第81回セータ ― 時間の経過という確定的な損益

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2026年9月25日

位置: 第8部第81回 / 前提: 第74回（デルタとガンマの損益分解）、第79回（ガンマ） / 数学編: M6（偏微分） / この回でできるようになること: 時間が経ったときのオプション価格の変化をセータで計算し、ガンマとの釣り合いを説明できる

0. 物語 ― セータが正になるプット

「オプションは時間が経つと減価する。だから売り持ちにすれば毎日少しずつ儲かる」。そう信じたトレーダーが、プットの売り持ちで痛い目を見ました。

彼が売ったのは、株価が大きく下がった後の、深いイン・ザ・マネーのプットでした。株価は80、行使価格は100。満期まで1年、金利は年5パーセント、ボラティリティは年20パーセントです。プットの価格は約17です。彼はこのプットを売り、翌日の値下がりで小銭を稼ぐつもりでした。

ところが翌日、株価がまったく動かなかったのに、プットの価格はわずかに上がっていました。1年あたりに換算すると、およそ1.6の上昇です。時間が経てば安くなるはずのオプションが、逆に高くなったのです。売り持ちのトレーダーは、何もしていないのに含み損を抱えました。

原因は「割引の巻き戻し」です。深いイン・ザ・マネーのプットは、満期に行使価格を受け取る権利にほぼ等しくなります。行使価格の現在価値は、満期が近づくほど大きくなります。この現在価値の増加が、オプション本来の時間価値の減少を上回ると、プットの価格は時間とともに上がります。

株価をさらに下げて20にすると、この効果はもっと顕著になり、年あたり約4.8もの上昇になります。コールでは決して起こらない現象が、プットでは起こるのです。

セータという数字は、時間が1日経ったときにオプション価格がどれだけ動くかを教えてくれます。コールのセータは常に負ですが、プットではそうとは限りません。「オプションは毎日目減りする」という直感は、半分だけ正しく、半分は間違いです。この回では、なぜそうなるのかを、ブラック・ショールズの方程式から証明します。

1. 動機 ― 何もしなくても価格は動く

この回を読み終えると、時間が経ったときのオプション価格の変化をセータで計算し、ガンマとの釣り合いを説明できます。

原資産が動かなくても、オプションの価格は変わります。満期に1日近づいただけで、多くの場合コールもプットも値段が下がるのを観察できます。デルタやガンマが「原資産の動き」に対する感応度であったのに対し、セータは「時間の経過」に対する感応度です。

デルタヘッジをした翌日、原資産がまったく動かなかったとしても、ポジションの価値は変わります。この変化を予測し、ガンマによる利益とのバランスを見るのが、セータの役割です。第74回で見た損益分解の「時間の項」を、ここで正確に定義します。

この記事で証明すること

THM-TH-1 セータはブラック・ショールズの閉形式で書けます。配当なしのコールでは常に負です。
THM-TH-2 ブラック・ショールズ方程式は、セータとガンマと金利項の和が $0$ になることを述べています。コールではガンマが正なのでセータは負になります。
THM-TH-3 深いイン・ザ・マネーのプットでは、行使価格の割引が効いてセータが正になる場合があります。

この節のまとめ：セータは、原資産を動かさずに時間だけを進めたときの価格変化を記述するグリークスです。

2. 設定と仮定 ― 時間だけを動かす

ブラック・ショールズの枠組みを仮定します。

原資産価格 $S_{t}$ は幾何ブラウン運動に従います。
金利 $r \geq 0$ は定数です。
ボラティリティ $σ$ は定数です。
ヨーロピアン型オプション、配当はありません。
グリークスはすべて偏微分として定義します。

時間の向きを明確にします。 $T$ は満期までの残存期間です。暦時間 $t$ が進むと $T$ は減ります。本記事では、セータを

Θ = - \frac{\partial C}{\partial T}

と定義します。残存期間 $T$ が減る方向、つまり暦時間が進む方向を正と取っています。コールの価格は $T$ が増えるほど（残存期間が長いほど）上がるので、 $\partial C / \partial T > 0$ です。したがってコールのセータは負です。負のセータは、時間の経過がオプションの保有者にとって損であることを意味します。

この節のまとめ： $Θ = - \partial C / \partial T$ と定義し、コールでは常に負（時間が経つと損）です。

3. 主張 ― ガンマが正ならセータは負

定理 THM-TH-1（セータの閉形式） 配当なしのヨーロピアン・コールのセータは

$Θ_{C} = - \frac{S φ ( d _{1} ) σ}{2 T} - r K e^{- r T} N (d_{2}) (1)$
である。右辺の2つの項はいずれも負であるから、 $Θ_{C} < 0$ が常に成り立つ。

