第94回 デフォルト確率とクレジットスプレッド ― ハザードレートで考える

位置: 第9部 第94回 / 前提: 第4回、第9回、第93回 / 数学編: なし / この回でできるようになること: クレジットスプレッドから価格に織り込まれたデフォルト確率を計算し、実際のデフォルト率との違いを説明できる

0. 物語 ― スプレッドから出した確率は実際の確率ではない

前の回で、スワップの評価にはカーブの使い分けが必要だと見ました。同じ「金利の世界」を、今度はデフォルトの面から眺めてみます。

社債には国債より高い利回りが付いています。この上乗せ分がクレジットスプレッドで、ここからデフォルトの確率を逆算できます。スプレッドが150ベーシスポイントの社債について、回収率を4割と仮定して計算すると、5年間にデフォルトする確率は約12パーセントです。

ところが、同じ格付けの社債が過去に実際にデフォルトした割合を調べると、5年で約1.5パーセントにすぎません。市場が示す数字は、実績の約8倍です。

市場が間違っているわけではありません。投資家は「デフォルトするかもしれない」というリスクを抱えること自体に報酬を求めます。安く買わなければ引き合わないので、スプレッドが広がり、逆算される確率も膨らみます。差の約10パーセントポイントは、リスクそのものへの上乗せです。

もう一つ見落としやすいのは回収率の仮定です。デフォルトしても4割が返ってくる世界と、全額が失われる世界では、同じスプレッドから出てくるデフォルトの頻度がまるで違います。回収率を示さずに「デフォルト確率は何パーセント」と言っても、数字として意味を持ちません。

今回は、スプレッドとデフォルト確率をつなぐ式を証明し、市場から読み取れる確率がなぜ実績と食い違うのかを明らかにします。

1. 動機 ― 払われないかもしれない債券の値段

この回を読み終えると、クレジットスプレッドから価格に織り込まれたデフォルト確率を計算し、実際のデフォルト率との違いを説明できます。

債券は「満期に元本が返ってくる約束」です。しかし約束が守られない可能性、すなわちデフォルトがあると、債券の値段はその分だけ下がります。下がった分がクレジットスプレッドです。

スプレッドは市場で毎日観測されますが、この数字はデフォルトの確率とどう結びついているのでしょうか。直感的には「デフォルトしそうな債券ほどスプレッドが大きい」ですが、それを定量的にするには、デフォルトを確率モデルとして扱う必要があります。

今回はその最も基本的な枠組みを導入します。デフォルトを「ランダムな時刻に起きる事象」としてモデル化し、ハザードレートという1つのパラメータから生存確率を導きます。そしてスプレッドとハザードレートの関係を厳密に書き下し、近似公式を証明します。

この記事で証明すること

• THM-DF2-1 ハザードレートが一定のとき、時点 $t$ までデフォルトしない確率は $e^{-\lambda t}$ で書けます。
• THM-DF2-2 回収率を $R$ とすると、クレジットスプレッドはおおよそ $\lambda (1-R)$ に等しくなります。
• THM-DF2-3 市場スプレッドから逆算したデフォルト確率はリスク中立測度のもとでの値であり、過去の実績デフォルト率より大きくなるのが普通です。

2. 設定と仮定 ― デフォルトを確率的な時刻として置く

デフォルトを扱うために、次の仮定を置きます。

• デフォルトはポアソン過程の最初のジャンプとして起きる
• ハザードレートと回収率は一定
• 金利とデフォルトは独立
• 数値に単位は付けない

具体的に言えば、デフォルト時刻を確率変数 $\tau$ と書きます。$\tau$ は次の性質を持ちます。時刻 $t$ までデフォルトしていない、つまり $\tau >t$ という条件のもとで、次の微小時間 $\mathrm{d}t$ にデフォルトする条件付き確率が

$$\mathbb{P}(\tau \le t+\mathrm{d}t\mid \tau >t)=\lambda \mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

