第53回 CRR パラメータの決め方 ― u と d はどこから来るのか

位置: 第5部 第53回 / 前提: 第32回、第51回 / 数学編: M2 / この回でできるようになること: ボラティリティから二項ツリーの上昇率と下落率を決め、そのツリーが使える刻みの条件を確かめることができる

0. 物語 ― 刻みが粗いと重みが0から1をはみ出す

デリバティブの価格計算を担当するチームが、二項ツリーを組んでオプションの値段を出そうとしています。満期1年のオプションに対して、ツリーを4分割すれば十分だろうと考えました。ボラティリティは年率20パーセントです。ところが、金利が高い通貨で同じツリーを使い回そうとしたとき、計算が壊れます。

金利が年率50パーセントの通貨を想像してください。4分割のツリーで計算すると、1期間あたりの安全資産の成長率は約1.13になります。一方、ツリー上の株価の最大上昇率は約1.11にしかなりません。安全資産に預けるだけで、株がどんなに上がっても、それを上回ってしまうのです。

こうなると、株を空売りしてその代金を安全資産に入れるだけで、上がった世界でも下がった世界でも利益が出ます。リスクなしで儲かる取引が存在する以上、このツリーでまともな値段は出せません。実際にリスク中立的な重みを計算してみると約1.14になり、0から1の範囲をはみ出します。

原因は刻みの粗さです。この条件では、1期間の長さが0.16を超えるとツリーが破綻します。4分割だと1期間は0.25ですから、限界を大きく超えています。7分割以上にすれば1期間は約0.14になり、重みはきちんと0から1の間に収まります。

二項ツリーの上昇率と下落率には「連続時間のモデルと統計的な性質を合わせる」という設計思想があります。上昇率と下落率を適切に選び、刻みを十分に細かくしなければ、ツリーは計算の道具として機能しません。この回では、その設計の条件をひとつずつ明らかにしていきます。

1. 動機 ― u と d は勝手に決めてよいのか

この回を読み終えると、ボラティリティから二項ツリーの上昇率と下落率を決め、そのツリーが使える刻みの条件を確かめることができます。

二項モデルでは、原資産が1期間で $u$ 倍に上がるか $d$ 倍に下がるかの2通りを考えます。ここまでの記事では「$u=1.2$, $d=0.9$」のように具体的な数値を天下り的に与えていました。しかし実際の価格計算では、$u$ と $d$ をどう決めるかが結果を大きく左右します。

直感的には、二項モデルは現実の連続的な株価変動を離散的に近似するものです。ならば、連続時間のモデルが持つ統計的性質を、離散モデルが再現するように $u$ と $d$ を選ぶのが自然です。この「合わせるべき性質」が平均と分散であり、その条件から $u$, $d$, リスク中立確率 $q$ が具体的に定まります。

今回は、Cox・Ross・Rubinstein（CRR）のパラメータの取り方がどこから来るのかを、モーメント・マッチングの条件から完全に導きます。さらに、刻みの取り方を誤ると確率が区間を外れること、パラメータの取り方は一意でないこと、期数を増やしたときに価格が振動しながら収束することを、数値で確認します。

この記事で証明すること

• THM-CRR-1 1期間の対数収益率の平均と分散を連続時間モデルに合わせる条件から、$u$, $d$, $q$ の関係式が決まります。
• THM-CRR-2 $ud=1$ という対称条件を追加すると、$u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ として一意に定まります。
• THM-CRR-3 時間刻みが十分小さければリスク中立確率は $(0,1)$ に入りますが、刻みが粗いと外れることがあります。

この節のまとめ: 二項モデルの $u$ と $d$ を天下りに選ぶのではなく、連続時間の性質に合わせて決める方法を示すのが本記事の目的です。

2. 設定と仮定 ― 連続時間の目標に合わせる

二項モデルのパラメータを選ぶための前提を整理します。

• 連続時間の目標: 原資産価格は幾何ブラウン運動に従うとします。このとき、微小時間 $\Delta t$ の対数収益率 $\ln (S_{t+\Delta t}/S_t)$ は、平均 $(r-{\sigma }^2/2)\Delta t$、分散 ${\sigma }^2\Delta t$ の正規分布に従います。ここで $r$ は連続複利の無リスク金利、$\sigma$ はボラティリティです。この性質は結果として引用します。
• 各期の $u$, $d$, $r$ は一定: 二項モデルの全期間を通じて、上昇率・下落率・金利は同じ値を使います。
• 時間刻み: 満期 $T$ を $n$ 期に分割します。1期間の長さは $\Delta t=T/n$ です。
• 数値に単位は付けない: 金利は年率、$T$ は年で測りますが、単位は明示しません。

