数学編 第15回 変数変換とヤコビアン ― 対数正規分布を自分で導く

位置: 数学編 第C部 第15回 / 前提: M3, M5, M14 / 数学編: M15 / この回でできるようになること: 変数変換で密度関数を導き、対数正規分布の密度を自分で書くことができる

0. 物語 ― 導関数の因子を忘れる誤り

トレーディングデスクで、新人のリスク管理担当が株価の分布を計算しています。日次リターンの対数が正規分布に従うことは教科書で学びました。そこから株価そのものの分布を出そうとして、正規分布の式に対数を代入しただけの関数を書きました。グラフの形はそれらしく見えます。

ところが、先輩がその関数を全区間にわたって積分してみると、合計が約1.02になってしまいました。確率の密度関数は、全体を足し合わせるとちょうど1にならなければいけません。1.02では確率が2%も余っています。これは密度関数の定義を満たさないので、このままではリスク計算の土台が崩れます。

原因は、変数を変えたときに生じる「伸び縮みの補正」を忘れたことでした。対数リターンから株価に変換するには指数関数を使いますが、指数関数は値が大きいほど急激に伸びます。株価が高い領域では、同じ幅の区間に押し込まれる確率が薄まるため、密度を小さくする因子が必要です。この因子は、逆変換である対数関数の傾き、つまり「株価分の1」にあたります。新人はこの因子を落としたために、高い株価のあたりに密度を割り振りすぎて、合計が1を超えてしまったのです。

正しい対数正規分布の密度は、正規分布の式に対数を入れたうえで、株価分の1を掛けたものです。この因子を入れれば積分はぴったり1になります。変数を変えれば分布も変わりますが、ただ式を書き換えるだけでは足りません。変換が区間を伸び縮みさせる分だけ、密度に補正が必要です。この補正がどこから来るのかを、この記事で証明します。

1. 動機 ― 変数を変えると分布はどう変わるか

この回を読み終えると、変数変換で密度関数を導き、対数正規分布の密度を自分で書くことができます。

確率変数 $X$ の分布がわかっているとき、$Y=g(X)$ の分布はどうなるのか。金融では「収益率が正規分布に従うとき、価格はどんな分布か」という問いがこの形をしています。$g=\exp$ を入れれば、対数正規分布が出てきます。

しかし、密度を単純に $f_X(g^{-1}(y))$ と書き換えるだけでは足りません。変換が区間を伸び縮みさせる分だけ、密度に補正因子が掛かります。1変数では逆関数の導関数の絶対値、多変数ではヤコビ行列の行列式の絶対値です。この因子を忘れると、確率の総和が1になりません。

この記事では、1変数の変換公式を証明し、多変数への拡張を述べ、応用として対数正規分布の密度を導きます。

この記事で証明すること

• THM-M15-1 単調で微分可能な変換 $Y=g(X)$ の密度は、$X$ の密度を逆関数で引き戻し、逆関数の導関数の絶対値を掛けたものになります。
• THM-M15-2 多変数の場合は、導関数の絶対値の代わりにヤコビ行列の行列式の絶対値（ヤコビアン）が現れます。
• THM-M15-3 $X\sim N(m,s^2)$ のとき、$e^X$ の密度は $\frac{1}{ys\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(\log y-m{)}^2}{2s^2})$ です。

2. 設定と仮定 ― 密度を持つ確率変数と単調な変換

以下の仮定を置きます。

• 確率変数 $X$ は密度関数 $f_X$ を持ちます。つまり任意の区間 $[a,b]$ に対して $\mathbb{P}(a\le X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$ が成り立ちます。
• 変換 $g$ は定義域で狭義単調かつ微分可能です。
• $g$ が狭義単調増加のとき、逆関数 $g^{-1}$ が存在して微分可能です。狭義単調減少のときも同様です。
• 単調でない場合は、定義域を単調な区間に分けてそれぞれの寄与を足します。
• 多変数の場合は、変換が一対一で、ヤコビアン（ヤコビ行列の行列式）が0にならないことを要求します。
• 数値例では、シミュレーションで密度を検算します。

これらの仮定のもとで、変換後の確率変数の密度を求めます。

3. 主張 ― 密度には導関数の因子が掛かる

定理 THM-M15-1（1変数の密度の変換公式） $X$ が密度 $f_X$ を持ち、$g$ が狭義単調かつ微分可能で $g^{\prime }(x)\ne 0$ であるとする。$Y=g(X)$ とおくと、$Y$ の密度は

$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|\text{\hspace{1em}(1)}$$

で与えられる。

$|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|$ の因子が、変換による区間の伸び縮みを補正しています。$g$ が急な関数であれば逆関数は緩やかになり、この因子は小さくなります。密度が薄まるということです。

