第92回金利市場モデルとキャップ、スワプション ― 観測できる金利を直接扱う

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2026年9月25日

位置: 第9部第92回 / 前提: 第64回、第73回、第91回 / 数学編: M23 / この回でできるようになること: キャップの価格を Black 式で計算し、どの測度でどの金利がマルチンゲールになるかを説明できる

0. 物語 ― すべてのフォワードレートを同じ測度で扱う誤り

商店街の福引きを思い浮かべてください。1等から3等まで、それぞれ別の箱にくじが入っています。各箱のくじの比率は異なるので、当たる確率を正しく出すには箱ごとに数える必要があります。ところが、面倒だからと3つの箱のくじを全部1つの山に混ぜてしまったらどうなるでしょうか。混ぜた山で数えた当選確率は、どの箱にも正しく当てはまりません。

金利の世界でも同じことが起きます。3か月物、6か月物、1年物といった期間の異なるフォワードレート（将来の貸し借りの約束金利）は、それぞれ「自分専用のものさし」で測ったときだけ、平均的に動かない――つまり公正な値段のまま推移する――という性質を持っています。ところが、計算の都合で全部のフォワードレートを1つのものさしにまとめてしまうと、本来は不要だった補正を入れなければなりません。

この補正を忘れるとどうなるか。年5パーセントのフォワードレートが3本ある設定で試すと、あるキャップレット（変動金利が上限を超えたとき差額を受け取る権利）の値段が、補正を入れた場合は約54ベーシスポイントで正しい値と一致しますが、入れ忘れた場合は約56ベーシスポイントになります。差はおよそ2ベーシスポイントです。たった2ベーシスポイントでも、想定元本が数百億円のポートフォリオでは無視できない金額に膨らみます。

この記事で示すのは、各フォワードレートには専用のものさしがあり、ものさしを取り替えるときには必ず補正が付いてくる、という構造です。補正を正しく扱えれば、市場で観測できる金利をそのまま使ってキャップの値段を計算できます。

1. 動機 ― 市場で見える金利をそのまま使う

この回を読み終えると、キャップの価格を Black 式で計算し、どの測度でどの金利がマルチンゲールになるかを説明できます。

金利モデルの多くは「瞬間的な短期金利」を出発点にしています。ところが、短期金利は市場で直接観測できません。トレーダーが見ているのは、3か月物や6か月物の LIBOR のように、決まった期間の単利フォワードレートです。

金利市場モデル（Brace–Gatarek–Musiela、通称 BGM モデル、あるいは LIBOR Market Model）は、市場で観測できるフォワードレートそのものを確率変数として扱います。短期金利を経由しないため、キャップの市場価格と直接整合するモデルを作ることができます。

ただし、各フォワードレートはそれぞれ異なる測度のもとでマルチンゲールになるという構造を持ちます。複数のフォワードレートを同時に扱うスワプションでは、測度の取り替え（ギルサノフの定理）が本質的に必要になります。

この記事では、フォワード測度のもとでのマルチンゲール性を証明し、キャップレット価格の Black 式を導き、測度の取り替えに伴うドリフト補正を示します。

この記事で証明すること

THM-LMM-1 各期間の単利フォワードレートは、その期間の満期に対応する割引債を基準財とする測度のもとでマルチンゲールになります。
THM-LMM-2 フォワードレートが対数正規であると仮定すると、キャップレット価格は Black-76 と同じ形の式で与えられます。
THM-LMM-3 異なる期間のフォワードレートを同時に扱うには基準財を取り替える必要があり、そのときドリフト補正が現れます。

2. 設定と仮定 ― 期間ごとのフォワードレート

時間軸を有限個の点で区切ります。

0 = T_{0} < T_{1} < T_{2} < \dots < T_{n}

各期間 $[T_{i}, T_{i + 1}]$ の長さを $τ_{i} = T_{i + 1} - T_{i}$ と書きます。

割引債: $P (t, T)$ は時刻 $t$ から見た満期 $T$ の割引債価格です。 $P (T, T) = 1$ です。
フォワードレート: 期間 $[T_{i}, T_{i + 1}]$ の単利フォワードレート $F_{i} (t)$ は、割引債の比で定まります。