1期間の二項モデルでは、原資産の対数収益率は2つの値を取ります。

$$\ln \frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}=\{\begin{array}{ll}\ln u& \text{（確率 }q\text{）}\\ \ln d& \text{（確率 }1-q\text{）}\end{array}$$

ここで $q$ はリスク中立確率です。この離散的な確率変数の平均と分散を、連続時間の値に一致させます。

この節のまとめ: 連続時間モデルの対数収益率の平均と分散を、二項モデルの対数収益率が再現するようにパラメータを選びます。

3. 主張 ― 平均と分散を合わせると決まる

定理 THM-CRR-1（モーメント・マッチング） 1期間の対数収益率のリスク中立的な平均と分散を連続時間モデルに合わせる条件は次の2つである。

\begin{aligned} q \ln u + (1-q) \ln d &= (r – \sigma^2/2)\,\Delta t \tag{3.1} \\ q (\ln u)^2 + (1-q)(\ln d)^2 – [q \ln u + (1-q) \ln d]^2 &= \sigma^2 \Delta t \tag{3.2} \end{aligned} :KaTeX parse error: Multiple \tag

ここで未知数は $u$, $d$, $q$ の3つ、条件式は2本である。自由度が1つ残るため、追加の条件を1つ課す必要がある。

定理 THM-CRR-2（CRR の選び方） 追加条件として $ud=1$（すなわち $\ln u+\ln d=0$）を課すと、$\Delta t$ の高次の項を無視した近似のもとで

$$u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}},d=e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}=\frac{1}{u}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

が一意に定まる。対応するリスク中立確率は

$$q=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

である。

定理 THM-CRR-3（確率が区間に入る条件） CRR パラメータのもとで $r>0$ とする。$q\in (0,1)$ が成り立つための必要十分条件は $e^{r\Delta t}<u$、すなわち

$$\Delta t<\frac{{\sigma }^2}{r^2}\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

である。$n$ が十分大きければ（$\Delta t$ が十分小さければ）この条件は常に満たされる。

この節のまとめ: モーメント・マッチングの2条件と $ud=1$ の追加条件から、CRR パラメータが一意に定まります。刻みが小さければ確率は必ず $(0,1)$ に入ります。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― モーメントを一致させる

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第2回「テイラー展開」へ。

THM-CRR-1 の証明

対数収益率 $Y=\ln (S_{t+\Delta t}/S_t)$ の、リスク中立測度 $\mathbb{Q}$ のもとでの期待値と分散を計算します。

$Y$ は確率 $q$ で $\ln u$、確率 $1-q$ で $\ln d$ を取る離散確率変数です。期待値は定義通りに

$${\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[Y]=q\ln u+(1-q)\ln d\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

です。分散は ${\mathrm{Var}}^{\mathbb{Q}}(Y)={\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[Y^2]-({\mathbb{E}}^{\mathbb{Q}}[Y]{)}^2$ なので

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Var}}^{\mathbb{Q}}(Y)& =q(\ln u{)}^2+(1-q)(\ln d{)}^2\\ & -[q\ln u+(1-q)\ln d{]}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

です。連続時間の幾何ブラウン運動のもとでは、$\Delta t$ の間の対数収益率の平均は $(r-{\sigma }^2/2)\Delta t$、分散は ${\sigma }^2\Delta t$ です。これらを一致させる条件が (3.1) と (3.2) です。

未知数は $u$, $d$, $q$ の3つですが、条件式は2本しかありません。したがって自由度が1つ残ります。これが「$u$ と $d$ の取り方は一通りではない」理由です。 ∎

THM-CRR-2 の証明

自由度を消すために、CRR は $ud=1$ という条件を追加しました。これは $\ln d=-\ln u$ を意味します。幾何的には、上昇と下落が対数スケールで対称であるということです。

