感応度、ガンマはそのデルタの変化率でした。しかしオプション価格を動かす変数はもうひとつあります。ボラティリティ $\sigma$ です。

市場でボラティリティの推定値が 1 ポイント上がったとき、手持ちのオプションの価値はどれだけ動くのか。この感応度をベガと呼びます。ベガはギリシャ文字ではありませんが、グリークスの一員として広く使われています。

今回は、ブラック・ショールズの価格式を $\sigma$ で偏微分し、ベガの閉じた形を導きます。コールとプットでベガが一致すること、ガンマとの明快な関係式、そして残存期間が短くなるとベガが小さくなる性質を証明します。

この記事で証明すること

• THM-VG-1 ベガの閉じた形を導出し、コールとプットで同じ値になることを示します。
• THM-VG-2 ベガはガンマに $S^2\sigma T$ を掛けた量に等しいことを示します。
• THM-VG-3 ベガは満期に近い範囲では残存期間 $T$ が長いほど大きく、$T\to 0$ でゼロに収束することを示します。

2. 設定と仮定 ― 一定ボラティリティの式を微分する

以下の仮定をおきます。

• ブラック・ショールズの枠組み: 原資産は幾何ブラウン運動に従い、市場は無裁定・完備とします。
• ボラティリティを動かすが、価格式は一定ボラティリティのものを使う: $\sigma$ は定数として導いた価格式を、$\sigma$ の関数とみなして微分します。
• ヨーロピアン型、配当なし: 早期行使や配当は考えません。
• グリークスは偏微分として定義する: 他の変数を固定したまま $\sigma$ だけを動かします。

第70回で導いたブラック・ショールズのコール価格は

$$C_t=S_{t}N(d_1)-K{e}^{-r(T-t)}N(d_2)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

であり、

$$\begin{array}{rl}{d}_1& =\frac{\ln (S_t/K)+(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}},\\ d_2& =d_1-\sigma \sqrt{T-t}\end{array}$$

です。ここで $N(\cdot )$ は標準正規分布の分布関数、$\phi (\cdot )$ はその密度関数です。

ベガを次のように定義します。

$$\text{Vega}=\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }$$

以降は表記を簡潔にするため $\tau =T-t$（残存期間）とおきます。

この節のまとめ: 一定ボラティリティで導いた BS 公式を $\sigma$ の関数とみなし、その偏微分としてベガを定義します。

3. 主張 ― コールとプットで一致する

定理 THM-VG-1（ベガの閉形式） ブラック・ショールズの枠組みにおいて、コールのベガは

$$\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }=S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)$$

である。プットのベガも同じ値に等しい。

定理 THM-VG-2（ガンマとの関係） ベガとガンマの間には次の関係が成り立つ。

$$\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }=\Gamma \cdot S_t^2\cdot \sigma \cdot \tau$$

ここで $\Gamma =\frac{\phi (d_1)}{S_t\sigma \sqrt{\tau }}$ である。

定理 THM-VG-3（残存期間についての振る舞い） $\phi (d_1)>0$ のもとで、ベガ $=S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)$ は $\tau >0$ で正であり、$\tau \to 0^{+}$ でゼロに収束する。さらに $S_t=K$ を固定し、$a=(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)/\sigma$ とおくと、ベガは $0<\tau <1/a^2$ で $\tau$ について狭義単調増加し、$\tau >1/a^2$ で狭義単調減少する。

この節のまとめ: ベガの閉形式は $S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)$ であり、コールとプットで一致します。ガンマとは $S_t^2\sigma \tau$ 倍の関係にあります。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 価格式をボラティリティで微分する

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第6回「微分と積分の交換」へ。

THM-VG-1 の証明

(1.1) を $\sigma$ で微分します。$S_t$, $K$, $r$, $\tau$ は $\sigma$ に依存しないので、連鎖律から

$$\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }=S_t\phi (d_1)\frac{\partial d_1}{\partial \sigma }-K{e}^{-r\tau }\phi (d_2)\frac{\partial d_2}{\partial \sigma }\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

となります。ここで $N^{\prime }(x)=\phi (x)$ を使いました。

まず、$S_t\phi (d_1)=K{e}^{-r\tau }\phi (d_2)$ が成り立つことを確認します。$d_2=d_1-\sigma \sqrt{\tau }$ ですから

$$\phi (d_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{1}{2}(d_1-\sigma \sqrt{\tau }{)}^2)$$

