第28回 分布を一本の関数に押し込む ― モーメント母関数と特性関数

位置: 第3部 第28回 / 前提: 第19回、第20回 / 数学編: M19 / この回でできるようになること: 独立な損益の和の分布を、モーメント母関数の積として計算できる

0. 物語 ― モーメント母関数が存在しない分布

損益の平均やばらつきを、ある関数を微分するだけで全部取り出せる。そんな都合のよい道具があるとしたら、どんな分布にでも使えると思いませんか。

答えは「使えない分布がある」です。モーメント母関数と呼ばれるこの道具は、裾の軽い分布では非常にうまく働きます。ところが、極端な値がまれに飛び出す裾の重い分布に当てはめると、関数の値が際限なく膨らみ、定義そのものが壊れてしまいます。

コーシー分布という裾の重い分布で試してみます。計算の範囲を10にすると値は約2.5で、一見おとなしく見えます。しかし範囲を50に広げると約2000万、100にすると10の17乗を超え、1000まで広げると10の210乗に達します。収束する気配はまったくありません。この分布は裾が重すぎて、平均値すら定義できないのです。

では別の道具はないのか。ここで登場するのが特性関数です。指数の肩に虚数を載せるという一手間を加えるだけで、先ほど爆発した同じコーシー分布でも値はつねに有限に収まります。同じ条件で計算すると、特性関数の値は約0.61。範囲を広げても安定したまま動きません。

特性関数にはもうひとつ決定的な強みがあります。2つの独立な損益を足し合わせたとき、合計の特性関数は元の2つをただ掛けるだけで求まります。密度関数の積分を繰り返す必要がないのです。しかも、特性関数が同じなら分布も必ず同じであることが数学的に保証されています。今回はこれらの性質を定義から順に証明していきます。

1. 動機 ― 分布の情報を1本の関数に畳む

この回を読み終えると、独立な損益の和の分布を、モーメント母関数の積として計算できます。

確率変数の分布は、密度関数や分布関数で表せます。しかしこれらの関数を直接操作するのは厄介です。たとえば、2つの独立な確率変数 $X,Y$ の和 $X+Y$ の分布を求めるには、密度の畳み込み積分を計算する必要があります。

$$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$$

積分はいつでも簡単に実行できるわけではありません。もし、分布の情報を1本の関数に「押し込んで」おいて、その関数の世界では畳み込みがただの掛け算になるなら、計算が格段に楽になります。

この「押し込み先」がモーメント母関数と特性関数です。今回は定義を述べ、2つの基本定理を証明し、3つめの定理（一意性）を道具として使えるようにします。

この記事で証明すること

• THM-CF2-1 モーメント母関数が原点の近傍で存在するとき、その $k$ 階微分を原点で評価すると $k$ 次のモーメントが得られます。
• THM-CF2-2 独立な確率変数の和の特性関数は、各特性関数の積に等しくなります。畳み込みが掛け算に変わります。
• THM-CF2-3 特性関数が一致すれば分布も一致します。証明は数学編 M19 で行います。

2. 設定と仮定 ― モーメント母関数と特性関数の定義

確率変数 $X$ に対して、2つの関数を定義します。

モーメント母関数（moment generating function, MGF） は実数 $t$ の関数です。

$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

$M_X(t)$ が原点を含むある開区間 $(-\delta ,\delta )$ で有限の値を取るとき、「$X$ のモーメント母関数が存在する」と言います。$t=0$ では常に $M_X(0)=1$ ですが、$t\ne 0$ で有限になるとは限りません。裾の重い分布では $e^{tX}$ の期待値が発散し、モーメント母関数が存在しないことがあります。

特性関数（characteristic function, CF） は実数 $t$ の関数ですが、値は複素数です。

$${\phi }_X(t)=\mathbb{E}[e^{itX}]\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