$\ln u=a$ とおくと $\ln d=-a$ です。(3.2) の分散条件に代入します。

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Var}}^{\mathbb{Q}}(Y)& =q\cdot a^2+(1-q)\cdot a^2\\ & -[q\cdot a+(1-q)(-a){]}^2\end{array}$$

第1項と第2項をまとめると $a^2$ になります。第3項の括弧の中を整理します。

$$q\cdot a+(1-q)(-a)=a(2q-1)$$

したがって

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Var}}^{\mathbb{Q}}(Y)& =a^2-a^2(2q-1{)}^2\\ & =a^2[1-(2q-1{)}^2]\\ & =4a^{2}q(1-q)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

ここで最後の等式は、$1-(2q-1{)}^2=1-4q^2+4q-1=4q(1-q)$ と展開して得ました。

次に (3.1) の平均条件を使います。$\ln d=-a$ を代入すると

$$\begin{array}{rl}& qa+(1-q)(-a)\\ & =a(2q-1)=(r-{\sigma }^2/2)\Delta t\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

です。この段階で、$a$ と $q$ は $\Delta t$ に依存するパラメータです。(4.3) の分散を ${\sigma }^2\Delta t$ に等しいとおくと

$$4a^{2}q(1-q)={\sigma }^2\Delta t\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

です。(4.4) から $a(2q-1)=O(\Delta t)$ なので、$q$ が $1/2$ に近いとき $(2q-1)=O(\sqrt{\Delta t})$ 程度です。このとき $q(1-q)$ は $1/4+O(\Delta t)$ に近くなります。

(4.5) に $q(1-q)\approx 1/4$（$\Delta t\to 0$ の近似）を代入すると

$$4a^2\cdot \frac{1}{4}=a^2={\sigma }^2\Delta t$$

よって $a=\sigma \sqrt{\Delta t}$ です（$a>0$ を取ります。$u>1>d$ なので $\ln u>0$）。これから

$$u=e^a=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}},d=e^{-a}=e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$$

が得られます。

この近似が妥当である理由を確認します。(4.4) に $a=\sigma \sqrt{\Delta t}$ を戻すと

$$q=\frac{1}{2}+\frac{(r-{\sigma }^2/2)\Delta t}{2\sigma \sqrt{\Delta t}}=\frac{1}{2}+\frac{r-{\sigma }^2/2}{2\sigma }\sqrt{\Delta t}$$

となり、$q\to 1/2$（$\Delta t\to 0$）が確認できます。したがって $q(1-q)\to 1/4$ であり、近似は $\Delta t\to 0$ で正当化されます。

リスク中立確率を正確に求めます。1期間後の株価の期待値を割り引いた値を現在価格に等しくする条件（リスク中立条件）は

$$qu{S}_0+(1-q)d{S}_0=e^{r\Delta t}{S}_0$$

です。$S_0>0$ で割って整理すると

$$q=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}$$

が得られます。これが (3.4) です。 ∎

THM-CRR-3 の証明

$q>0$ と $q<1$ をそれぞれ確認します。

$q>0$ について: (3.4) の分子を見ます。$e^{r\Delta t}-d=e^{r\Delta t}-e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$ です。$r>0$ かつ $\Delta t>0$ のとき $e^{r\Delta t}>1>e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$ なので、分子は正です。分母 $u-d>0$ なので $q>0$ が成り立ちます。

$r=0$ の場合でも $e^0=1>e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$ なので $q>0$ です。$r<0$ でも $\Delta t$ が十分小さければ分子は正になります。ここでは定理の仮定どおり $r>0$ として進めます。

$q<1$ について: (3.4) で $q<1$ は $e^{r\Delta t}-d<u-d$、すなわち $e^{r\Delta t}<u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ と同値です。両辺の対数を取ると

$$r\Delta t<\sigma \sqrt{\Delta t}$$

$\Delta t>0$ で両辺を $\sqrt{\Delta t}$ で割ると

$$r\sqrt{\Delta t}<\sigma$$

すなわち

$$\Delta t<\frac{{\sigma }^2}{r^2}$$

が得られます。$\Delta t=T/n$ なので、$n>r^{2}T/{\sigma }^2$ であればこの条件は満たされます。

$r>0$ のとき、$\Delta t\to 0$ で $r\sqrt{\Delta t}\to 0<\sigma$ ですから、$n$ を十分大きくすれば（刻みを十分細かくすれば）必ず $q\in (0,1)$ が成り立ちます。