を満たします。この $\lambda$ をハザードレート（瞬間デフォルト率）と呼びます。$\lambda$ が一定であるとは、デフォルトのしやすさが時間によらないことを意味します。

生存確率を $Q(t)=\mathbb{P}(\tau >t)$ と書きます。$Q(0)=1$（時刻0にはまだデフォルトしていない）です。

回収率 $R$ は、デフォルトが起きたときに元本のうち戻ってくる割合です。$R=0.40$ なら、額面1の債券は デフォルト時に $0.40$ だけ回収されます。$1-R$ を損失率と呼びます。

無リスク金利 $r$ は連続複利で、割引係数を $D(0,T)=e^{-rT}$ と書きます。金利とデフォルトが独立であるという仮定は、割引とデフォルト確率を別々に計算してよいことを意味します。

3. 主張 ― スプレッドはハザードと損失率の積

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-DF2-1（生存確率とハザードレート） ハザードレート $\lambda$ が一定のとき、時点 $t$ までデフォルトしない確率は

$$Q(t)=e^{-\lambda t}$$

である。

定理 THM-DF2-2（スプレッドの近似） 額面1のゼロクーポン債について、回収率を $R$、ハザードレートを $\lambda$、クレジットスプレッド（連続複利）を $s$ とすると、

$$s=-\frac{1}{T}\ln [R+(1-R)e^{-\lambda T}]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

である。$\lambda T$ が十分小さいとき、

$$s\approx \lambda (1-R)\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

が成り立つ。

定理 THM-DF2-3（リスク中立の生存確率） 市場で観測されるスプレッドから (2.1) で逆算したハザードレート ${\lambda }^{\mathbb{Q}}$ はリスク中立測度 $\mathbb{Q}$ のもとでの値である。過去の実績から推定したハザードレート ${\lambda }^{\mathbb{P}}$ に対して、一般に

$${\lambda }^{\mathbb{Q}}>{\lambda }^{\mathbb{P}}$$

が成り立つ。差はデフォルトに対するリスクプレミアムである。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 生存確率で割引いて価格を書く

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-DF2-1 の証明

生存確率 $Q(t)=\mathbb{P}(\tau >t)$ の微小変化を考えます。時刻 $t$ から $t+\mathrm{d}t$ までの間にデフォルトする確率は、(1.1) より

$$\mathbb{P}(\tau \le t+\mathrm{d}t\mid \tau >t)=\lambda \mathrm{d}t$$

です。条件付き確率の定義に戻すと、$\tau >t$ かつ $\tau \le t+\mathrm{d}t$ となる確率は

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}(t<\tau \le t+\mathrm{d}t)\\ & =\mathbb{P}(\tau \le t+\mathrm{d}t\mid \tau >t)\cdot \mathbb{P}(\tau >t)\\ & =\lambda \mathrm{d}t\cdot Q(t)\end{array}$$

です。一方、生存確率の減少分は、この区間でデフォルトした分に等しいので

$$Q(t)-Q(t+\mathrm{d}t)=\lambda \mathrm{d}t\cdot Q(t)$$

が成り立ちます。移項して $\mathrm{d}t$ で割ると、生存確率の微分方程式が得られます。

$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda Q(t)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

これは定数係数の1階線形常微分方程式です。初期条件 $Q(0)=1$ のもとで解くために、両辺を $Q(t)$ で割ります。$Q(t)>0$（まだデフォルトしていない確率は正）なので割れます。

$$\frac{1}{Q(t)}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda$$

左辺は $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln Q(t)$ です。両辺を $0$ から $t$ まで積分します。

$$\ln Q(t)-\ln Q(0)=-\lambda t$$

$Q(0)=1$ なので $\ln Q(0)=0$ です。したがって

$$\ln Q(t)=-\lambda t$$

両辺の指数を取ると

$$Q(t)=e^{-\lambda t}$$

が得られます。これは指数分布の生存関数そのものです。ハザードレートが一定であることと、デフォルト時刻が指数分布に従うことは同値です。 ∎

THM-DF2-2 の証明

額面1のゼロクーポン債を考えます。満期 $T$ に以下が起きます。

• デフォルトしない（確率 $Q(T)=e^{-\lambda T}$）: 額面1を受け取る
• デフォルトする（確率 $1-e^{-\lambda T}$）: 回収率 $R$ に相当する $R$ を受け取る