定理 THM-TH-2（ブラック・ショールズ方程式による関係） ブラック・ショールズ方程式は

$Θ + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ + r S Δ - r C = 0 (2)$
と書ける。 $Γ > 0$ かつ $r (C - S Δ) \leq 0$ であるとき、 $Θ < 0$ である。配当なしのコールでは $C - S Δ = - K e^{- r T} N (d_{2}) < 0$ なので、 $Γ > 0$ から $Θ < 0$ が従う。

定理 THM-TH-3（プットでは正になりうる） 配当なしのヨーロピアン・プットのセータは

$Θ_{P} = - \frac{S φ ( d _{1} ) σ}{2 T} + r K e^{- r T} N (- d_{2}) (3)$
である。 $r > 0$ のとき、深いイン・ザ・マネー（ $S ≪ K$ ）では第2項が第1項を上回り、 $Θ_{P} > 0$ となる場合がある。

この節のまとめ：ブラック・ショールズ方程式がセータとガンマをつなぎ、ガンマが正であればセータは負になります。プットだけは金利項の向きが逆になるため、正のセータが生じ得ます。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 方程式の項を並べ替える

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第6回「微分と積分の交換」へ。

THM-TH-1 の証明

コール価格の閉形式は

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

です。 $T$ で偏微分します。 $d_{1}$ と $d_{2}$ はいずれも $T$ の関数なので、連鎖律を使います。

\frac{\partial C}{\partial T} = S φ (d_{1}) \frac{\partial d _{1}}{\partial T} - K e^{- r T} φ (d_{2}) \frac{\partial d _{2}}{\partial T} + r K e^{- r T} N (d_{2}) (4.1)

第3項は $e^{- r T}$ の $T$ に関する微分 $(- r e^{- r T})$ に符号がつき $+ r K e^{- r T} N (d_{2})$ になります。 $e^{- r T}$ を $T$ で微分すると $- r e^{- r T}$ ですが、元の項が $- K e^{- r T} N (d_{2})$ なので、微分すると $- K (- r e^{- r T}) N (d_{2}) = r K e^{- r T} N (d_{2})$ です。

ここで恒等式 $S φ (d_{1}) = K e^{- r T} φ (d_{2})$ を使います。これは $d_{1} - d_{2} = σ T$ と正規分布の密度関数の性質から導かれます（第74回で確認済み）。この恒等式により、(4.1) の第1項と第2項は

S φ (d_{1}) (\frac{\partial d _{1}}{\partial T} - \frac{\partial d _{2}}{\partial T})

とまとまります。 $d_{1} - d_{2} = σ T$ の両辺を $T$ で微分すると

\frac{\partial d _{1}}{\partial T} - \frac{\partial d _{2}}{\partial T} = \frac{σ}{2 T}

ですから、第1項と第2項の和は

S φ (d_{1}) \frac{σ}{2 T}

です。したがって

\frac{\partial C}{\partial T} = \frac{S φ ( d _{1} ) σ}{2 T} + r K e^{- r T} N (d_{2})

となります。右辺の第1項は $S > 0$ 、 $φ (d_{1}) > 0$ 、 $σ > 0$ 、 $T > 0$ から正で、第2項は $r \geq 0$ 、 $K > 0$ 、 $N (d_{2}) > 0$ から非負です（金利が負なら第2項が負になり、この結論は成り立たないことがあります）。よって $\partial C / \partial T > 0$ です。

セータの定義 $Θ_{C} = - \partial C / \partial T$ に代入すると

Θ_{C} = - \frac{S φ ( d _{1} ) σ}{2 T} - r K e^{- r T} N (d_{2})

が得られます。右辺は負の項と非正の項の和なので、 $Θ_{C} < 0$ です。 ∎

THM-TH-2 の証明

ブラック・ショールズ方程式は、暦時間 $t$ を用いて

\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} C}{\partial S ^{2}} + r S \frac{\partial C}{\partial S} - r C = 0

と書けます。 $T = T_{maturity} - t$ なので $\partial C / \partial t = - \partial C / \partial T$ です。グリークスの記号で書き換えると

Θ + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ + r S Δ - r C = 0

これが (2) です。 $Θ$ について解くと

Θ = - \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ - r S Δ + r C (4.2)