逆に $\Delta t\ge {\sigma }^2/r^2$ のとき、$e^{r\Delta t}\ge e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}=u$ となり、安全資産の1期間成長率が原資産の上昇率以上になります。このとき株を空売りして安全資産に回す裁定が可能です。 ∎

この節のまとめ: モーメント・マッチングと $ud=1$ の条件から CRR パラメータを導きました。$\Delta t<{\sigma }^2/r^2$ が確率の正当性を保証します。

5. 反例 ― 刻みが粗いと確率が範囲を出る

反例 CEX-CRR-1: 大きな金利と粗い刻み

THM-CRR-3 の条件が破れる状況を数値で確認します。$\sigma =0.2$, $T=1$, $r=0.5$, $n=4$ とします。

$$\begin{array}{rl}\Delta t& =0.25\\ u& =e^{0.2\sqrt{0.25}}=1.105171\\ d& =e^{-0.2\sqrt{0.25}}=0.904837\end{array}$$

1期間の安全資産の成長率は

$$R=e^{0.5\times 0.25}=1.133148$$

です。$R=1.133148>u=1.105171$ なので、安全資産のほうが株の最大上昇率よりも高くなっています。リスク中立確率を計算すると

$$q=\frac{1.133148-0.904837}{1.105171-0.904837}=\frac{0.228311}{0.200334}=1.139655$$

となり、$q>1$ で確率として意味をなしません。

なぜ裁定が生じるか: 安全資産の成長率が株の上昇率を上回るので、株を空売りして安全資産に全額入れれば、どちらの状態でも利益が出ます。これは第45回で見た $1+r\ge u$ のケースと同じ構造です。

THM-CRR-3 から、臨界の刻み幅は $\Delta t_{\mathrm{crit}}={\sigma }^2/r^2=0.04/0.25=0.16$ です。期数に換算すると $n\ge \lceil T/\Delta t_{\mathrm{crit}}\rceil =7$ が必要です。$n=4$ は $\Delta t=0.25>0.16$ なので条件を満たしていません。

反例 CEX-CRR-2: パラメータの取り方は一意ではない

THM-CRR-1 で見たように、モーメント・マッチングの条件は2本で未知数は3つあるため、$ud=1$ 以外の追加条件を選ぶことも可能です。たとえば Jarrow-Rudd（JR）は $q=1/2$ を追加条件に取り、

$$u=e^{(r-{\sigma }^2/2)\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t}},d=e^{(r-{\sigma }^2/2)\Delta t-\sigma \sqrt{\Delta t}}$$

とします。$ud=1$ ではなくなりますが、モーメント・マッチングの条件は満たされます。ただし下の表の JR 価格は、この $u,d$ に対して裁定が生じないよう $q$ を (3.4) で計算し直して求めています（その値は $1/2$ にごく近くなります）。

どちらの取り方でも、$n\to \infty$ で同じ連続時間の極限価格に収束します。しかし有限の $n$ での収束の速さは異なります。

$S_0=100$, $K=100$, $r=0.05$, $\sigma =0.2$, $T=1$ のヨーロピアンコールで、連続時間の極限価格は $10.4506$ です。

期数 $n$	CRR 価格	CRR 誤差	JR 価格	JR 誤差
10	10.2534	0.1972	10.5257	0.0751
50	10.4107	0.0399	10.4876	0.0370
200	10.4406	0.0100	10.4453	0.0052
1000	10.4486	0.0020	10.4522	0.0016

CRR と JR のどちらも収束しますが、$n$ が小さい領域では誤差の大きさが異なります。パラメータの取り方が一意でないことの実質的な意味は、この「有限ステップでの近似精度の違い」にあります。

反例 CEX-CRR-3: 振動しながら収束する

「期数を増やせば価格は単調に正しい値に近づく」と期待するかもしれませんが、実際にはそうなりません。CRR モデルのコール価格は、$n$ を1ずつ増やすと振動しながら極限に収束します。

$n$	価格
10	10.2534
11	10.6112
12	10.2859
13	10.5864
14	10.3091
15	10.5682
20	10.3513
30	10.3842
50	10.4107
60	10.4173

