第55回ブラウン運動の定義 ― 4つの条件だけで決まる過程

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2026年9月25日

位置: 第6部第55回 / 前提: 第25回、第54回 / 数学編: M18 / この回でできるようになること: ある乱数の列がブラウン運動のモデルとして使えるかを、4つの条件で点検できる

0. 物語 ― 時間と値に同じ倍率を掛ける誤り

これまでの道のりを振り返ります。離散のモデルでは、時刻が飛び飛びでした。株価は毎期「上がるか下がるか」の二択で動き、確率の計算も足し算と掛け算で済みました。ところが現実の市場では、価格はもっと細かい刻みで動いています。離散から連続へ進むには、時間の隙間を埋める「ランダムな揺れ」の土台が必要です。

その土台にはどんな性質が要るでしょうか。まず出発点はゼロです。次に、ある区間での動きと別の区間での動きが互いに影響しないこと。それから、動きの幅が時間の長さだけで決まること。最後に、経路が途切れずつながっていること。たった4つの条件ですが、これだけで揺れの正体が完全に決まります。

4つの条件が揃うと、面白い性質が出てきます。時間の軸を4倍に引き伸ばしたとき、値の軸をどう拡大すれば同じ揺れに見えるでしょうか。直感的には「時間も値も同じ倍率」と考えたくなります。しかし10万本のシミュレーションで試すと、時間を4倍にして値を4分の1にした過程のばらつきは約0.25になり、本来あるべき1.0から大きくずれてしまいます。正しくは、値を2分の1にしなければなりません。時間を4倍にしたとき、値は2倍にしか広がらない。この非対称な関係が、連続時間の揺れの本質です。

この回では、4つの条件だけでこの土台の分布がただひとつに決まることを証明し、時間と値の正しい拡大の比率がどこから出てくるのかを導きます。

1. 動機 ― 連続時間の土台を1つ用意する

この回を読み終えると、ある乱数の列がブラウン運動のモデルとして使えるかを、4つの条件で点検できます。

離散モデルでは、時刻が $t = 0, 1, 2, \dots$ と飛び飛びでした。株価も各時刻でしか値を持ちません。しかし、現実の市場では価格は連続的に動いています。連続時間のモデルを作るには、時間の間を埋める「ランダムな動き」の土台が必要です。

その土台がブラウン運動です。ブラウン運動は、4つの条件だけで定義される確率過程で、連続時間の金融モデルのほぼ全てがこの過程の上に構築されます。今回はその4つの条件を正確に述べ、条件だけから分布が一意に決まることを証明し、さらにスケーリング則とマルチンゲール性という2つの重要な性質を導きます。

道具は第54回までの確率論と、正規分布の基本的な性質だけです。新しい公理は加えません。4つの条件を書き下し、その帰結を丁寧に計算するだけです。

この記事で証明すること

THM-BM-1 ブラウン運動の4つの条件（初期値0、独立増分、正規増分、連続な標本路）を満たす過程の有限次元分布は一意に決まります。
THM-BM-2 ブラウン運動を時間方向に $c$ 倍、値方向に $c$ で割ると、再びブラウン運動になります（スケーリング則）。
THM-BM-3 ブラウン運動は自身の生成するフィルトレーションに関してマルチンゲールです。さらに $W_{t}^{2} - t$ もマルチンゲールになります。

2. 設定と仮定 ― 4つの条件を並べる

確率空間 $(Ω, F, P)$ とフィルトレーション ${F_{t}}_{t \geq 0}$ は与えられているものとします。以下の仮定を全て書き出します。

時間: $t \geq 0$ の連続時間。
増分の独立性: 互いに重ならない時間区間について要求します。すなわち $0 \leq t_{1} < t_{2} \leq t_{3} < t_{4}$ のとき、 $W_{t_{2}} - W_{t_{1}}$ と $W_{t_{4}} - W_{t_{3}}$ は独立です。
増分の分布: 任意の $0 \leq s < t$ に対し、増分 $W_{t} - W_{s}$ は平均0、分散 $t - s$ の正規分布に従います。
標本路の連続性: 確率1で、写像 $t \mapsto W_{t} (ω)$ は連続関数です。
数値実験では乱数のシードを固定します。