指数部分を展開します。

$$-\frac{1}{2}(d_1-\sigma \sqrt{\tau }{)}^2=-\frac{1}{2}{d}_1^2+d_1\sigma \sqrt{\tau }-\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau$$

$d_1$ の定義から $d_1\sigma \sqrt{\tau }=\ln (S_t/K)+(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)\tau$ です。代入すると

$$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{2}{d}_1^2+\ln \frac{S_t}{K}+r\tau +\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau -\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau \\ & =-\frac{1}{2}{d}_1^2+\ln \frac{S_t}{K}+r\tau \end{array}$$

したがって

$$\phi (d_2)=\phi (d_1)\cdot \frac{S_t}{K}{e}^{r\tau }$$

両辺に $K{e}^{-r\tau }$ を掛けると

$$K{e}^{-r\tau }\phi (d_2)=S_t\phi (d_1)\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

が得られます。この等式は BS 公式のグリークス計算で繰り返し使う基本関係です。

次に $\frac{\partial d_1}{\partial \sigma }$ と $\frac{\partial d_2}{\partial \sigma }$ を求めます。$d_1$ の分子を $\sigma$ で微分すると $\sigma \tau$ が出て、分母の微分と合わせて

$$\frac{\partial d_1}{\partial \sigma }=\frac{\sigma \tau \cdot \sigma \sqrt{\tau }-[\ln (S_t/K)+(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)\tau ]\sqrt{\tau }}{{\sigma }^2\tau }$$

分子の第一項は ${\sigma }^2\tau \sqrt{\tau }$ です。分子全体を $\sqrt{\tau }$ でくくると

$$=\frac{\sqrt{\tau }[{\sigma }^2\tau -\ln (S_t/K)-(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)\tau ]}{{\sigma }^2\tau }$$

角括弧内を整理します。${\sigma }^2\tau -r\tau -\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau =\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau -r\tau$ ですから

$$\frac{\partial d_1}{\partial \sigma }=\frac{-\ln (S_t/K)+(\frac{1}{2}{\sigma }^2-r)\tau }{{\sigma }^2\sqrt{\tau }}=-\frac{d_2}{\sigma }\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

最後の等号は $d_2=\frac{\ln (S_t/K)+(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)\tau }{\sigma \sqrt{\tau }}$ であることから確認できます。

$d_2=d_1-\sigma \sqrt{\tau }$ を $\sigma$ で微分すると

$$\frac{\partial d_2}{\partial \sigma }=\frac{\partial d_1}{\partial \sigma }-\sqrt{\tau }=-\frac{d_2}{\sigma }-\sqrt{\tau }=-\frac{d_1}{\sigma }\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

最後の等号は $d_2+\sigma \sqrt{\tau }=d_1$ を $\sigma$ で割ったものではなく、$d_2/\sigma +\sqrt{\tau }=d_1/\sigma$ から従います（$d_1=d_2+\sigma \sqrt{\tau }$ の両辺を $\sigma$ で割る）。

(3.1) に (3.2), (3.3), (3.4) を代入します。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }& =S_t\phi (d_1)(-\frac{d_2}{\sigma })-S_t\phi (d_1)(-\frac{d_1}{\sigma })\\ & =\frac{S_t\phi (d_1)}{\sigma }(d_1-d_2)\\ & =\frac{S_t\phi (d_1)}{\sigma }\cdot \sigma \sqrt{\tau }\\ & =S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)\end{array}$$

$d_1-d_2=\sigma \sqrt{\tau }$ を使いました。

プットのベガ: プット・コール・パリティは $P_t=C_t-S_t+K{e}^{-r\tau }$ です。右辺の $S_t$ と $K{e}^{-r\tau }$ は $\sigma$ に依存しませんから

$$\frac{\partial P_t}{\partial \sigma }=\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }=S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)$$

コールとプットのベガは一致します。 ∎

THM-VG-2 の証明

第79回で導いたガンマの閉形式は

$$\Gamma =\frac{{\partial }^2{C}_t}{\partial S_t^2}=\frac{\phi (d_1)}{S_t\sigma \sqrt{\tau }}\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