です。右辺の第2項と第3項をまとめると $r (C - S Δ)$ です。右辺の第1項 $- \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ$ は $Γ > 0$ のとき負なので、 $r (C - S Δ) \leq 0$ なら $Θ < 0$ です。コールでは $Δ = N (d_{1})$ を価格式に代入すると $C - S Δ = - K e^{- r T} N (d_{2}) < 0$ なので、 $r \geq 0$ のもとでこの条件が成り立ち、THM-TH-1 と同じ結論 $Θ_{C} < 0$ が得られます。一方プットでは $Δ = N (d_{1}) - 1$ から $P - S Δ = K e^{- r T} N (- d_{2}) > 0$ となり、 $Γ > 0$ でも $Θ$ が正になりえます（THM-TH-3）。ガンマが正というだけではセータの符号は決まりません。

方程式 (2) の意味を言葉にします。デルタヘッジされたポートフォリオでは、ガンマの項 $\frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ$ はオプション保有者の利益（凸性の利益）を表し、 $r S Δ - r C = - r (C - S Δ)$ はオプションを買い原資産を $Δ$ 単位空売りしたポジションの現金に付く金利を表します。方程式 (2) はこれらの利益とコストの合計がゼロになることを述べており、ガンマの利益が大きいほどセータの損が大きくなるというトレードオフが成り立ちます。 ∎

THM-TH-3 の証明

プット価格の閉形式は

P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S N (- d_{1})

です。THM-TH-1 と同様に $T$ で偏微分します。 $N (- d_{2})$ と $N (- d_{1})$ の微分には $φ (- d_{2}) = φ (d_{2})$ 、 $φ (- d_{1}) = φ (d_{1})$ を使います。

$e^{- r T}$ の微分から $- r K e^{- r T} N (- d_{2})$ が出ます。コールのときと同じ恒等式を使い、 $φ$ を含む項をまとめると

\frac{\partial P}{\partial T} = \frac{S φ ( d _{1} ) σ}{2 T} - r K e^{- r T} N (- d_{2})

を得ます。第1項は正、第2項は負です。セータは

Θ_{P} = - \frac{S φ ( d _{1} ) σ}{2 T} + r K e^{- r T} N (- d_{2})

です。深いイン・ザ・マネー（ $S ≪ K$ ）では $N (- d_{2}) \to 1$ かつ $φ (d_{1}) \to 0$ となるため、第2項 $r K e^{- r T}$ が支配的になり、 $Θ_{P} > 0$ になります。

直感的には、深いイン・ザ・マネーのプットは「満期に $K$ を受け取る権利」に近く、その現在価値 $K e^{- r T}$ は暦時間が進む（ $T$ が減る）ほど大きくなります。割引の巻き戻しが、オプションの時間価値の減衰を上回るのです。 ∎

5. 反例 ― プットでは正になることがある

CEX-TH-1: セータは常に負である、という理解が壊れる

コールのセータは常に負ですが、プットでは違います。 $K = 100$ , $r = 5%$ , $σ = 20%$ , $T = 1$ で原資産価格 $S$ を変えてみます。

$S$	プット価格	$Θ_{P}$	正か
$100$	$5.5735$	$- 1.657880$	いいえ
$80$	$16.9824$	$1.580857$	はい
$60$	$35.1774$	$4.506674$	はい
$40$	$55.1230$	$4.755918$	はい
$20$	$75.1229$	$4.756147$	はい

$S = 80$ 以下では $Θ_{P}$ が正に転じています。符号が変わるのは $S = 87.5$ で、イン・ザ・マネーに入っただけでは足りません。たとえば $S = 90$ のプットはイン・ザ・マネーですが、 $Θ_{P} = - 0.458334$ とまだ負です。 $S = 20$ では $Θ_{P} = 4.756147$ です。残存期間が1日減ると、プット価格は約 $4.756147/365 = 0.0130$ だけ上がります。行使価格 $K = 100$ の割引現在価値の増加が、時間価値の減少を上回っているためです。

CEX-TH-2: 時間が経てば必ず損をする、という理解が壊れる

デルタヘッジしたコールのロングポジションでは、1日のセータ損失は $∣ Θ_{C} ∣/365 = 0.017573$ です。一方、原資産が $Δ S$ だけ動くとガンマによる利益 $\frac{1}{2} Γ (Δ S)^{2}$ が生じます。

$Γ = 0.018762$ を使うと、ブレークイーブンの動きは

∣Δ S ∣ = \frac{2 \times ∣ Θ _{C} ∣/365}{Γ} = \frac{2 \times 0.017573}{0.018762} = 1.3687