これらの条件を定義として採用します。ブラウン運動が実際に存在すること（このような過程が構成できること）の証明は数学編 M20 に送ります。ここでは4条件を満たす過程の性質を調べます。

これら4つの条件のうち、どれか1つでも外せばブラウン運動にならないことを、後の反例の節で具体的に確認します。

3. 主張 ― 条件だけで分布が決まる

4つの条件を正確に定理として述べます。

定義・定理 THM-BM-1（ブラウン運動の定義と有限次元分布の一意性） 確率過程 ${W_{t}}_{t \geq 0}$ が次の4条件を満たすとき、標準ブラウン運動と呼ぶ。

(i) $W_{0} = 0$ 。

(ii) 任意の $n \geq 1$ と $0 \leq t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ に対し、増分 $W_{t_{2}} - W_{t_{1}}, W_{t_{3}} - W_{t_{2}}, \dots, W_{t_{n}} - W_{t_{n - 1}}$ は互いに独立である。

(iii) 任意の $0 \leq s < t$ に対し、 $W_{t} - W_{s} \sim N (0, t - s)$ である。

(iv) 確率1で $t \mapsto W_{t} (ω)$ は $[0, \infty)$ 上の連続関数である。

この4条件を満たす過程の有限次元分布、すなわち任意の $0 \leq t_{1} < \dots < t_{n}$ に対する $(W_{t_{1}}, \dots, W_{t_{n}})$ の同時分布は、一意に決まる。

定理 THM-BM-2（スケーリング則） ${W_{t}}_{t \geq 0}$ を標準ブラウン運動、 $c > 0$ を定数とする。

$W ~_{t} := \frac{1}{c} W_{c t}$
と定めると、 ${W ~_{t}}_{t \geq 0}$ も標準ブラウン運動である。

定理 THM-BM-3（マルチンゲール性） ${W_{t}}_{t \geq 0}$ を標準ブラウン運動、 ${F_{t}}$ をその生成するフィルトレーションとする。

(a) ${W_{t}}$ は ${F_{t}}$ -マルチンゲールである。

(b) ${W_{t}^{2} - t}$ も ${F_{t}}$ -マルチンゲールである。

THM-BM-2 の「 $c$ 」を $c$ に変えてしまうと分布が変わります。これは反例 CEX-BM-3 で数値的に確認します。

THM-BM-3(b) は「 $W_{t}^{2}$ が平均的に $t$ の速さで成長する」ことを意味しています。 $W_{t}$ 自体の期待値は常に0ですが、2乗の期待値は $t$ に等しく、その「余分な成長」を $t$ で引き消すとマルチンゲールになります。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 増分の分布から有限次元分布を出す

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第18回「収束の4概念」へ。

THM-BM-1 の証明

任意の時刻 $0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ を取り、 $(W_{t_{1}}, W_{t_{2}}, \dots, W_{t_{n}})$ の同時分布を求めます。

ステップ1: 増分への分解。 $W_{0} = 0$ を使って、 $W_{t_{k}}$ を増分の和として表します。

W_{t_{k}} = (W_{t_{1}} - W_{0}) + (W_{t_{2}} - W_{t_{1}}) + \dots + (W_{t_{k}} - W_{t_{k - 1}}) = j = 1 \sum k Δ_{j} (1.1)

ここで $Δ_{j} := W_{t_{j}} - W_{t_{j - 1}}$ （ $t_{0} := 0$ ）と置きました。条件 (i) より $W_{0} = 0$ なので、この分解が成り立ちます。

ステップ2: 増分の分布の確定。 条件 (iii) より各増分の分布が決まります。

Δ_{j} = W_{t_{j}} - W_{t_{j - 1}} \sim N (0, t_{j} - t_{j - 1}) (1.2)

増分の分布は平均0で、分散は時間幅 $t_{j} - t_{j - 1}$ に等しい正規分布です。

ステップ3: 独立性の適用。 条件 (ii) より、 $Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{n}$ は互いに独立です。これらは区間が重ならない増分だからです。

