第95回構造モデルと誘導形モデル、そして CDS

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2026年9月25日

位置: 第9部第95回 / 前提: 第70回（ブラック・ショールズ式）、第94回（デフォルトと信用スプレッド） / 数学編: なし / この回でできるようになること: 企業価値からデフォルトを考える構造モデルと CDS スプレッドの計算を、同じ数値例で比べることができる

0. 物語 ― 構造モデルでは短期のスプレッドが0になる

「この会社、財務はしっかりしてるのに、満期まで数週間しかない社債でも上乗せ金利が数十くらい付いてますよね」。ゼミの発表で学生がそう言いました。企業の資産が100、借金が80で、資産は連続的に動くとします。2週間あまりのうちに資産が80を下回るには、そのごく短い間に2割も落ちなければなりません。連続的に動くなら、そこまで急落する確率はほとんどゼロです。

先生が計算結果を見せました。満期5年のスプレッドは約159。3年で約190。1年で約201。ここまでは現実的な数字です。しかし満期を半年にすると約146、3か月で約65と、短くするほど小さくなっていきます。半年や3か月ではまだはっきり残っていますが、2週間半にまで縮めると、スプレッドはたった0.08になります。

「数字がほぼゼロになりますね。でも現実にはゼロじゃない。モデルが何か見落としているんですか」と学生が聞きました。先生はうなずきます。「連続的に動くという仮定が効いている。パスがなめらかにつながっている限り、いま100ある資産が一瞬で80を割ることはない。だから短い期間では、デフォルトする確率がほぼゼロに見えてしまう。実際の企業は、不正会計の発覚や取引先の突然の破綻のように、連続では説明できない急変に見舞われることがある。だから短期のスプレッドがゼロにならない」。

この限界を補うために、デフォルトの原因を追わず、「いつ起きるか」の確率だけを扱う別の枠組みがあります。この回では、企業価値からデフォルトを組み立てる方法と、確率的な時刻として扱う方法の2つを並べて計算し、それぞれの強みと弱みを数値で確かめます。

1. 動機 ― デフォルトを2つの見方で説明する

この回を読み終えると、企業価値からデフォルトを考える構造モデルと CDS スプレッドの計算を、同じ数値例で比べることができます。

企業がデフォルトするメカニズムを、どう数式に落とすか。大きく分けて2つの方法があります。

ひとつは**構造モデル（structural model）**です。企業の資産価値を直接モデル化し、負債を下回った瞬間をデフォルトと見なします。Merton（1974）が提案したこの方法では、株式のペイオフがコールオプションと同じ形になります。

もうひとつは**誘導形モデル（reduced-form model）**です。デフォルトの原因を追わず、「いつ起こるか」をハザードレートという確率的な量で記述します。市場で観測されるスプレッドに合わせやすいのが利点です。

この2つの見方を具体的に計算し、クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）の価格がどう決まるかまでを一気に見ます。

この記事で証明すること

THM-MRT-1 企業価値が幾何ブラウン運動に従い、負債が満期一括返済のとき、株式はブラック・ショールズ式のコールと同じ形で評価できます。
THM-MRT-2 マートンモデルでは、満期を0に近づけるとクレジットスプレッドが0に潰れます。現実に観測される短期スプレッドと合いません。
THM-CDS-3 CDS のスプレッドは、プレミアム支払い側の現在価値とデフォルト時の支払い側の現在価値が等しくなる条件で決まります。

2. 設定と仮定 ― 企業価値か、確率的な時刻か

マートンモデルの仮定を全て書き出します。

企業価値 $V_{t}$ はリスク中立測度 $Q$ のもとで幾何ブラウン運動に従います。

\frac{d V _{t}}{V _{t}} = r d t + σ_{V} d W_{t}

負債は額面 $D$ の割引債1本で、満期 $T$ に一括返済します。中間の利払いはありません。
デフォルトは満期にのみ起こります。 $V_{T} < D$ ならデフォルトです。
金利 $r$ は一定です。
企業価値は観測できるものとします。

誘導形モデルでは、仮定の構造が異なります。

デフォルト時刻 $τ$ はハザードレート $λ$ を持つ指数分布に従います。
生存確率は $Q (τ > t) = e^{- λ t}$ です。
デフォルトの原因は問いません。 $λ$ は市場データから逆算します。