F_{i} (t) = \frac{1}{τ _{i}} (\frac{P ( t , T _{i} )}{P ( t , T _{i + 1} )} - 1) (1)

この定義を書き換えると

P (t, T_{i}) = P (t, T_{i + 1}) (1 + τ_{i} F_{i} (t)) (2)

となります。(2) は「期間の末の割引債に利息を付けると期間の初の割引債になる」という意味です。

仮定を整理します。

期間は有限個の区切りに分けます。
各フォワードレートは対数正規です。
基準財の取り替えはギルサノフの定理で正当化します。
数値に単位は付けません。

この設定の要点は、短期金利 $r$ をモデルの基本変数にしないことです。代わりにフォワードレート $F_{i} (t)$ を直接モデル化します。

3. 主張 ― 期間ごとに測度を選べばマルチンゲールになる

定理 THM-LMM-1（フォワード測度でのマルチンゲール性） 各期間 $[T_{i}, T_{i + 1}]$ の単利フォワードレート $F_{i} (t)$ は、 $P (\cdot, T_{i + 1})$ を基準財とする測度 $Q^{T_{i + 1}}$ （ $T_{i + 1}$ -フォワード測度）のもとでマルチンゲールである。すなわち

$E^{Q^{T_{i + 1}}} [F_{i} (T_{i}) ∣ F_{t}] = F_{i} (t) (3)$
が成り立つ。

定理 THM-LMM-2（キャップレットの Black 式） フォワードレート $F_{i}$ が $Q^{T_{i + 1}}$ のもとで対数正規に従うとき、行使レート $K$ のキャップレットの時刻0の価格は

$Cplt_{i} = P (0, T_{i + 1}) τ_{i} [F_{i} (0) N (d_{1}) - K N (d_{2})] (4)$
で与えられる。ここで

$d_{1} = \frac{ln ( F _{i} ( 0 ) / K ) + \frac{1}{2} σ _{i}^{2} T _{i}}{σ _{i} T _{i}}, d_{2} = d_{1} - σ_{i} T_{i}$
であり、 $σ_{i}$ は $F_{i}$ の対数正規ボラティリティ、 $N (\cdot)$ は標準正規分布の分布関数である。

定理 THM-LMM-3（測度の取り替えとドリフト補正） フォワードレート $F_{i}$ を $Q^{T_{j + 1}}$ （ $j > i$ ）のもとで記述するとき、 $F_{i}$ はマルチンゲールではなくなり、ドリフト補正

$μ_{i}^{(j)} = - σ_{i} k = i + 1 \sum j \frac{ρ _{ik} σ _{k} τ _{k} F _{k} ( t )}{1 + τ _{k} F _{k} ( t )} (5)$
が現れる。ここで $ρ_{ik}$ は $F_{i}$ と $F_{k}$ を駆動するブラウン運動の相関である。

この3つの定理が、金利市場モデルの骨格です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 割引債を基準財にとる

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第23回「ラドン・ニコディム微分」へ。

THM-LMM-1 の証明

フォワードレートの定義 (1) を変形すると

F_{i} (t) = \frac{1}{τ _{i}} (\frac{P ( t , T _{i} )}{P ( t , T _{i + 1} )} - 1)

です。ここで $P (\cdot, T_{i + 1})$ を基準財（ニュメレール）に取ります。 $Q^{T_{i + 1}}$ -フォワード測度のもとでは、任意の取引可能な資産の価格を $P (\cdot, T_{i + 1})$ で割ったものがマルチンゲールになります。これは一般のニュメレール変換の性質です（第73回参照）。

$P (t, T_{i})$ は取引可能な資産ですから、 $P (t, T_{i}) / P (t, T_{i + 1})$ は $Q^{T_{i + 1}}$ のもとでマルチンゲールです。したがって

E^{Q^{T_{i + 1}}} [\frac{P ( T _{i} , T _{i} )}{P ( T _{i} , T _{i + 1} )} F_{t}] = \frac{P ( t , T _{i} )}{P ( t , T _{i + 1} )}

が成り立ちます。 $P (T_{i}, T_{i}) = 1$ ですから左辺は $E^{Q^{T_{i + 1}}} [1/ P (T_{i}, T_{i + 1}) ∣ F_{t}]$ です。