デフォルトの時刻は一様ではありませんが、ここでは簡単のため、回収額はデフォルト時刻によらず満期に $R$ として受け取るモデルを使います。金利とデフォルトの独立性を使って、リスク付き債券価格を書きます。

$$\begin{array}{rl}{P}_{\text{risky}}& =D(0,T)[Q(T)\cdot 1\\ & +(1-Q(T))\cdot R]\\ & =e^{-rT}[e^{-\lambda T}+R(1-e^{-\lambda T})]\\ & =e^{-rT}[R+(1-R)e^{-\lambda T}]\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

第1行から第2行への変形で、割引係数 $D(0,T)=e^{-rT}$ と生存確率 $Q(T)=e^{-\lambda T}$（THM-DF2-1）を代入しています。第2行から第3行では $R$ でまとめています。

一方、クレジットスプレッド $s$ は、リスク付き債券の利回りと無リスク金利の差として定義されます。連続複利では

$$P_{\text{risky}}=e^{-(r+s)T}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

です。(3.2) と (3.3) を等置すると

$$e^{-(r+s)T}=e^{-rT}[R+(1-R)e^{-\lambda T}]$$

両辺を $e^{-rT}$ で割り、スプレッドを無リスク金利から分離します。

$$e^{-sT}=R+(1-R)e^{-\lambda T}$$

両辺の対数を取ります。

$$-sT=\ln [R+(1-R)e^{-\lambda T}]$$

$-T$ で割ると (2.1) が得られます。

$$s=-\frac{1}{T}\ln [R+(1-R)e^{-\lambda T}]$$

近似の導出。 $\lambda T$ が小さいとき、$e^{-\lambda T}\approx 1-\lambda T$ とします。

$$\begin{array}{rl}& R+(1-R)(1-\lambda T)\\ & =1-(1-R)\lambda T\end{array}$$

$(1-R)\lambda T$ が小さいとき、$\ln (1-x)\approx -x$ を使います。

$$\ln [1-(1-R)\lambda T]\approx -(1-R)\lambda T$$

したがって

$$s\approx -\frac{1}{T}\cdot [-(1-R)\lambda T]=\lambda (1-R)$$

これが (2.2) です。近似精度は $\lambda T$ が小さいほど良くなります。 ∎

THM-DF2-3 の証明

市場で観測される社債価格から (2.1) を使ってハザードレートを逆算する手順を確認します。リスク付き債券価格が $P_{\text{risky}}$ として観測されているとき、(3.3) からスプレッド $s$ を求め、(2.1) を $\lambda$ について解きます。

(2.1) の $e^{-sT}=R+(1-R)e^{-\lambda T}$ を変形すると

$$e^{-\lambda T}=\frac{e^{-sT}-R}{1-R}$$

両辺の対数を取って $-T$ で割ると

$$\lambda =-\frac{1}{T}\ln \frac{e^{-sT}-R}{1-R}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

が得られます。

この $\lambda$ は市場価格から逆算した値です。市場価格はリスク中立測度 $\mathbb{Q}$ のもとでの期待値で決まるので、ここで得られる $\lambda$ はリスク中立測度のもとでのハザードレート ${\lambda }^{\mathbb{Q}}$ です。

なぜ ${\lambda }^{\mathbb{Q}}>{\lambda }^{\mathbb{P}}$ が成り立つのでしょうか。投資家はデフォルトリスクに対して補償を要求します。リスクを嫌う投資家は、デフォルトリスクのある債券を、期待損失の分だけでなく、それ以上に安く買おうとします。価格が下がると、逆算されるスプレッドは大きくなり、したがって ${\lambda }^{\mathbb{Q}}$ も大きくなります。