構造モデルは「なぜデフォルトするか」に答え、誘導形モデルは「いつデフォルトするか」に答えます。どちらが優れているかではなく、目的が違います。

3. 主張 ― 株式はコール、CDS は等価条件で決まる

定理 THM-MRT-1（マートンモデル） 企業価値 $V_{t}$ が幾何ブラウン運動に従い、負債が額面 $D$ 、満期 $T$ の割引債1本であるとき、株式の価値は

$E_{0} = V_{0} N (d_{1}) - D e^{- r T} N (d_{2}) (1.1)$
である。ここで

$d_{1} d_{2} = \frac{ln ( V _{0} / D ) + ( r + \frac{1}{2} σ _{V}^{2} ) T}{σ _{V} T}, = d_{1} - σ_{V} T$
であり、 $N (\cdot)$ は標準正規分布の分布関数である。

定理 THM-MRT-2（短期スプレッドの消失） マートンモデルにおいて $V_{0} > D$ （ソルベント）のとき、クレジットスプレッド

$s (T) = - \frac{1}{T} ln (\frac{V _{0} - E _{0}}{D}) - r$
は $T \to 0$ で $s (T) \to 0$ となる。

定理 THM-CDS-3（CDS スプレッド） ハザードレート $λ$ 、回収率 $R$ 、金利 $r$ が一定のもとで、満期 $T$ 、年1回払いの CDS スプレッド $s$ は

$s = \frac{( 1 - R ) i = 1 \sum n e ^{- r t_{i}} ( e ^{- λ t_{i - 1}} - e ^{- λ t_{i}} )}{i = 1 \sum n e ^{- r t_{i}} e ^{- λ t_{i}} Δ t} (1.2)$
である。 $λ$ と $T$ が小さいとき $s \approx λ (1 - R)$ に近づく。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― ブラック・ショールズ式を企業価値に当てる

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-MRT-1 の証明

満期 $T$ における株主へのペイオフを考えます。企業価値 $V_{T}$ が負債 $D$ を上回っていれば、債権者に $D$ を返済した残り $V_{T} - D$ が株主のものです。 $V_{T} < D$ ならば企業は債権者に全てを渡し、株主の取り分はゼロです。したがって

E_{T} = max (V_{T} - D, 0) (2.1)

です。これは原資産 $V_{0}$ 、行使価格 $D$ のヨーロピアン・コールのペイオフそのものです。

リスク中立測度 $Q$ のもとで $V_{t}$ は幾何ブラウン運動に従うと仮定しました。第70回で示したブラック・ショールズ式を適用するための条件は

原資産が幾何ブラウン運動に従うこと
行使価格が確定値であること
金利が一定であること

の3つであり、いずれも満たされています。したがって $E_{0}$ はブラック・ショールズのコール価格公式そのもので与えられます。

E_{0} = V_{0} N (d_{1}) - D e^{- r T} N (d_{2}) (2.2)

ここで

d_{1} d_{2} = \frac{ln ( V _{0} / D ) + ( r + \frac{1}{2} σ _{V}^{2} ) T}{σ _{V} T}, = d_{1} - σ_{V} T (2.3)

です。 $d_{1}$ の分子にある $ln (V_{0} / D)$ は企業価値の対数的な余裕度を表し、 $(r + \frac{1}{2} σ_{V}^{2}) T$ はドリフトの寄与です。分母 $σ_{V} T$ で正規化することで、 $d_{1}$ は標準正規分布のスケールに変換されます。

$N (d_{2})$ はリスク中立測度のもとで $V_{T} \geq D$ となる確率、すなわち「デフォルトしない確率」です。したがってリスク中立デフォルト確率は

Q (V_{T} < D) = N (- d_{2}) (2.4)

で与えられます。 ∎

THM-MRT-2 の証明

負債の価値は、企業価値から株式価値を引いたものです。

B_{0} = V_{0} - E_{0} (2.5)

この負債の利回り $y$ を $B_{0} = D e^{- y T}$ で定義すると、クレジットスプレッドは $s (T) = y - r$ です。

s (T) = - \frac{1}{T} ln (\frac{B _{0}}{D}) - r = - \frac{1}{T} ln (\frac{V _{0} - E _{0}}{D}) - r (2.6)