$F_{i} (t)$ は $P (t, T_{i}) / P (t, T_{i + 1})$ のアフィン変換です。具体的には

F_{i} (t) = \frac{1}{τ _{i}} (\frac{P ( t , T _{i} )}{P ( t , T _{i + 1} )} - 1)

ですから、条件付き期待値の線形性を使うと

E^{Q^{T_{i + 1}}} [F_{i} (T_{i}) ∣ F_{t}] = \frac{1}{τ _{i}} (E^{Q^{T_{i + 1}}} [\frac{P ( T _{i} , T _{i} )}{P ( T _{i} , T _{i + 1} )} F_{t}] - 1) = \frac{1}{τ _{i}} (\frac{P ( t , T _{i} )}{P ( t , T _{i + 1} )} - 1) = F_{i} (t) .

条件付き期待値の線形性を適用できるのは、定数 $1/ τ_{i}$ の掛け算と定数 $1$ の引き算だからです。 $P (t, T_{i}) / P (t, T_{i + 1})$ のマルチンゲール性が、そのまま $F_{i} (t)$ のマルチンゲール性に引き継がれました。 ∎

ここでの鍵は、基準財を $P (\cdot, T_{i + 1})$ に選んだことです。もし別の満期の割引債を基準財にすると、 $P (t, T_{i}) / P (t, T_{i + 1})$ がマルチンゲールになるとは限りません。期間ごとに最適な測度が異なる、というのがこのモデルの本質です。

THM-LMM-2 の証明

$Q^{T_{i + 1}}$ のもとで $F_{i} (t)$ がマルチンゲールであることを示しました。次に、 $F_{i}$ の拡散過程を対数正規と仮定します。

\frac{d F _{i} ( t )}{F _{i} ( t )} = σ_{i} d W_{i}^{T_{i + 1}} (t) (6)

ここで $W_{i}^{T_{i + 1}}$ は $Q^{T_{i + 1}}$ のもとでの標準ブラウン運動です。ドリフトがゼロになるのは、THM-LMM-1 でマルチンゲール性を証明したからです。

(6) を伊藤の補題で解きます。 $ln F_{i} (t)$ に伊藤の公式を適用すると

d ln F_{i} (t) = - \frac{1}{2} σ_{i}^{2} d t + σ_{i} d W_{i}^{T_{i + 1}} (t)

となります。 $F_{i} (t) / F_{i} (t)$ のドリフトはゼロなので、伊藤補正の $- \frac{1}{2} σ_{i}^{2}$ だけが対数のドリフトに残ります。これを $[0, T_{i}]$ で積分すると

ln F_{i} (T_{i}) = ln F_{i} (0) - \frac{1}{2} σ_{i}^{2} T_{i} + σ_{i} W_{i}^{T_{i + 1}} (T_{i})

です。 $W_{i}^{T_{i + 1}} (T_{i}) \sim N (0, T_{i})$ ですから

ln F_{i} (T_{i}) \sim N (ln F_{i} (0) - \frac{1}{2} σ_{i}^{2} T_{i}, σ_{i}^{2} T_{i})

となります。つまり $F_{i} (T_{i})$ は対数正規分布です。

キャップレットのペイオフは

τ_{i} max (F_{i} (T_{i}) - K, 0)

です。これは変動金利が固定レート $K$ を超えた分を受け取る権利です。フォワード測度のもとで期待値を取ると、割引は $P (0, T_{i + 1})$ だけで済みます。すなわち

Cplt_{i} = P (0, T_{i + 1}) E^{Q^{T_{i + 1}}} [τ_{i} max (F_{i} (T_{i}) - K, 0)]

です。 $P (0, T_{i + 1})$ が期待値の外に出るのは、フォワード測度の定義から、 $P (0, T_{i + 1})$ で割引済みの価格が期待値だからです。

$F_{i} (T_{i})$ が対数正規であることから、この期待値は Black-Scholes 型の計算と同じです。 $F_{i} (0)$ を原資産価格、 $σ_{i} T_{i}$ を総ボラティリティとして Black-76 の公式を適用します。