ここで $i$ は虚数単位です。$|e^{itX}|=1$ が常に成り立つので、${\phi }_X(t)$ はすべての確率変数に対して、すべての $t$ で存在します。これがモーメント母関数に対する特性関数の最大の利点です。複素数を使う代償として、値の直観的な解釈はやや難しくなりますが、存在が保証されることの恩恵は大きいです。

オイラーの公式 $e^{itX}=\cos (tX)+i\sin (tX)$ を使えば、特性関数の実部と虚部は次のように書けます。

$${\phi }_X(t)=\mathbb{E}[\cos (tX)]+i\mathbb{E}[\sin (tX)]$$

数値計算ではこの分解を使い、実部と虚部を別々に計算します。

この節のまとめです。モーメント母関数は $e^{tX}$ の期待値、特性関数は $e^{itX}$ の期待値です。前者は存在しないことがありますが、後者は常に存在します。

3. 主張 ― 微分でモーメント、積で独立和

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-CF2-1（モーメントの取り出し） モーメント母関数 $M_X(t)$ が原点を含む開区間 $(-\delta ,\delta )$ で存在するとする。このとき、任意の正整数 $k$ に対して

$$M_X^{(k)}(0)=\mathbb{E}[X^k]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

が成り立つ。すなわち、モーメント母関数の $k$ 階微分を $t=0$ で評価すると、$k$ 次のモーメントが得られる。

定理 THM-CF2-2（独立和の積構造） $X$ と $Y$ が独立な確率変数であるとき、

$${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

が全ての $t$ で成り立つ。同様に、モーメント母関数が存在する範囲では $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$ も成り立つ。

定理 THM-CF2-3（一意性） 2つの確率変数 $X,Y$ について ${\phi }_X(t)={\phi }_Y(t)$ が全ての $t$ で成り立つならば、$X$ と $Y$ は同じ分布を持つ。

THM-CF2-3 の証明には測度論の道具（反転公式）が必要です。本シリーズでは結果だけを使い、証明は数学編 M19 に委ねます。

この節のまとめです。モーメント母関数を微分するとモーメントが出てきて、独立な確率変数の和では特性関数が積になります。そして、特性関数が分布を一意に決定します。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 定義を微分して取り出す

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第19回（特性関数）へ。

THM-CF2-1 の証明

$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$ が $(-\delta ,\delta )$ で存在するという仮定のもとで、$M_X(t)$ を $t$ で微分します。期待値の記号の中の $e^{tX}$ は $t$ について滑らかなので、期待値と微分の順序を交換できます。この順序交換が正当化される条件は、$M_X(t)$ が開区間で有限であるという仮定から従います（優収束定理による正当化は数学編 M19 を参照してください）。

1階微分を計算します。$e^{tX}$ を $t$ で微分すると $X{e}^{tX}$ が出ます。

$$M_X^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\mathbb{E}[e^{tX}]=\mathbb{E}\left[\frac{d}{dt}{e}^{tX}\right]=\mathbb{E}[X{e}^{tX}]\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

$t=0$ を代入します。$e^{0\cdot X}=1$ なので

$$M_X^{\prime }(0)=\mathbb{E}[X\cdot 1]=\mathbb{E}[X]\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

これで1次のモーメントが取り出せました。

同じ操作を繰り返します。もう1回 $t$ で微分すると、$X{e}^{tX}$ をさらに $t$ で微分して $X^2{e}^{tX}$ が出ます。

$$M_X^{\prime \prime }(t)=\mathbb{E}[X^2{e}^{tX}]$$

$t=0$ を代入すると

$$M_X^{\prime \prime }(0)=\mathbb{E}[X^2]\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