$V_{0} > D$ （企業がソルベント）のとき、 $T \to 0$ での各項の振る舞いを調べます。

$T \to 0$ のとき、 $d_{1}$ と $d_{2}$ の分子で支配的なのは $ln (V_{0} / D)$ です。 $V_{0} > D$ なので $ln (V_{0} / D) > 0$ であり、分母 $σ_{V} T \to 0$ ですから

d_{1} \to + \infty, d_{2} \to + \infty (2.7)

です。したがって $N (d_{1}) \to 1$ 、 $N (d_{2}) \to 1$ となり

E_{0} \to V_{0} - D e^{- r T} \to V_{0} - D (2.8)

です。ここで最後の極限は $e^{- r T} \to 1$ によります。ただし、これを (2.6) にそのまま代入して $B_{0} / D \to 1$ としても、 $\frac{1}{T} ln (B_{0} / D)$ は「 $0$ を $0$ で割る」形なので極限は決まりません。 $B_{0}$ と $D$ の差が $T$ に比べてどれだけ速く $0$ に近づくかを調べる必要があります。 $E_{0}$ を正確に書くと

V_{0} - E_{0} = V_{0} (1 - N (d_{1})) + D e^{- r T} N (d_{2}) (2.9)

です。 $1 - N (d_{1}) = N (- d_{1})$ 、 $N (d_{2}) = 1 - N (- d_{2})$ を使って、無リスクの割引債の価値 $D e^{- r T}$ をくくり出すと

B_{0} ε (T) = D e^{- r T} (1 - ε (T)), = N (- d_{2}) - \frac{V _{0} e ^{r T}}{D} N (- d_{1})

と書けます。 $D e^{- r T} ε (T)$ は行使価格 $D$ のプットの価格なので $ε (T) \geq 0$ で、第2項を落とせば $ε (T) \leq N (- d_{2})$ です。これを (2.6) に代入すると、 $- \frac{1}{T} ln e^{- r T} = r$ が $- r$ と打ち消し合って

s (T) = - \frac{1}{T} ln (1 - ε (T))

が残ります。

$V_{0} > D$ のとき、 $T \to 0$ で $N (- d_{2})$ はガウス分布の裾の減衰速度で0に近づきます。具体的には

N (- d_{2}) \sim \frac{φ ( d _{2} )}{d _{2}} \sim \frac{1}{d _{2} 2 π} exp (- \frac{d _{2}^{2}}{2})

であり、 $d_{2} \sim ln (V_{0} / D) / (σ_{V} T)$ ですから $d_{2}^{2} \sim [ln (V_{0} / D)]^{2} / (σ_{V}^{2} T)$ となります。 $T \to 0$ で指数の肩が $- \infty$ に発散するため、 $N (- d_{2})$ は任意の $T$ の冪よりも速く0に近づきます。 $0 \leq ε (T) \leq N (- d_{2})$ なので $ε (T)$ も同じです。

$ε$ が小さいとき $- ln (1 - ε) \leq 2 ε$ （ $0 \leq ε \leq 1/2$ で成り立ちます）なので

0 \leq s (T) \leq \frac{2 ε ( T )}{T} \leq \frac{2 N ( - d _{2} )}{T} \to 0

です。 $N (- d_{2})$ が $T$ よりも速く0に近づくため、 $s (T) \to 0$ となります。

直感的に言えば、企業がいまソルベントなのに、一瞬後にデフォルトする確率は幾何ブラウン運動のもとではほぼゼロです。連続パスでは「ジャンプ」がないので、短期間に大きく値が落ちる確率が極端に小さくなります。 ∎

THM-CDS-3 の証明

CDS（クレジット・デフォルト・スワップ）は次の契約です。

プロテクションの買い手は、定期的にスプレッド $s$ を想定元本に対して支払います。
プロテクションの売り手は、参照企業がデフォルトしたとき、損失額 $(1 - R) \times 想定元本$ を支払います。

スプレッド $s$ は、プレミアム支払い側と受取り側の現在価値が等しくなるように決めます。

ハザードレート $λ$ 、回収率 $R$ 、金利 $r$ が一定で、年1回払い、期間 $n$ 年の CDS を考えます。支払い時点は $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ で $Δ t = 1$ です。

プレミアム側の現在価値は、各支払い時点でまだデフォルトしていない確率（生存確率）を掛けて割り引いたものです。

PV_{prem} = s i = 1 \sum n e^{- r t_{i}} e^{- λ t_{i}} Δ t (2.10)