定理 THM-M15-2（多変数の変換公式） $\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n)$ が密度 $f_{\mathbf{X}}$ を持ち、$\mathbf{g}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ が一対一かつ微分可能で、ヤコビ行列 $J_{\mathbf{g}}$ の行列式がいたるところ 0 でないとする。$\mathbf{Y}=\mathbf{g}(\mathbf{X})$ とおくと、$\mathbf{Y}$ の密度は

$$f_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y})=f_{\mathbf{X}}({\mathbf{g}}^{-1}(\mathbf{y}))|\det J_{{\mathbf{g}}^{-1}}(\mathbf{y})|\text{\hspace{1em}(2)}$$

で与えられる。

1変数では $|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|$ だった因子が、多変数ではヤコビ行列の行列式の絶対値 $|\det J_{{\mathbf{g}}^{-1}}(\mathbf{y})|$ に一般化されます。1変数は $n=1$ の特殊な場合です。

定理 THM-M15-3（対数正規分布の密度） $X$ が平均 $m$、分散 $s^2$ の正規分布に従うとき、$Y=e^X$ の密度は

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\frac{1}{ys\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\log y-m{)}^2}{2s^2}\right),\\ & y>0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

である。

これが対数正規分布の密度です。名前の由来は「対数を取ると正規分布に戻る」ことです。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 分布関数を経由して微分する

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編 第3回「偏微分、全微分、多変数のテイラー展開」、数学編 第5回「積分の技法とガウス積分」、数学編 第14回「ルベーグ積分」へ。

THM-M15-1 の証明

分布関数を経由します。$Y=g(X)$ の分布関数 $F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)$ を計算し、微分して密度を得ます。

場合1: $g$ が狭義単調増加のとき。

$g$ が狭義単調増加なので、$g(X)\le y$ と $X\le g^{-1}(y)$ は同値です。順序を保存するためです。したがって

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =\mathbb{P}(g(X)\le y)\\ & =\mathbb{P}(X\le g^{-1}(y))\\ & =F_X(g^{-1}(y)).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

密度は分布関数の導関数ですから、合成関数の微分法（連鎖律）を使って $y$ で微分します。

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =F_Y^{\prime }(y)\\ & =F_X^{\prime }(g^{-1}(y))\cdot (g^{-1}{)}^{\prime }(y)\\ & =f_X(g^{-1}(y))\cdot (g^{-1}{)}^{\prime }(y).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

$g$ が狭義単調増加なら $g^{\prime }>0$ で、逆関数の微分法から $(g^{-1}{)}^{\prime }(y)=1/g^{\prime }(g^{-1}(y))>0$ です。したがって $(g^{-1}{)}^{\prime }(y)=|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|$ です。

場合2: $g$ が狭義単調減少のとき。

$g$ が狭義単調減少なので、$g(X)\le y$ と $X\ge g^{-1}(y)$ は同値です。順序が反転するためです。したがって

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =\mathbb{P}(g(X)\le y)\\ & =\mathbb{P}(X\ge g^{-1}(y))\\ & =1-F_X(g^{-1}(y)).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

$y$ で微分すると

$$f_Y(y)=-f_X(g^{-1}(y))\cdot (g^{-1}{)}^{\prime }(y).\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

$g$ が狭義単調減少なら $g^{\prime }<0$ で、$(g^{-1}{)}^{\prime }(y)<0$ です。よって $-(g^{-1}{)}^{\prime }(y)=|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|$ が成り立ちます。

両方の場合をまとめると、

$$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|.$$

これが式 (1) です。 ∎

なぜ絶対値が必要なのかを補足します。密度は常に非負でなければなりません。単調増加のとき $(g^{-1}{)}^{\prime }(y)>0$ なので絶対値はそのまま、単調減少のとき $(g^{-1}{)}^{\prime }(y)<0$ なので符号を反転させます。絶対値を取ることで、どちらの場合も一つの公式に統一できます。

THM-M15-2 の証明の概要

多変数の場合も考え方は同じですが、分布関数の微分を行列式の変換に置き換えます。

$\mathbf{Y}=\mathbf{g}(\mathbf{X})$ の確率を計算します。$\mathbf{Y}$ がある領域 $A$ に入る確率は

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(\mathbf{Y}\in A)& =\mathbb{P}(\mathbf{X}\in {\mathbf{g}}^{-1}(A))\\ & ={\int }_{{\mathbf{g}}^{-1}(A)}{f}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})d\mathbf{x}.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

ここで重積分の変数変換公式を使います。$\mathbf{x}={\mathbf{g}}^{-1}(\mathbf{y})$ と変数変換すると、体積要素が

$$d\mathbf{x}=|\det J_{{\mathbf{g}}^{-1}}(\mathbf{y})|d\mathbf{y}$$

と変わります。これを代入すると

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}(\mathbf{Y}\in A)\\ & ={\int }_A{f}_{\mathbf{X}}({\mathbf{g}}^{-1}(\mathbf{y}))|\det J_{{\mathbf{g}}^{-1}}(\mathbf{y})|d\mathbf{y}.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