一般の $k$ でも同様です。$e^{tX}$ を $t$ で $k$ 回微分すると $X^k{e}^{tX}$ になります。これは指数関数の微分の連鎖律から従います。$e^{tX}$ の $t$ についての1回の微分で $X$ が1つ前に出るので、$k$ 回繰り返せば $X^k$ が前に出ます。

$$M_X^{(k)}(t)=\mathbb{E}[X^k{e}^{tX}]$$

$t=0$ を代入して

$$M_X^{(k)}(0)=\mathbb{E}[X^k]$$

これが (2.1) です。 ∎

「モーメント母関数」という名前の由来はここにあります。微分するたびにモーメントが「生まれる」ので「母」関数です。

特性関数でも同じ操作ができます。${\phi }_X(t)=\mathbb{E}[e^{itX}]$ を $t$ で $k$ 回微分すると

$${\phi }_X^{(k)}(t)=\mathbb{E}[(iX{)}^k{e}^{itX}]=i^k\mathbb{E}[X^k{e}^{itX}]$$

$t=0$ を代入して

$${\phi }_X^{(k)}(0)=i^k\mathbb{E}[X^k]$$

両辺を $i^k$ で割ると（$(-i{)}^k$ を掛けることと同じです）

$$\mathbb{E}[X^k]=(-i{)}^k{\phi }_X^{(k)}(0)\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

となります。こちらは $k$ 次のモーメントが有限であれば使えます。

THM-CF2-2 の証明

$X$ と $Y$ が独立であるとき、和 $X+Y$ の特性関数を定義に戻って計算します。

$${\phi }_{X+Y}(t)=\mathbb{E}[e^{it(X+Y)}]\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

指数法則を使い、和の指数を積に分解します。$e^{it(X+Y)}=e^{itX}\cdot e^{itY}$ ですから

$${\phi }_{X+Y}(t)=\mathbb{E}[e^{itX}\cdot e^{itY}]\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

ここで独立性を使います。$X$ と $Y$ が独立であるとき、$e^{itX}$ と $e^{itY}$ も独立です（独立な確率変数の関数は独立であるという性質を使っています）。独立な確率変数の積の期待値は、期待値の積に等しくなります。

$$\mathbb{E}[e^{itX}\cdot e^{itY}]=\mathbb{E}[e^{itX}]\cdot \mathbb{E}[e^{itY}]\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

右辺はそれぞれ特性関数の定義そのものです。

$$={\phi }_X(t)\cdot {\phi }_Y(t)$$

以上をまとめると

$${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)$$

が得られました。これが (2.2) です。

モーメント母関数についても、$e^{t(X+Y)}=e^{tX}\cdot e^{tY}$ と分解し、同じく独立性から期待値の積に崩せます。

$$M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

ただし、こちらは $M_X(t)$ と $M_Y(t)$ がともに存在する $t$ の範囲でのみ成り立ちます。 ∎

この証明の核心は、指数法則で和を積に変え、独立性で期待値を分解した、という2段階です。密度の畳み込み積分を一度も書かずに済んでいます。これが「畳み込みが掛け算に変わる」ことの意味です。

THM-CF2-3 について

定理 THM-CF2-3（一意性） の証明は数学編 M19 で行います。

特性関数から分布を復元する操作は反転公式と呼ばれ、フーリエ解析の道具を使います。本シリーズでは「特性関数が一致すれば分布も一致する」を既知の事実として用います。この一意性が成り立つからこそ、特性関数は分布の「指紋」として機能します。

5. 反例 ― モーメントだけでは分布が決まらない

CEX-CF2-1: 裾の重い分布ではモーメント母関数が存在しない

モーメント母関数はいつでも使えるわけではありません。コーシー分布（密度 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$）を例に取ります。

$t=0.5$ として $M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$ の積分を、打ち切り範囲 $[-L,L]$ で近似します。

打ち切り幅 $L$	$M_X(0.5)$ の近似値
10	2.5345
50	20,005,701
100	$3.44\times 10^{17}$
500	$9.62\times 10^{102}$
1000	$8.97\times 10^{210}$

$L$ を広げるほど値が爆発的に増大し、収束する気配がありません。コーシー分布は裾が重く、$e^{tX}$ の増大を抑えられないためです。$t\ne 0$ ではモーメント母関数が存在しません（実は、コーシー分布は平均すら持ちません）。