生存確率 $e^{- λ t_{i}}$ を掛けるのは、デフォルト済みならプレミアムを払わないからです。 $e^{- r t_{i}}$ は割引係数です。

プロテクション側の現在価値は、各期間 $(t_{i - 1}, t_{i}]$ にデフォルトが起きる確率に、損失額と割引係数を掛けて足し合わせたものです。

PV_{prot} = (1 - R) i = 1 \sum n e^{- r t_{i}} (e^{- λ t_{i - 1}} - e^{- λ t_{i}}) (2.11)

$e^{- λ t_{i - 1}} - e^{- λ t_{i}}$ は期間 $(t_{i - 1}, t_{i}]$ にデフォルトする確率です。生存確率が $e^{- λ t_{i - 1}}$ から $e^{- λ t_{i}}$ に減る分がデフォルト確率に相当します。

CDS のスプレッド $s$ は $PV_{prem} = PV_{prot}$ として決まります。

s i = 1 \sum n e^{- r t_{i}} e^{- λ t_{i}} Δ t = (1 - R) i = 1 \sum n e^{- r t_{i}} (e^{- λ t_{i - 1}} - e^{- λ t_{i}})

両辺をプレミアム側の和で割ると

s = \frac{( 1 - R ) i = 1 \sum n e ^{- r t_{i}} ( e ^{- λ t_{i - 1}} - e ^{- λ t_{i}} )}{i = 1 \sum n e ^{- r t_{i}} e ^{- λ t_{i}} Δ t} (2.12)

が得られます。これが (1.2) です。

近似公式の導出： $λ$ が小さいとき、 $e^{- λ t_{i - 1}} - e^{- λ t_{i}} \approx λ Δ t e^{- λ t_{i}}$ と近似できます。これを (2.12) に代入すると、分子と分母の和が約分されて

s \approx λ (1 - R) (2.13)

が得られます。ハザードレートと損失率の積という、直感的に明快な式です。 ∎

5. 反例 ― 構造モデルでは短期スプレッドが消える

CEX-MRT-1: 満期を縮めるとスプレッドが潰れる

THM-MRT-2 を数値で確認します。 $V_{0} = 100$ , $D = 80$ , $σ_{V} = 0.25$ , $r = 0.05$ で、満期 $T$ を変えてクレジットスプレッドを計算します。

満期 $T$ （年）	スプレッド（bps）
5.0	159.33
3.0	189.97
1.0	200.54
0.5	145.70
0.25	64.58
0.05	0.08

$T = 0.05$ 年（約2.5週間）ではスプレッドが 0.08 bps にまで潰れます。現実の市場では、財務が健全な企業でも短期の CDS スプレッドは数十 bps 程度あります。幾何ブラウン運動の連続パスでは、短期間に $V_{0} = 100$ から $D = 80$ まで落ちる確率が極端に小さいため、スプレッドが消えてしまうのです。

これはマートンモデルの本質的な限界です。ジャンプ過程を加えるか、デフォルト境界を上方に動かすなどの拡張が必要になります。誘導形モデルがハザードレートを直接パラメータとして持つのは、この問題を回避する一つの方法です。

CEX-MRT-2: 企業価値の逆算が入力に敏感

マートンモデルでは企業価値 $V_{0}$ を既知とします。しかし実際には株式は市場で観測できても企業価値は直接観測できません。株価（≒ 株式価値）からブラック・ショールズ式を逆算して $V_{0}$ を求める必要があります。

$V_{0} = 100$ , $D = 80$ , $σ_{V} = 0.25$ , $T = 5$ のとき、株式価値は 42.4669 です。ここで株式価値を $\pm 1$ （約 2.4%）だけ動かして $V_{0}$ を逆算すると

株式価値	逆算された $V_{0}$	$V_{0}$ の変化
41.4669	98.8475	$- 1.15$
42.4669	100.0000	基準
43.4669	101.1467	$+ 1.15$

株式価値の 1 の変化が企業価値の約 1.15 の変化に増幅されます。さらにボラティリティ $σ_{V}$ も未知なので、その推定も必要です。 $σ_{V}$ を変えると株式価値は大きく変わります。

$σ_{V}$	株式価値
0.20	40.2842
0.25	42.4669
0.30	44.9590

$σ_{V}$ を 0.05 動かすだけで株式価値が約 2.2 から 2.5 ずれます。 $V_{0}$ と $σ_{V}$ を同時に逆算するには非線形の連立方程式を解く必要があり、解は入力に敏感です。「企業価値が観測できる」という仮定は、実務では大きな制約となります。