数式で書くと、リスク付き債券価格は

$$P_{\text{risky}}=e^{-rT}{\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}\left[\text{payoff}\right]$$

で決まります。投資家がリスクプレミアムを要求するとは、$\mathbb{Q}$ のもとでデフォルト確率を実際より高めに評価することに相当します。第45回で見たように、リスク中立測度のもとでの確率と現実の確率は一般に異なります。デフォルトリスクの文脈では、リスク回避的な投資家がいる限り

$${\lambda }^{\mathbb{Q}}>{\lambda }^{\mathbb{P}}$$

が成り立ちます。差 ${\lambda }^{\mathbb{Q}}-{\lambda }^{\mathbb{P}}$ がデフォルトに対するリスクプレミアムの大きさを反映しています。 ∎

5. 反例 ― 逆算した確率は実際の確率ではない

CEX-DF2-1: スプレッドから出したデフォルト確率は実績と大きく異なる

スプレッドが 150 ベーシスポイント（$s=0.0150$）、回収率 $R=0.40$ の社債を考えます。(3.4) に $T=5$ を代入してリスク中立ハザードレートを求めると

$${\lambda }^{\mathbb{Q}}=0.025664$$

です（近似値は $0.025$）。ここから5年デフォルト確率を計算すると

$$1-e^{-{\lambda }^{\mathbb{Q}}\times 5}=12.04\%$$

です。一方、同程度の格付けの社債について過去の実績から推定した5年累積デフォルト率の典型値は $1.50\%$ 程度です。リスク中立のデフォルト確率 $12.04\%$ は実績の約8倍です。

差の $10.54\%$ ポイントはリスクプレミアムです。市場はデフォルトリスクを実際より高く見積もることで、投資家に追加の補償を提供しています。スプレッドから逆算した確率を「この会社がデフォルトする確率」と解釈してはいけません。

CEX-DF2-2: 回収率を無視するとハザードレートが大きく変わる

同じスプレッド 150 ベーシスポイントから逆算しても、回収率の仮定によってハザードレートは大きく異なります。

回収率 $R$	近似 $\lambda \approx s/(1-R)$	厳密 $\lambda$（$T=5$）
$0$	$1.50\%$	$1.50\%$
$0.40$	$2.50\%$	$2.57\%$

$R=0$ のとき、デフォルトすれば全額が失われるので、少ないデフォルト確率でも大きな損失になります。$R=0.40$ のとき、デフォルトしても4割は戻るので、同じスプレッドを説明するにはハザードレートが大きくなければなりません。

近似 $s\approx \lambda (1-R)$ を見れば明らかで、$s$ を固定して $R$ を $0$ から $0.40$ に上げると、$\lambda$ は $s$ から $s/0.60$ へと約1.67倍に跳ね上がります。回収率の仮定を明示しないまま「デフォルト確率は何パーセント」と言うのは無意味です。

なお $R=0$ のときは近似と厳密が完全に一致します。これは $R=0$ を代入すると (2.1) が $s=-\frac{1}{T}\ln e^{-\lambda T}=\lambda$ となるためです。

CEX-DF2-3: 金利とデフォルトの独立性が崩れるとき

仮定に「金利とデフォルトは独立」と置きましたが、現実にはこれが成り立たないことがあります。特に、金利が上がるとデフォルトが増える正の相関がある場合を数値で見ます。

2つの状態が等確率で起きるとします。

状態	金利 $r$	ハザードレート $\lambda$
A（高金利・高デフォルト）	$0.05$	$0.06$
B（低金利・低デフォルト）	$0.01$	$0.01$

$R=0.40$、$T=5$ として、各状態での社債価格を計算し、その平均を取ると

$$P_{\text{corr}}=0.5\times P_A+0.5\times P_B=0.790542$$

です。一方、金利とハザードレートがそれぞれ同じ2つの値を等確率で取るものの、互いに独立だと仮定して計算します。独立なら期待値は積に分かれるので

$$\begin{array}{rl}{P}_{\text{indep}}& =\mathbb{E}\left[e^{-rT}\right]\cdot \mathbb{E}[R+(1-R)e^{-\lambda T}]\\ & =0.865015\times 0.907614=0.785100\end{array}$$