一方、特性関数は $|e^{itX}|=1$ なので積分が常に収束します。コーシー分布の特性関数は ${\phi }_X(t)=e^{-|t|}$ であることが知られています。

$t$	${\phi }_X(t)$（解析値）
0.5	0.606531
1.0	0.367879
2.0	0.135335

すべての $t$ で有限の値が得られます。モーメント母関数が破綻する分布でも、特性関数なら常に定義できるのです。

CEX-CF2-2: すべてのモーメントが一致しても分布は決まらない

「モーメントが全部分かれば分布も分かるのでは」と思うかもしれません。しかし、これは一般には正しくありません。

対数正規分布 $X\sim \text{LogNormal}(0,1)$（密度 $f(x)$）に対して、密度を

$$g(x)=f(x)(1+\sin (2\pi \ln x))$$

と修正した分布を考えます。$g(x)\ge 0$ は $|\sin (\cdot )|\le 1$ から従い、$\int g=\int f=1$ も $\sin$ の寄与が消えることから成り立つので、$g$ は確かに確率密度です。

$k$ 次のモーメントを比較します。

$k$	$f$ のモーメント	$g$ のモーメント	差
1	1.648721	1.648721	0
2	7.389056	7.389056	0
3	90.017131	90.017131	0
4	2980.957987	2980.957987	0

すべてのモーメントが一致しています。これは偶然ではなく、変数変換 $u=\ln x$ を行うと $\sin$ の寄与が $\sin (2\pi u)$ と $e^{ku}$ のガウス重み付き積分になり、整数 $k$ では解析的にゼロになることが示せます。

密度 $f$ と $g$ は明らかに異なる関数ですが、全ての次数のモーメントが一致します。つまり、モーメントの列は分布を一意に決定しません。これをモーメント問題が不定であると言います。

特性関数は分布を一意に決定する（THM-CF2-3）のに対し、モーメントの列ではそれが保証されない。これが特性関数を使う決定的な理由の一つです。

CEX-CF2-3: 独立でなければ積の形は崩れる

THM-CF2-2 で使った独立性の仮定を外すとどうなるかを見ます。$X,Y$ がともに $N(0,1)$ に従い、相関 $\rho =0.5$ を持つとします。ただし $(X,Y)$ の同時分布は2変量正規分布とします（それぞれが正規分布に従うだけでは、和が正規分布になるとは限りません）。

$X+Y$ の分散は $\text{Var}(X+Y)=1+1+2\rho =3$ なので、$X+Y\sim N(0,3)$ です。$t=1$ で特性関数を比較します。

• 実際の ${\phi }_{X+Y}(1)$: $X+Y\sim N(0,3)$ なので ${\phi }_{X+Y}(1)=e^{-3/2}=0.223130$
• 独立と仮定した場合の ${\phi }_X(1)\cdot {\phi }_Y(1)$: 各 $N(0,1)$ の特性関数は $e^{-1/2}$ なので積は $e^{-1}=0.367879$

$${\phi }_{X+Y}(1)=0.223130\ne 0.367879={\phi }_X(1){\phi }_Y(1)$$

差は $0.144749$ あり、無視できない大きさです。相関がある（独立でない）場合、和の特性関数は各特性関数の積に分解できません。THM-CF2-2 の独立性は省略できない仮定です。

この節のまとめです。モーメント母関数は存在しないことがあり、モーメントの列では分布が決まらないこともあります。特性関数は常に存在し、分布を一意に決定します。また、積への分解は独立性が本質的です。

6. 数値例 ― 正規分布で特性関数を計算する

正規分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ の特性関数とモーメント母関数は閉じた形で書けます。

$${\phi }_X(t)=e^{i\mu t-{\sigma }^2{t}^2/2},M_X(t)=e^{\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