ステップ4: 同時分布の構成。 独立な正規確率変数の同時分布は、各成分の分布の積で完全に決まります。 $(Δ_{1}, \dots, Δ_{n})$ の同時密度関数は

f_{Δ} (x_{1}, \dots, x_{n}) = j = 1 \prod n \frac{1}{2 π ( t _{j} - t _{j - 1} )} exp (- \frac{x _{j}^{2}}{2 ( t _{j} - t _{j - 1} )}) (1.3)

です。独立であることから、同時密度が各成分の密度の積になります。

ステップ5: もとの変数への変換。 $(W_{t_{1}}, \dots, W_{t_{n}})$ は $(Δ_{1}, \dots, Δ_{n})$ の線形変換です。(1.1) より

W_{t_{1}} W_{t_{2}} ⋮ W_{t_{n}} = 11 ⋮ 1 01 ⋮ 1 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 1 Δ_{1} Δ_{2} ⋮ Δ_{n}

この変換行列は下三角行列で、対角成分が全て1なので行列式は1です。したがって $(W_{t_{1}}, \dots, W_{t_{n}})$ の同時密度は (1.3) で $x_{j}$ を $w_{j} - w_{j - 1}$ （ $w_{0} := 0$ ）に置き換えたものになります。

f_{W} (w_{1}, \dots, w_{n}) = j = 1 \prod n \frac{1}{2 π h _{j}} exp (- \frac{( w _{j} - w _{j - 1} ) ^{2}}{2 h _{j}}) (1.4)

ここで $h_{j} := t_{j} - t_{j - 1}$ 、 $w_{0} := 0$ です。

この密度関数は4つの条件だけから一意に定まります。条件 (i)–(iii) が増分の分布と独立性を完全に指定しているので、他の選択肢はありません。条件 (iv) の連続性は有限次元分布には直接関わりませんが、過程の経路の性質を規定するために不可欠です。

以上により、4条件を満たす過程の有限次元分布は (1.4) で一意に決まります。 ∎

特に $n = 1$ の場合、 $W_{t} \sim N (0, t)$ です。 $E [W_{t}] = 0$ 、 $Var (W_{t}) = t$ 。時間が経つほど「広がる」が、平均は常にゼロに留まります。

THM-BM-2 の証明

$W ~_{t} := \frac{1}{c} W_{c t}$ が4条件を全て満たすことを確認します。

(i) 初期値。 $W ~_{0} = \frac{1}{c} W_{0} = 0$ 。条件 (i) を満たします。

(ii) 独立増分。 $0 \leq t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ のとき、各増分は

W ~_{t_{k + 1}} - W ~_{t_{k}} = \frac{1}{c} (W_{c t_{k + 1}} - W_{c t_{k}})

（ $k = 1, \dots, n - 1$ ）です。 $c > 0$ より $0 \leq c t_{1} < c t_{2} < \dots < c t_{n}$ ですから、 $W$ の条件 (ii) より $W_{c t_{2}} - W_{c t_{1}}, \dots, W_{c t_{n}} - W_{c t_{n - 1}}$ は互いに独立です。それぞれを同じ定数倍しても独立性は保たれるので、 $W ~$ の増分も互いに独立です。

(iii) 増分の分布。 $0 \leq s < t$ のとき、

W ~_{t} - W ~_{s} = \frac{1}{c} (W_{c t} - W_{cs})

です。 $W$ の条件 (iii) より $W_{c t} - W_{cs} \sim N (0, c t - cs) = N (0, c (t - s))$ です。正規確率変数を $\frac{1}{c}$ 倍すると、平均は $\frac{1}{c} \times 0 = 0$ のまま、分散は $\frac{1}{c} \times c (t - s) = t - s$ になります。したがって

W ~_{t} - W ~_{s} \sim N (0, t - s) (2.1)

です。分散が $c$ に依存せず $t - s$ になることが、 $c$ で割るという選択の理由です。

(iv) 連続性。 $W$ の標本路が連続ですから、 $t \mapsto W_{c t}$ も連続です（連続関数と線形関数の合成は連続）。定数 $\frac{1}{c}$ を掛けても連続性は保たれます。

4条件すべてが成り立つので、 $W ~$ は標準ブラウン運動です。 ∎

スケーリング則は直感的には「ブラウン運動を拡大しても同じものが見える」という自己相似性を表しています。ただし拡大の仕方に注意が必要です。時間を $c$ 倍に引き伸ばしたとき、値は $c$ 倍にしか広がりません。これは分散が時間に比例する（ $Var (W_{t}) = t$ ）ことの直接の帰結です。