極限価格は $10.4506$ です。$n$ が奇数のときに高く、偶数のときに低い傾向が見られます。$n=10$ から $n=60$ の範囲で、連続する期数間の価格差の符号が 49 回変わっています。

この振動が起きる理由は、$n$ の偶奇によって行使価格 $K$ に最も近いツリーのノードの位置が変わるためです。$n$ が偶数のとき、ツリーの中央ノードはちょうど $S_0\cdot (ud{)}^{n/2}=S_0$ となり $K=S_0$ に重なります。$n$ が奇数のとき、中央のノードは $K$ からずれます。この「ずれ」が価格に周期的な影響を与え、振動を引き起こします。

この節のまとめ: 刻みが粗いと確率が $(0,1)$ を外れて裁定が生じます。パラメータの取り方は一意ではなく、収束速度が異なります。期数を増やすとき、価格は振動しながら極限に近づきます。

6. 数値例 ― 期数を増やして価格を追う

$S_0=100$, $K=100$, $r=0.05$, $\sigma =0.2$, $T=1$ でCRR パラメータを計算します。

$n=50$ のパラメータ:

$$\begin{array}{rl}\Delta t& =0.02\\ u& =e^{0.2\sqrt{0.02}}=1.028688\\ d& =e^{-0.2\sqrt{0.02}}=0.972112\end{array}$$

$ud=1.028688\times 0.972112=1.0$ であることが確認できます。CRR の $ud=1$ という条件が成り立っています。

1期間の成長率と確率は

$$R=e^{0.05\times 0.02}=1.001001$$

$$q=\frac{1.001001-0.972112}{1.028688-0.972112}=0.510614$$

です。$q$ は $1/2$ よりわずかに大きく、これはドリフト $r>0$ を反映しています。

期数を変えたコール価格:

期数 $n$	$\Delta t$	CRR コール価格
10	0.1	10.2534
50	0.02	10.4107
200	0.005	10.4406
1000	0.001	10.4486

極限価格は $10.4506$ です。$n$ を増やすにつれて価格は極限に近づきますが、前節で見たように単調ではなく振動を含みます。

確率が区間を外れる条件: $r=0.5$, $\sigma =0.2$ のとき、臨界の刻み幅は

$$\Delta t_{\mathrm{crit}}=\frac{{\sigma }^2}{r^2}=\frac{0.04}{0.25}=0.16$$

です。$T=1$ のとき $n\ge 7$ であれば $\Delta t\le 1/7\approx 0.143<0.16$ となり、$q\in (0,1)$ が保証されます。$n=4$ では $\Delta t=0.25>0.16$ なので、$q=1.1397>1$ となります。

この節のまとめ: $n=50$ でも極限価格との差は約 $0.04$ であり、$n=1000$ では $0.002$ まで縮まります。実用上は数百ステップで十分な精度が得られます。

7. 次回へ ― 極限で何が起きるのか

今回は、二項モデルの $u$ と $d$ が連続時間の幾何ブラウン運動にモーメントを合わせるように選ばれることを見ました。期数を増やすと価格は振動しながらも連続時間の極限値に収束します。

次回（第54回）では、この極限操作をもう少し掘り下げます。$n\to \infty$ のとき、二項モデルの対数収益率の分布はどうなるのか。中心極限定理を使って、離散モデルが連続時間の対数正規分布に収束することを示します。

この節のまとめ: 期数を増やすほど二項モデルは連続時間モデルに近づきます。次回、その極限の正体を中心極限定理で明らかにします。

次のマイルストーンまであと 1 本です。

よくある質問

u と d の決め方は1通りですか

違います。条件を満たす取り方は複数あります。CRR はそのうち扱いやすいものです。

期数はいくつにすればいいですか

数百もあれば実用上は十分です。増やすほど正確になりますが計算時間も増えます。

確率が1を超えたらどうなりますか

そのツリーには裁定が存在します。刻みを細かくするか、パラメータを見直す必要があります。

参考文献

1. Cox J. C.、Ross S. A. and Rubinstein M.、Option Pricing ― A Simplified Approach、Journal of Financial Economics、1979年、DOI 10.1016/0304-405X(79)90015-1
2. Hull J. C.、Options Futures and Other Derivatives、第11版、Pearson、2021年