CEX-CDS-3: CDS は保険ではない

CDS はデフォルト時に損失を補填する契約なので「保険」に見えます。しかし決定的な違いがあります。保険は損害を被った当事者しか請求できませんが、CDS は参照債券を保有していなくても購入できます。

想定元本 100、スプレッド 121.21 bps の CDS を考えます。年間プレミアムは 1.2121 です。参照企業がデフォルトすると回収率 40% のもとでプロテクション側から 60.0 を受け取ります。

参照債券を持たずにこの CDS を買った場合（ネイキッド CDS）、デフォルトが1年目に起きれば

60.0 - 1.2121 = 58.7879

の利益が出ます。債券を持っていないので実際の損害はゼロですが、プロテクション支払いを受け取れるのです。保険であれば、火事が起きていない家の保険金を受け取ることはできません。

この構造により CDS は信用リスクを移転する道具であると同時に、信用リスクに対する投機の道具にもなります。需給が価格に影響するため、CDS スプレッドは純粋なデフォルト確率だけでは決まりません。

6. 数値例 ― 株式価値と CDS スプレッドを出す

マートンモデルによる計算

$V_{0} = 100$ , $D = 80$ , $σ_{V} = 0.25$ , $r = 0.05$ , $T = 5$ のとき

d_{1} = \frac{ln ( 100/80 ) + ( 0.05 + 0.5 \times 0.0625 ) \times 5}{0.25 5} = 1.1259

d_{2} = 1.1259 - 0.25 5 = 0.5669

株式価値は

E_{0} = 100 \times N (1.1259) - 80 \times e^{- 0.25} \times N (0.5669) = 42.4669

です。リスク中立デフォルト確率は

Q (V_{T} < D) = N (- 0.5669) = 0.2854

です。約 28.5% の確率でデフォルトすることになります。負債の価値は

B_{0} = 100 - 42.4669 = 57.5331

であり、5年のクレジットスプレッドは 159.33 bps です。

CDS スプレッドの計算

ハザードレート $λ = 0.02$ 、回収率 $R = 0.40$ 、金利 $r = 0.05$ 、満期5年、年1回払いの CDS を計算します。

プレミアム側の現在価値（ $s = 1$ あたり）は

i = 1 \sum 5 e^{- 0.05 \times i} e^{- 0.02 \times i} \times 1 = 4.0728

プロテクション側の現在価値は

0.6 \times i = 1 \sum 5 e^{- 0.05 \times i} (e^{- 0.02 (i - 1)} - e^{- 0.02 \times i}) = 0.0494

CDS スプレッドは

s = \frac{0.0494}{4.0728} = 0.012121 = 121.21 bps

近似公式 $λ (1 - R) = 0.02 \times 0.6 = 0.012 = 120 bps$ との差はわずか 1.21 bps です。

等価条件の検算： $s \times 4.0728 = 0.0494$ であり、プロテクション側の現在価値 0.0494 と一致します。プレミアム側とプロテクション側の現在価値が等しいことが確認できました。

7. 次回へ ― モンテカルロ法

構造モデルでは企業価値を幾何ブラウン運動で記述し、誘導形モデルではハザードレートで記述しました。どちらも「デフォルトの確率的な振る舞い」を扱っています。

次回（第96回）では第10部に入り、期待値を乱数で近似するモンテカルロ法を扱います。今回のマートンモデルのように解析解がある場合は公式で済みますが、パスに依存するペイオフや多数の資産を扱う場合には、乱数シミュレーションが不可欠になります。

よくある質問

株式がコールだとはどういう意味ですか

企業価値が負債を上回った分だけ株主のものになり、下回ればゼロになるからです。コールのペイオフと同じ形です。

構造モデルと誘導形はどちらが良いのですか

経済的な意味を知りたいなら構造モデル、市場価格に合わせるなら誘導形です。

CDS とは何ですか

ある企業がデフォルトしたときに損失を補填してもらう契約です。代わりに定期的にプレミアムを払います。

参考文献

Merton R. C.、On the Pricing of Corporate Debt ― The Risk Structure of Interest Rates、The Journal of Finance、1974年、DOI 10.2307/2978814
Duffie D. and Singleton K. J.、Credit Risk ― Pricing Measurement and Management、Princeton University Press、2003年

数値例は compute.py により計算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。