THM-BM-3 の証明

(a) $W_{t}$ のマルチンゲール性。

$0 \leq s \leq t$ とします。 $W_{t}$ を $W_{s}$ と増分に分解します。

W_{t} = W_{s} + (W_{t} - W_{s}) (3.1)

条件付き期待値を取ります。 $F_{s}$ は時刻 $s$ までの情報を含むので、 $W_{s}$ は $F_{s}$ -可測です。

E [W_{t} ∣ F_{s}] = E [W_{s} + (W_{t} - W_{s}) ∣ F_{s}]

条件付き期待値の線形性を使って和を分けます。

= E [W_{s} ∣ F_{s}] + E [W_{t} - W_{s} ∣ F_{s}] (3.2)

第1項について。 $W_{s}$ は $F_{s}$ -可測なので、条件付き期待値から出せます。 $E [W_{s} ∣ F_{s}] = W_{s}$ です。

第2項について。増分 $W_{t} - W_{s}$ は条件 (ii) より $F_{s}$ と独立です。正確には、 $W_{t} - W_{s}$ は区間 $(s, t]$ の増分であり、 $F_{s}$ は時刻 $s$ までの情報（ $W$ の時刻 $s$ までの値から生成されるσ加法族）です。独立増分の条件により、 $W_{t} - W_{s}$ は $F_{s}$ と独立になります。独立な確率変数の条件付き期待値は無条件の期待値に等しいので

E [W_{t} - W_{s} ∣ F_{s}] = E [W_{t} - W_{s}] = 0 (3.3)

最後の等号は条件 (iii) より $W_{t} - W_{s} \sim N (0, t - s)$ の期待値が0であることから従います。

(3.2) と (3.3) を合わせて

E [W_{t} ∣ F_{s}] = W_{s}

これはマルチンゲールの定義そのものです。

(b) $W_{t}^{2} - t$ のマルチンゲール性。

$0 \leq s \leq t$ とします。 $W_{t} = W_{s} + (W_{t} - W_{s})$ を2乗します。

W_{t}^{2} = (W_{s} + (W_{t} - W_{s}))^{2} = W_{s}^{2} + 2 W_{s} (W_{t} - W_{s}) + (W_{t} - W_{s})^{2} (3.4)

展開の意図は、 $F_{s}$ -可測な部分と独立な部分を分離することです。条件付き期待値を各項に適用します。

E [W_{t}^{2} ∣ F_{s}] = E [W_{s}^{2} ∣ F_{s}] + 2 E [W_{s} (W_{t} - W_{s}) ∣ F_{s}] + E [(W_{t} - W_{s})^{2} ∣ F_{s}] (3.5)

第1項。 $W_{s}^{2}$ は $F_{s}$ -可測なので $E [W_{s}^{2} ∣ F_{s}] = W_{s}^{2}$ です。

第2項。 $W_{s}$ は $F_{s}$ -可測なので、条件付き期待値の外に出せます。

E [W_{s} (W_{t} - W_{s}) ∣ F_{s}] = W_{s} \cdot E [W_{t} - W_{s} ∣ F_{s}] = W_{s} \cdot 0 = 0

ここで (3.3) を使いました。 $W_{t} - W_{s}$ の条件付き期待値が0であることが効いています。

第3項。 $W_{t} - W_{s}$ は $F_{s}$ と独立なので

E [(W_{t} - W_{s})^{2} ∣ F_{s}] = E [(W_{t} - W_{s})^{2}] = t - s

最後の等号は、 $W_{t} - W_{s} \sim N (0, t - s)$ の2次モーメント（分散と一致）が $t - s$ であることから従います。

(3.5) にまとめると

E [W_{t}^{2} ∣ F_{s}] = W_{s}^{2} + 0 + (t - s) = W_{s}^{2} + t - s

両辺から $t$ を引きます。

E [W_{t}^{2} - t ∣ F_{s}] = W_{s}^{2} + t - s - t = W_{s}^{2} - s

すなわち

E [W_{t}^{2} - t ∣ F_{s}] = W_{s}^{2} - s

これは ${W_{t}^{2} - t}$ がマルチンゲールであることを示しています。 ∎

(a) は「ブラウン運動に偏りがない」ことを、(b) は「ブラウン運動の2乗の成長速度がちょうど $t$ 」であることを主張しています。(b) の結果から $E [W_{t}^{2}] = t$ が即座に得られます（ $s = 0$ として $E [W_{t}^{2} - t] = W_{0}^{2} - 0 = 0$ ）。