$Z = (ln F_{i} (T_{i}) - ln F_{i} (0) + \frac{1}{2} σ_{i}^{2} T_{i}) / (σ_{i} T_{i})$ とおくと $Z \sim N (0, 1)$ です。 $F_{i} (T_{i}) > K$ は $Z > - d_{2}$ と同値です。ただし

d_{2} = \frac{ln ( F _{i} ( 0 ) / K ) - \frac{1}{2} σ _{i}^{2} T _{i}}{σ _{i} T _{i}}

です。期待値を計算すると

E^{Q^{T_{i + 1}}} [max (F_{i} (T_{i}) - K, 0)] = E^{Q^{T_{i + 1}}} [F_{i} (T_{i}) 1_{F_{i} (T_{i}) > K}] - K Q^{T_{i + 1}} (F_{i} (T_{i}) > K)

と分解します。第2項は $K N (d_{2})$ です。ここで $N (d_{2}) = Q^{T_{i + 1}} (Z > - d_{2}) = N (d_{2})$ を使っています。

第1項は、 $F_{i} (T_{i}) = F_{i} (0) exp (- \frac{1}{2} σ_{i}^{2} T_{i} + σ_{i} T_{i} Z)$ を代入し、 $Z > - d_{2}$ の範囲で積分します。平方完成を行うと

E^{Q^{T_{i + 1}}} [F_{i} (T_{i}) 1_{Z > - d_{2}}] = F_{i} (0) \int_{- d_{2}}^{\infty} exp (- \frac{1}{2} σ_{i}^{2} T_{i} + σ_{i} T_{i} z) φ (z) d z

です。指数部分を整理するため、被積分関数の指数をまとめます。

- \frac{1}{2} σ_{i}^{2} T_{i} + σ_{i} T_{i} z - \frac{z ^{2}}{2} = - \frac{( z - σ _{i} T _{i} ) ^{2}}{2}

と平方完成できます。 $w = z - σ_{i} T_{i}$ と置換すると $d w = d z$ で、積分下限は $- d_{2} - σ_{i} T_{i} = - d_{1}$ に変わります。したがって

E^{Q^{T_{i + 1}}} [F_{i} (T_{i}) 1_{Z > - d_{2}}] = F_{i} (0) \int_{- d_{1}}^{\infty} φ (w) d w = F_{i} (0) N (d_{1})

です。以上を合わせると

Cplt_{i} = P (0, T_{i + 1}) τ_{i} [F_{i} (0) N (d_{1}) - K N (d_{2})]

が得られます。これは Black-76 の公式そのものです。 ∎

この導出で重要なのは、フォワード測度を使ったことで割引の処理が単純になった点です。リスク中立測度 $Q$ のもとではマネーマーケットアカウントで割引する必要がありますが、フォワード測度では $P (0, T_{i + 1})$ 一つで済みます。

THM-LMM-3 の証明（要点）

$F_{i} (t)$ は $Q^{T_{i + 1}}$ のもとでマルチンゲールでしたが、別の測度 $Q^{T_{j + 1}}$ （ $j > i$ ）のもとではマルチンゲールではなくなります。これは複数のフォワードレートを同時にシミュレーションする際に問題になります。

測度 $Q^{T_{i + 1}}$ から $Q^{T_{j + 1}}$ への変換は、ギルサノフの定理によりブラウン運動のドリフト変換として表されます。ラドン・ニコディム密度は、基準財の比率から導かれます。

$Q^{T_{i + 1}}$ のもとでのブラウン運動 $W_{i}^{T_{i + 1}}$ と $Q^{T_{j + 1}}$ のもとでのブラウン運動 $W_{i}^{T_{j + 1}}$ の関係は

d W_{i}^{T_{i + 1}} (t) = d W_{i}^{T_{j + 1}} (t) - k = i + 1 \sum j \frac{ρ _{ik} σ _{k} τ _{k} F _{k} ( t )}{1 + τ _{k} F _{k} ( t )} d t (7)

です。この補正項の由来を見ます。測度を $Q^{T_{i + 1}}$ から $Q^{T_{i + 2}}$ に1段階だけ変えるとき、ラドン・ニコディム密度の対数微分は $P (t, T_{i + 1}) / P (t, T_{i + 2})$ の拡散項に比例します。(2) より