です。(3.5) から $\phi (d_1)=\Gamma \cdot S_t\sigma \sqrt{\tau }$ を THM-VG-1 の結果に代入します。

$$\frac{\partial C_t}{\partial \sigma }=S_t\sqrt{\tau }\cdot \Gamma \cdot S_t\sigma \sqrt{\tau }=\Gamma \cdot S_t^2\cdot \sigma \cdot \tau$$

ベガはガンマに $S_t^2\sigma \tau$ を掛けた量に等しいです。 ∎

THM-VG-3 の証明

ベガ $=S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)$ において、$S_t>0$, $\phi (d_1)>0$, $\sqrt{\tau }>0$（$\tau >0$ のとき）なので、ベガは正です。

$\tau \to 0^{+}$ の極限を調べます。アット・ザ・マネーの場合（$S_t=K{e}^{-r\tau }$、すなわち $\ln (S_t/K)=-r\tau$）、

$$d_1=\frac{-r\tau +(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)\tau }{\sigma \sqrt{\tau }}=\frac{\frac{1}{2}{\sigma }^2\tau }{\sigma \sqrt{\tau }}=\frac{\sigma \sqrt{\tau }}{2}\to 0$$

よって $\phi (d_1)\to \phi (0)=1/\sqrt{2\pi }$ で有界です。ベガ $=S_t\sqrt{\tau }\phi (d_1)\to 0$ となります。

一般の場合（$S_t\ne K{e}^{-r\tau }$）、$\tau \to 0^{+}$ で $|d_1|\to \infty$ となり、$\phi (d_1)$ はガウス関数の裾で指数的に減衰します。$\sqrt{\tau }$ の増加よりもはるかに速く $\phi (d_1)$ が減衰するため、ベガはやはりゼロに収束します。

最後に単調性を調べます。$S_t=K$ を固定すると $\ln (S_t/K)=0$ なので $d_1=a\sqrt{\tau }$ で、ベガは $K\sqrt{\tau }\phi (a\sqrt{\tau })$ です。増減を見やすくするため対数をとると

$$\ln \text{Vega}=\ln K-\frac{1}{2}\ln (2\pi )+\frac{1}{2}\ln \tau -\frac{1}{2}{a}^2\tau$$

で、$\tau$ で微分すると

$$\frac{\partial \ln \text{Vega}}{\partial \tau }=\frac{1}{2\tau }-\frac{a^2}{2}$$

です。これは $\tau <1/a^2$ で正、$\tau >1/a^2$ で負なので、ベガは $\tau =1/a^2$ まで狭義単調増加し、その後は狭義単調減少します。

したがって、満期に近づくとベガはゼロに向かい、満期に近い範囲では残存期間が長いほどベガは大きくなります。ただし残存期間を際限なく長くするとベガは再び小さくなるので、全ての $\tau$ で「長いほど大きい」わけではありません。 ∎

5. 反例 ― 一定と仮定した量を動かす矛盾

反例 CEX-VG-1: モデルの仮定との矛盾

ブラック・ショールズ・モデルはボラティリティ $\sigma$ が定数であることを仮定しています。にもかかわらず、ベガは「$\sigma$ が動いたら価格がどう変わるか」を測っています。定数だと仮定したものの微分を取るのは、論理的には矛盾した操作です。

この矛盾にもかかわらず、小さな変動に対する近似としては実用的です。基準パラメータ $S=100$, $K=100$, $r=5\%$, $\sigma =20\%$, $T=1$ で確認します。$\sigma$ を 1 ポイント（0.01）動かしたとき、

• 実際の価格変化: $10.826287-10.450584=0.375704$
• ベガによる予測: $37.524035\times 0.01=0.375240$
• 誤差: $0.000463$

誤差はごくわずかです。しかし 10 ポイント（0.10）動かすと、

• 実際の価格変化: $3.7807$
• ベガによる予測: $3.7524$
• 誤差: $0.0283$（実際の変化に対して $0.75\%$）

変動が大きくなると近似の精度は落ちます。これは一次の微分だけを使った線形近似の限界です。

反例 CEX-VG-2: ベガが正なら常に得をするわけではない

オプションの買い手はベガが正です。つまりボラティリティが上がれば利益、下がれば損失です。$\sigma$ が $20\%$ から $18\%$ に下がったとき、

• コール価格の変化: $9.702341-10.450584=-0.7482$

ベガが正であることは、ボラティリティが上がることを前提にして初めて有利です。ボラティリティが下がる局面では、ベガが大きいほど損失も大きくなります。「ベガが大きい = 良い」という理解は一面的です。