5. 反例 ― 条件を1つ外すと別物になる

CEX-BM-1: 増分に相関を持たせる

独立増分の条件 (ii) を外します。時間を $n = 1000$ 等分し、各増分を

X_{i} = Z_{i} + 0.3 Z_{i - 1}

で定めます。ここで $Z_{i}$ は独立な正規確率変数（平均0、分散 $Δ t = 1/ n$ ）です。 $X_{i}$ は隣り合う増分と相関を持つため、条件 (ii) に違反します。

もしこの過程がブラウン運動なら、 $Var (W_{t}) = t$ のはずです。10万本のシミュレーションで確認すると

$t$	相関あり分散	BM なら
0.25	0.4208	0.25
0.50	0.8439	0.50
0.75	1.2687	0.75
1.00	1.6984	1.00

分散がブラウン運動の約 1.69 倍に膨れています。理論的には $Var (W_{1}) \approx (1 + 0.3)^{2} = 1.69$ です。増分に正の相関があると、上がったあとにさらに上がりやすくなるため、分散が過大になります。独立増分の条件は「分散が時間に比例する」という性質を保つために不可欠です。

CEX-BM-2: 標本路にジャンプを入れる

連続性の条件 (iv) を外します。正規増分にポアソンジャンプ（強度 $λ = 2$ 、ジャンプ幅 0.5）を加えた過程を考えます。この過程の増分は互いに独立なので条件 (ii) は保たれますが、不連続な跳びがあるため条件 (iv) を満たしません。なお、跳びを足した増分はもはや正規分布ではないので、条件 (iii) も同時に崩れています。下の数値のずれは、跳びが増分の分布を変えたことの表れです。

5万本のシミュレーションで終端値 $W_{1}$ の統計を取ると

	シミュレーション	BM なら
$E [W_{1}]$	1.0008	0
$Var (W_{1})$	1.5001	1.0

平均が0から大きくずれ（ジャンプが正方向にバイアスを生む）、分散も1.5に膨れています。ジャンプが1回入るだけで、ブラウン運動の性質は完全に壊れます。連続性の条件は「経路が跳ばない」ことを保証し、ブラウン運動の穏やかな変動を特徴づけています。

CEX-BM-3: スケーリングの倍率を間違える

THM-BM-2 では値を $c$ で割りました。もし値も $c$ で割ったらどうなるでしょうか。 $c = 4$ で比較します。

$t$	正しい $\frac{1}{4} W_{4 t}$ の分散	誤り $\frac{1}{4} W_{4 t}$ の分散	理論値（正しい）	理論値（誤り）
0.25	0.2506	0.0627	0.25	0.0625
0.50	0.5016	0.1254	0.50	0.125
0.75	0.7528	0.1882	0.75	0.1875
1.00	1.0014	0.2503	1.00	0.25

正しいスケーリングでは分散が $t$ と一致し、ブラウン運動の条件を保ちます。誤ったスケーリングでは分散が $t /4$ になり、条件 (iii) の $Var (W_{t} - W_{s}) = t - s$ を満たしません。

計算で確認します。 $\frac{1}{c} W_{c t}$ の分散は $\frac{1}{c ^{2}} \cdot Var (W_{c t}) = \frac{c t}{c ^{2}} = \frac{t}{c}$ です。 $c \neq = 1$ なら $\frac{t}{c} \neq = t$ ですから、ブラウン運動になりません。 $\frac{1}{c}$ で割ったときだけ $\frac{c t}{c} = t$ となるのです。

スケーリング則では、時間と空間の伸縮の比率が $c$ 対 $c$ でなければなりません。この非対称な関係は、ブラウン運動の経路が通常の関数より「荒い」ことを反映しています。