\frac{P ( t , T _{i + 1} )}{P ( t , T _{i + 2} )} = 1 + τ_{i + 1} F_{i + 1} (t)

ですから、この比率の拡散項は $τ_{i + 1} σ_{i + 1} F_{i + 1} (t) / (1 + τ_{i + 1} F_{i + 1} (t))$ に $d W_{i + 1}$ の成分を掛けたものです。 $F_{i}$ との相関 $ρ_{i, i + 1}$ を通じて $F_{i}$ のドリフトに寄与します。

$Q^{T_{i + 1}}$ から $Q^{T_{j + 1}}$ への変換はこれを $k = i + 1, \dots, j$ まで繰り返すことで得られます。したがって (7) を (6) に代入すると、 $Q^{T_{j + 1}}$ のもとでの $F_{i}$ のダイナミクスは

\frac{d F _{i} ( t )}{F _{i} ( t )} = μ_{i}^{(j)} d t + σ_{i} d W_{i}^{T_{j + 1}} (t)

となり、ドリフト $μ_{i}^{(j)}$ は (5) で与えられます。

相関 $ρ_{ik}$ が正のとき、ドリフトの符号は $j > i$ で負です。これは直感的には、より長い満期の債券を基準財にすると、短い期間のフォワードレートの期待成長率が下方修正されることを意味します。 ∎

5. 反例 ― キャップとスワプションは別物

CEX-LMM-1: ドリフト補正を落とすとずれる

すべてのフォワードレートを1つの測度に揃えたとき、ドリフト補正を忘れると価格がずれることを数値で示します。

3つの年次フォワードレート $F_{1} (0) = F_{2} (0) = F_{3} (0) = 5%$ （期間はそれぞれ $[1, 2]$ 、 $[2, 3]$ 、 $[3, 4]$ ）、ボラティリティ $σ = 30%$ 、相関 $ρ = 0.8$ 、期間 $τ = 1$ 年の設定を使います。割引債価格はこのフォワードレートと整合するように $P (0, 1) = 1/1.05$ から (2) で順に決めます。 $F_{1}$ のキャップレット（行使レート $5%$ 、支払いは $T_{2} = 2$ ）を、最も長い $T_{4}$ -フォワード測度のもとでモンテカルロ計算します。

$T_{4}$ -フォワード測度のもとでの $F_{1}$ のドリフトは (5) で $i = 1$ 、 $j = 3$ とおいたもので、時刻 $0$ の値は

μ_{1}^{(3)} = - σ^{2} ρ (\frac{τ F _{2}}{1 + τ F _{2}} + \frac{τ F _{3}}{1 + τ F _{3}}) = - 0.006857

です。シミュレーションでは $F_{2}, F_{3}$ の値に応じてこのドリフトを刻み幅 $0.02$ ごとに更新し（ $F_{2}$ にも同じ形で $F_{3}$ からの補正を入れます）、支払時点の違いを $1/ P (T_{2}, T_{4}) = (1 + τ F_{2} (T_{2})) (1 + τ F_{3} (T_{2}))$ を掛けて調整します。

正しい値は、 $T_{2}$ -フォワード測度で THM-LMM-2 の Black 式を使った 54.08 bps です。ドリフトを入れたモンテカルロ（40万パス、標準誤差 0.16 bps）は 54.17 bps で、標準誤差の範囲で一致します。一方、ドリフト補正を落として $F_{1}$ をマルチンゲールとして扱うと 56.14 bps になり、正しい値から 2.06 bps ずれます。これは標準誤差の10倍以上で、乱数のばらつきでは説明できません。

Black: 54.08 bps drift on: 54.17 bps drift off: 56.14 bps

2.06 bps は小さく見えますが、想定元本が大きいスワップポートフォリオでは無視できない金額になります。ドリフト補正を正しく入れることは、測度を統一してシミュレーションする際の必須条件です。

CEX-LMM-2: 相関がスワプション価格を変える

キャップの価格は各期間のフォワードレートのボラティリティだけで決まります。しかしスワプションは複数のフォワードレートの連動に依存します。

2期間のスワップ（期間 $[1, 1.25]$ と $[1.25, 1.5]$ ）に対するスワプションを、フォワードレート間の相関を変えて計算します。 $F_{1} (0) = F_{2} (0) = 3%$ 、 $σ_{1} = σ_{2} = 20%$ 、行使レート $K = 3%$ です。