です。

$Δ S$	ガンマ利益	セータ損失	合計
$3.0$	$0.084429$	$0.017573$	$+ 0.066856$
$1.0$	$0.009381$	$0.017573$	$- 0.008192$

$Δ S = 3$ のように大きく動いた日は、ガンマの利益がセータの損を上回ります。 $Δ S = 1$ 程度の小さな動きでは、セータの損が勝ちます。「時間が経てば必ず損」ではなく、原資産の動きの大きさとセータ・ガンマのバランスで決まるのです。

CEX-TH-3: 時間の向きの取り違え

本記事では $Θ = - \partial C / \partial T$ （ $T$ は残存期間）としました。コールのセータは $- 6.414028$ です。

一方、 $T$ で微分した値そのもの $\partial C / \partial T$ を「セータ」と呼ぶ文献もあります。その場合、同じオプションのセータは $+ 6.414028$ と正の値になります。符号が反転するだけで計算の中身は変わりませんが、文献を参照する際は定義を確認してください。

この節のまとめ：プットでは金利項の符号が逆になるため、深いイン・ザ・マネーでセータが正になります。ガンマとセータは表裏の関係にあり、原資産が大きく動けばガンマの利益がセータの損を上回ります。

6. 数値例 ― 1日あたりの目減りを計算する

$S = 100$ , $K = 100$ , $r = 5%$ , $σ = 20%$ , $T = 1$ で計算します。

コールの価格は $C = 10.4506$ です。 $d_{1} = 0.35$ , $d_{2} = 0.15$ で、 $φ (d_{1}) = 0.375240$ です。(1) に代入すると

Θ_{C} = - \frac{100 \times 0.3752 \times 0.20}{2 1} - 0.05 \times 100 \times e^{- 0.05} \times N (0.15) = - 3.7524 - 2.6616 = - 6.414028

です。1日あたりの目減りは $Θ_{C} /365 = - 0.017573$ です。

プットのセータは $Θ_{P} = - 1.657880$ で、1日あたり $- 0.004542$ です。コールより目減りが小さいのは、(3) の第2項 $r K e^{- r T} N (- d_{2})$ が正で、第1項の負を一部打ち消すからです。

ブラック・ショールズ方程式の検証を数値で行います。 $Δ = N (d_{1}) = 0.636831$ , $Γ = 0.018762$ として (2) の各項を計算します。

項	式	値
$Θ$		$- 6.414028$
$\frac{1}{2} σ^{2} S^{2} Γ$	$0.5 \times 0.04 \times 10000 \times 0.018762$	$3.752403$
$r S Δ$	$0.05 \times 100 \times 0.636831$	$3.184153$
$- r C$	$- 0.05 \times 10.4506$	$- 0.522529$

和は $- 6.414028 + 3.752403 + 3.184153 - 0.522529 = 0.000000$ です。方程式が成り立つことを確認できます。

1日後の価格変化をセータで予測します。 $S$ を $100$ に固定したまま残存期間を $1 - 1/365$ に変えると、翌日のコール価格は $C = 10.433003$ です。

Δ C = 10.433003 - 10.450584 = - 0.017581

セータによる予測は $Θ_{C} /365 = - 0.017573$ で、誤差は $- 0.000008$ です。一次近似としてきわめて正確です。

プットも同様に、翌日の価格は $P = 5.568977$ で、変化は $- 0.004549$ 、セータ予測は $- 0.004542$ 、誤差は $- 0.000007$ です。

この節のまとめ：セータは1日あたりの価格の目減りを高い精度で予測します。ブラック・ショールズ方程式の各項を数値で並べると、和がゼロになることが確認できます。

7. 次回へ ― 残りの感応度

セータがガンマと表裏一体であることを見ました。オプションの感応度にはまだ金利に対するローや、デルタのデルタであるガンマの先にある高次のグリークスが残っています。次回（第82回）では、これらをまとめて扱います。

次のマイルストーンまであと 7 本です。

よくある質問

セータが負だと損なのですか

時間が経つだけなら損です。ただし原資産が動けばガンマで取り返せます。

プットでセータが正になるのはなぜですか

行使価格を受け取る権利の現在価値が、時間が経つと上がるからです。

符号の約束が本によって違うのですか

違います。残存期間で微分するか暦時間で微分するかで反転します。定義を確認してください。

参考文献

Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年
Wilmott P.、Paul Wilmott on Quantitative Finance、第2版、Wiley、2006年

第81回 セータ ― 時間の経過という確定的な損益