6. 数値例 ― ランダムウォークを細かくして近づける

ブラウン運動の直感を得るために、離散的なランダムウォークから出発します。各ステップで $+ 1$ か $- 1$ に等確率で動くランダムウォーク $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ を考え、時間を $n$ 等分してスケーリングした過程

W_{t}^{(n)} = \frac{1}{n} S_{⌊ n t ⌋}

を作ります。 $n$ を大きくすると、この過程はブラウン運動に近づきます。10万サンプルで $W_{1}^{(n)}$ の平均と分散を計測します。

分割数 $n$	刻み $h$	平均	分散	理論値
10	0.1	$- 0.0010$	0.9963	1.0
100	0.01	$- 0.0021$	1.0034	1.0
1,000	0.001	0.0006	0.9948	1.0
10,000	0.0001	0.0064	1.0102	1.0

$n$ を増やすと分散は理論値の1.0に近づき、平均はほぼ0です。 $n = 10$ でも分散は 0.9963 と既に近い値を示しています。

途中の時刻 $t = 0.5$ でも確認します。 $n = 10, 000$ のとき分散は 0.5027 で、理論値 0.5 に近い値です。増分の分散が時間幅に比例するという条件 (iii) がランダムウォークの極限で成り立つことがわかります。

マルチンゲール性の数値確認

THM-BM-3 の数値確認として、 $E [W_{t}]$ と $E [W_{t}^{2} - t]$ を各時刻で計算します。どちらも0に近ければ、マルチンゲール性と矛盾しないことが確認できます（期待値が一定であることはマルチンゲールの必要条件です）。

$t$	$E [W_{t}]$	$E [W_{t}^{2} - t]$
0.10	$- 0.0002$	0.0003
0.25	0.0018	0.0001
0.50	0.0010	0.0021
0.75	0.0011	0.0052
1.00	0.0007	0.0053

$E [W_{t}]$ は全時点でほぼ0です。 $E [W_{t}^{2} - t]$ も0に近い値を取っています。10万本のシミュレーションですから、サンプル誤差の範囲内です。

$E [W_{t}^{2} - t] = 0$ という関係は、 $W_{t}^{2}$ の成長が平均的にちょうど $t$ であることを意味します。THM-BM-3(b) で証明した通り、 $W_{t}^{2} - t$ はマルチンゲールであり、その期待値は初期値 $W_{0}^{2} - 0 = 0$ に等しく留まります。

スケーリング則の数値確認

$c = 4$ として、 $W_{t}$ と $\frac{1}{4} W_{4 t} = \frac{1}{2} W_{4 t}$ の分散を比較します。

$t$	$Var (W_{t})$	$Var (\frac{1}{2} W_{4 t})$	理論値
0.25	0.2495	0.2506	0.25
0.50	0.5003	0.5016	0.50
0.75	0.7489	0.7528	0.75
1.00	1.0025	1.0014	1.00

2つの列がほぼ一致しています。 $W_{t}$ と $\frac{1}{2} W_{4 t}$ は同じ分布を持つ、というスケーリング則が数値的にも確認できます。

7. 次回へ ― なぜ微分できないのか

今回はブラウン運動を4つの条件で定義し、その帰結としてスケーリング則とマルチンゲール性を証明しました。ブラウン運動の経路は連続ですが、実は非常に「荒い」動きをしています。

次回（第56回）では、ブラウン運動の経路がなぜ微分できないのかを考えます。連続でありながら微分不可能であるとは、グラフにどこでも接線が引けないということです。この性質が、後の連続時間金融モデルに深い影響を与えます。

次のマイルストーンまであと 24 本です。

よくある質問

ブラウン運動は実在しますか

物理現象の名前が由来ですが、ここでは4条件を満たす数学的な対象として扱います。

なぜ正規分布なのですか

独立な増分の和として作ると、中心極限定理により自然に現れます。

株価のモデルとして使えますか

そのままでは負になります。指数を取った幾何ブラウン運動を第60回で使います。

参考文献

Karatzas I. and Shreve S. E.、Brownian Motion and Stochastic Calculus、第2版、Springer、1991年
Shreve S. E.、Stochastic Calculus for Finance II ― Continuous-Time Models、Springer、2004年

数値例は compute.py により乱数シード固定（seed=42）で検算済み。