$\mu =3$, $\sigma =2$ の場合に $t=1$ で評価します。

$${\phi }_X(1)=e^{3i-2}$$

実部と虚部に分けると

$$\begin{array}{rl}{\phi }_X(1)& =e^{-2}(\cos 3+i\sin 3)\\ & =-0.133981+0.019099i\end{array}$$

絶対値は $|{\phi }_X(1)|=e^{-2}=0.135335$ です。

モーメントの取り出し

$M_X(t)=e^{3t+2t^2}$ を $t$ で微分します。

$$M_X^{\prime }(t)=(3+4t)e^{3t+2t^2}$$

$t=0$ を代入すると $M_X^{\prime }(0)=3=\mu$ です。これは1次のモーメント $\mathbb{E}[X]$ です。

もう1回微分します。

$$M_X^{\prime \prime }(t)=4e^{3t+2t^2}+(3+4t{)}^2{e}^{3t+2t^2}$$

$t=0$ を代入すると $M_X^{\prime \prime }(0)=4+9=13={\mu }^2+{\sigma }^2$ です。これは2次のモーメント $\mathbb{E}[X^2]$ です。

特性関数からも数値微分で同じ値が得られます。${\phi }_X^{(k)}(0)$ を数値的に計算し、$(-i{)}^k$ を掛けると $\mathbb{E}[X]=3.0$, $\mathbb{E}[X^2]=13.000001$ が得られ、解析値と一致します。

独立和の再生性

$X\sim N(1,1.5^2)$, $Y\sim N(2,1^2)$ が独立のとき、THM-CF2-2 により

$$\begin{array}{rl}{\phi }_{X+Y}(t)& ={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)\\ & =e^{it-1.125t^2}\cdot e^{2it-0.5t^2}\\ & =e^{3it-1.625t^2}\end{array}$$

これは $N(3,3.25)$ の特性関数の形です。正規分布の和が正規分布になる再生性が、特性関数の積から直ちに読み取れます。

$t=1$ での数値を確認します。

	実部	虚部
${\phi }_X(1)$	0.175410	0.273186
${\phi }_Y(1)$	$-0.252406$	0.551517
積 ${\phi }_X(1){\phi }_Y(1)$	$-0.194941$	0.027788
${\phi }_{X+Y}(1)$（直接計算）	$-0.194941$	0.027788

積の値と直接計算の値が完全に一致しています。

この節のまとめです。正規分布では特性関数とモーメント母関数が指数関数の形で陽に書け、微分でモーメントが取り出せること、積で再生性が出ることを具体的に確認しました。

7. 次回へ ― 多資産へ移る準備

今回は、分布の情報を1本の関数に押し込む方法を見ました。モーメント母関数は微分するとモーメントを生み出し、特性関数は独立な確率変数の和を掛け算に変えます。そして特性関数は常に存在し、分布を一意に決定します。

次回（第29回）は相関と共分散行列を扱います。1つの資産から多資産へ移る準備です。相関がある場合に和の分散がどう変わるか ― 今回の CEX-CF2-3 で見た「積の形が崩れる」現象の裏側を、体系的に整理します。

次のマイルストーンまであと 14 本です。

よくある質問

なぜ複素数を使うのですか

モーメント母関数は存在しないことがありますが、特性関数は常に存在します。その代償として複素数が入ります。

この道具はどこで使いますか

和の分布が極限でどんな形に落ち着くかを調べるときと、値が不連続に飛ぶモデルの価格を計算するときです。足し算が掛け算になるのが効きます。

モーメントを全部知れば分布が分かりますか

一般には分かりません。同じモーメントを持つ別の分布が存在する場合があります。

参考文献

1. Billingsley P.、Probability and Measure、第3版、Wiley、1995年
2. Feller W.、An Introduction to Probability Theory and Its Applications Volume 2、第2版、Wiley、1971年

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数値例は compute.py により計算済み。モンテカルロのシードは固定。本文中の小数は6桁で丸めている。