相関 $ρ$	スワプション価格 (bps)
1.0	11.50
0.5	9.95

相関が 1 のとき、2つのフォワードレートが完全に連動するためスワップレートのボラティリティが最大になり、スワプション価格も最大になります。相関を 0.5 に下げると、打ち消し合いが起きてスワップレートのボラティリティが下がり、価格は 9.95 bps に下がります。比率は $11.50/9.95 = 1.1554$ です。

キャップレットの価格は各期間の個別のボラティリティだけで決まりますから、相関を変えてもキャップ価格は変わりません。キャップの市場価格からボラティリティを逆算しても、スワプションの価格は一意に定まりません。キャップとスワプションは別の商品です。

CEX-LMM-3: 負の金利で対数正規モデルが壊れる

対数正規の仮定は $F_{i} (t) > 0$ を保証します。 $ln F_{i}$ を扱うので、フォワードレートが正でなければモデルが成立しません。

しかし現実には、ユーロ圏や日本で負のフォワードレートが観測されています。 $F = - 0.5%$ のとき、 $ln (- 0.005)$ は定義できません。対数正規モデルはこの時点で使えなくなります。

回避策としてシフト付き対数正規モデルがあります。シフト $s = 3%$ を入れて $F + s = - 0.5% + 3% = 2.5%$ を対数正規で扱います。 $F + s > 0$ であれば対数が取れるので、Black 式をシフト後のレートに適用できます。

この変形は構造自体は単純ですが、シフトの選び方やその先の発展は別の話題になります。

6. 数値例 ― キャップレット価格を出す

$F_{i} (0) = 3%$ 、 $σ_{i} = 20%$ 、期間 $[T_{1}, T_{2}] = [1, 1.25]$ 、 $τ = 0.25$ 、行使レート $K = 3%$ （ATM）、割引率 $3%$ のフラットカーブを使います。

割引係数:

P (0, T_{2}) = e^{- 0.03 \times 1.25} = 0.963194

Black-76 の引数: ATM なので $ln (F / K) = 0$ です。

d_{1} d_{2} = \frac{0 + \frac{1}{2} \times 0.04 \times 1}{0.2 \times 1} = 0.1 = 0.1 - 0.2 = - 0.1

N (0.1) = 0.539828, N (- 0.1) = 0.460172

キャップレット価格:

Cplt = 0.963194 \times 0.25 \times (0.03 \times 0.539828 - 0.03 \times 0.460172) = 0.240799 \times 0.03 \times 0.079656 = 0.000575

すなわち 5.75 bps です。

モンテカルロとの一致: $Q^{T_{2}}$ のもとで $F_{i} (T_{1})$ をシミュレーション（50万パス）すると 5.76 bps が得られ、Black 式の 5.75 bps とほぼ一致します。ATM なのでキャップレット価格はボラティリティにほぼ線形に比例します。 $σ$ を $20%$ から $40%$ にすれば、価格もおよそ2倍になります。

7. 次回へ ― 2008年以降の常識

この記事では、すべてのフォワードレートを同一のカーブから読み取りました。2008年の金融危機以前は、これが標準的な扱いでした。

しかし2008年以降、LIBOR のテナーが異なると割引カーブと射影カーブを分ける必要があることが明らかになりました。次回（第93回）では、スワップの評価とマルチカーブの枠組みを扱います。

よくある質問

キャップとは何ですか

変動金利が一定水準を超えたときに差額を受け取る権利です。各期間のオプションの束になっています。

なぜ測度を取り替えるのですか

期間ごとにマルチンゲールになる測度が違うからです。1つにまとめると補正が要ります。

スワプションはなぜ難しいのですか

複数の期間のフォワードレートがどう連動するかに依存するからです。

参考文献

Brace A.、Gatarek D. and Musiela M.、The Market Model of Interest Rate Dynamics、Mathematical Finance、1997年、DOI 10.1111/1467-9965.00028
Brigo D. and Mercurio F.、Interest Rate Models ― Theory and Practice、第2版、Springer、2006年

数値例は compute.py によりモンテカルロ・シミュレーション（シード固定）で検算済み。