です。差は $0.0054$ で、額面の約0.5%に当たり、無視できない大きさです。なお、平均金利 $\bar{r}=0.03$ と平均ハザードレート $\bar{\lambda }=0.035$ をそのまま代入すると $0.777800$ になりますが、こちらは独立性ではなく「平均を代入する」ことによるずれも含むので、相関の効果だけを見る比較には使えません。

なぜ差が出るのでしょうか。状態Bでは金利が低い（割引が少ない）のにデフォルトも少ない（返済される可能性が高い）ので、債券価格が高くなります。独立を仮定すると、この「良いことが重なる」効果を見落とします。金利とデフォルトの相関を無視すると、債券価格を過小評価する場合があるのです。

ここまでの3つの反例は、いずれもモデルの仮定を無自覚に使うことの危険を示しています。

6. 数値例 ― スプレッドからハザードレートを出す

ここまでの公式を数値で確認します。パラメータは $\lambda =0.02$、$R=0.40$、$r=0.03$ です。

生存確率（THM-DF2-1）。 $Q(t)=e^{-0.02t}$ を $t=1,5,10$ で計算します。

年数 $t$	生存確率 $Q(t)$
$1$	$0.980199$
$5$	$0.904837$
$10$	$0.818731$

$t=10$ でも約82%が生存しています。ハザードレート2%は、年間約2%ずつデフォルトする（生き残っている会社のうち）ことを意味します。

スプレッドの近似と厳密値（THM-DF2-2）。 近似 $s\approx \lambda (1-R)=0.02\times 0.60=0.012$、すなわち 120 ベーシスポイントです。

満期 $T$	厳密スプレッド (bp)	近似 (bp)	差 (bp)
$1$	$119.52$	$120.00$	$0.48$
$5$	$117.58$	$120.00$	$2.42$
$10$	$115.14$	$120.00$	$4.86$

満期が短いほど近似が良くなります。$T=1$ では差は1ベーシスポイント未満です。$T=10$ でも誤差は5ベーシスポイント以下ですから、近似 (2.2) はかなり良い精度を持っています。

厳密スプレッドが満期とともに減少するのは、長い期間ほどデフォルト確率が高くなり、$R$ による回収の効果が相対的に大きくなるためです。

スプレッド150bpからの逆算。 $s=0.0150$ から $\lambda$ を逆算します。

• 近似: $\lambda \approx s/(1-R)=0.0150/0.60=0.025$（2.50%）
• 厳密（$T=5$）: $\lambda =0.025664$（2.57%）

近似と厳密の差は約7ベーシスポイントです。簡単な割り算で十分な精度が得られることがわかります。

7. 次回へ ― 構造モデルと CDS

今回はデフォルトを外生的に与えられた確率的な時刻として扱いました。ハザードレートが一定であれば生存確率は指数関数で書け、スプレッドとの関係は $s\approx \lambda (1-R)$ という簡潔な近似で捉えられます。

しかし大きな問いが残っています。ハザードレートはどこから来るのでしょうか。会社の資産や負債の構造からデフォルトを内生的に導くモデルがあります。また、クレジットリスクを直接売買する市場があり、そこではスプレッドがもっと純粋に観測できます。次回 第95回では、これらを扱います。

よくある質問

ハザードレートとは何ですか

まだデフォルトしていない会社が、次の瞬間にデフォルトする割合です。

スプレッドが大きいほど危ないのですか

おおむねそうですが、流動性やリスクへの対価も含まれています。

回収率はどう決めるのですか

過去の実績から決めることが多く、推定の不確かさが大きい量です。

参考文献

1. Duffie D. and Singleton K. J.、Credit Risk ― Pricing Measurement and Management、Princeton University Press、2003年
2. Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年

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数値例は compute.py により検算済み。float 演算を使用（指数・対数が必要なため）。