反例 CEX-VG-3: 満期が近いほど敏感とは限らない

第79回で見たように、ガンマは ATM で満期が近づくほど大きくなります。同じ直感をベガに当てはめると間違います。ATM（$S=K=100$）での値を比較します。

$\tau$	ガンマ	ベガ
0.01	0.1993	3.9870
0.05	0.0889	8.8933
0.10	0.0627	12.5386
0.50	0.0274	27.3587
1.00	0.0188	37.5240

ガンマは $\tau \to 0$ で急増しますが、ベガは逆に小さくなります。THM-VG-2 の関係式 $\text{Vega}=\Gamma S^2\sigma \tau$ を見れば理由がわかります。$\Gamma$ が増えても、$\tau$ の減少が勝つため、積としてのベガは小さくなります。

この節のまとめ: 一定ボラティリティの仮定のもとでその微分を取るのは矛盾ですが、小さな変動に対しては良い近似です。ベガが正でもボラティリティが下がれば損失になり、満期近くではガンマと異なりベガは小さくなります。

6. 数値例 ― 残存期間を変えてベガを追う

基準パラメータ: $S=100$, $K=100$, $r=5\%$, $\sigma =20\%$。

ベガの値（$d_1=0.35$, $\phi (d_1)=0.375240$, $T=1$ のとき）:

$$\text{Vega}=100\times \sqrt{1}\times 0.375240=37.524035$$

数値微分での検算: コールのベガ $=37.524$、プットのベガ $=37.524$。一致しています。

残存期間ごとのベガ:

$T$	ベガ
0.1	12.5386
0.5	27.3587
1.0	37.5240
3.0	57.5002

$T$ が長いほどベガは大きくなります。$T=3$ では $T=0.1$ の約 4.6 倍です。これは THM-VG-3 の通りです。ただしこのパラメータでは $1/a^2=8.1633$ でベガは最大値 $69.1345$ を取り、$T=30$ では $34.79$ まで下がります。

原資産価格を振ったときのベガとガンマの比較:

$S$	ベガ	ガンマ
70	9.9969	0.010201
80	23.8057	0.018598
90	35.3480	0.021820
100	37.5240	0.018762
110	31.1854	0.012887
120	21.6007	0.007500
130	13.0367	0.003857

ベガもガンマも ATM 付近で最大ですが、ベガのピークは行使価格よりやや低い側（コールにとってはアウト・オブ・ザ・マネー側、表では $S=95$ で $37.7341$、解析的には $S=K{e}^{({\sigma }^2/2-r)T}=97.04$ で $37.9486$）にあります。形状は似た釣鐘型ですが、ガンマのピークの位置とは微妙にずれています。

ボラティリティ 1 ポイント変化の予測:

$\sigma$ が $20\%$ から $21\%$ に動くとき、

• BS 公式による実際の価格変化: $0.375704$
• ベガ $\times 0.01=0.375240$

差は $0.000463$ です。ベガは 1 ポイント程度の変動に対して極めて正確な予測を与えます。

ガンマとの関係の検算:

$$\begin{array}{rl}& \Gamma \times S^2\times \sigma \times \tau \\ & =0.018762\times 100^2\times 0.20\times 1\\ & =37.524035\end{array}$$

ベガの値と一致します。THM-VG-2 が数値で確認できました。

この節のまとめ: ベガは ATM 付近で最大、残存期間が長いほど大きくなります。1 ポイントの変動に対するベガの予測精度は高く、ガンマとの関係式も数値で確認できました。

7. 次回へ ― 時間が経つという損益

ベガはボラティリティの変動という不確実な要因の感応度でした。次回の第81回では、時間の経過という確定的な要因がオプション価格に与える影響を扱います。

次のマイルストーンまであと 8 本です。

よくある質問

なぜコールとプットで同じなのですか

プット・コール・パリティの差の部分は原資産価格と割引された行使価格の差であり、ボラティリティを含みません。したがってコールとプットをボラティリティで微分すると同じ値になります。

ベガはギリシャ文字ではないと聞きました

そのとおりです。ギリシャ文字に該当する語が無いので、慣習的にこう呼ばれています。

矛盾した量を計算していいのですか

厳密には一貫しません。実務では近似として広く使われています。

参考文献

• Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年
• Wilmott P.、Paul Wilmott on Quantitative Finance、第2版、Wiley、2006年