これは $\mathbf{Y}$ の密度が $f_{\mathbf{X}}({\mathbf{g}}^{-1}(\mathbf{y}))|\det J_{{\mathbf{g}}^{-1}}(\mathbf{y})|$ であることを意味します。体積要素の変換に現れるヤコビアンが、1変数の $(g^{-1}{)}^{\prime }(y)$ の自然な一般化です。 ∎

核心は重積分の変数変換公式です。1変数では $dx=(g^{-1}{)}^{\prime }(y)dy$ という置換積分でしたが、多変数ではこれがヤコビアンに一般化されます。

THM-M15-3 の証明

THM-M15-1 を $g(x)=e^x$ に適用します。

逆関数の特定。 $g(x)=e^x$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調増加です。逆関数は $g^{-1}(y)=\log y$（$y>0$）です。

逆関数の導関数の計算。 $(g^{-1}{)}^{\prime }(y)=(\log y{)}^{\prime }=1/y$ です。$y>0$ なので $1/y>0$ であり、$|(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|=1/y$ です。

$X$ の密度の代入。 $X\sim N(m,s^2)$ なので

$$f_X(x)=\frac{1}{s\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-m{)}^2}{2s^2}\right).$$

THM-M15-1 の式 (1) に代入します。引き戻しの操作として $x=g^{-1}(y)=\log y$ を $f_X$ に入れます。

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =f_X(g^{-1}(y))\cdot |(g^{-1}{)}^{\prime }(y)|\\ & =f_X(\log y)\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{s\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\log y-m{)}^2}{2s^2}\right)\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{ys\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\log y-m{)}^2}{2s^2}\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

これが式 (3) です。$y>0$ でのみ定義され、$y\le 0$ では $f_Y(y)=0$ です。 ∎

証明は3つの部品の組み合わせだけです。逆関数 $\log y$ を特定し、その導関数 $1/y$ を計算し、THM-M15-1 に代入しました。変換公式の威力は、このように「$g$ と $f_X$ がわかれば $f_Y$ が自動的に出る」点にあります。

単調でない場合の補足

$g$ が単調でないとき、THM-M15-1 をそのまま当てることはできません。定義域を $g$ が単調な区間に分割し、各区間からの寄与を足し合わせます。

たとえば $Y=X^2$ は $(-\infty ,0)$ で狭義単調減少、$(0,\infty )$ で狭義単調増加です。各区間で逆関数が $-\sqrt{y}$ と $\sqrt{y}$ になり、寄与を足すと

$$f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})}{2\sqrt{y}},y>0.$$

単調な変換公式をそのまま当てると、片方の区間しか拾えず、密度が半分になります（CEX-M15-2 で数値的に確認します）。

5. 反例 ― 因子を忘れると確率が1にならない

CEX-M15-1: ヤコビアンの因子を落とす誤り

THM-M15-3 の対数正規分布の密度から、導関数の因子 $1/y$ を落としてみます。すなわち

$$\tilde{f}(y)=\frac{1}{s\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\log y-m{)}^2}{2s^2}\right)$$

とします。これは正規分布の密度に $\log y$ を入れただけで、ヤコビアンの補正をしていません。

$m=0$、$s=0.2$ で数値積分すると ${\int }_0^{\infty }\tilde{f}(y)dy=1.020201$ となり、1を超えます。密度の定義（積分が1）を満たしません。正しい密度では ${\int }_0^{\infty }{f}_Y(y)dy=1.0$ です。

ヤコビアンの因子を忘れることは「区間の伸び縮みを無視すること」であり、確率の総量が保存されなくなります。

CEX-M15-2: 単調でない変換に公式をそのまま当てる

$X\sim N(0,1)$ とし、$Y=X^2$ を考えます。$g(x)=x^2$ は単調ではありませんが、正の側の逆関数 $g^{-1}(y)=\sqrt{y}$ だけを使って THM-M15-1 を当ててみます。

$${\tilde{f}}_Y(y)=\frac{\phi (\sqrt{y})}{2\sqrt{y}},y>0.$$

数値積分すると ${\int }_0^{\infty }{\tilde{f}}_Y(y)dy=0.5$ です。正しい密度（両方の区間を足したもの）では ${\int }_0^{\infty }{f}_Y(y)dy=1.0$ です。

密度がちょうど半分になるのは、$g(x)=x^2$ が正の側と負の側で2通りの $x$ を1つの $y$ に潰すからです。片側しか拾わなければ、確率が半分しか集まりません。単調でない変換では、THM-M15-1 の仮定（狭義単調）が壊れていることを意識し、区間を分けて足す必要があります。

CEX-M15-3: 期待値は単純に変換できない

$X\sim N(m,s^2)$ のとき、$\mathbb{E}[e^X]$ と $e^{\mathbb{E}[X]}$ は一般に一致しません。$m=0$、$s=0.2$ で計算します。

正規分布のモーメント母関数から $\mathbb{E}[e^X]=e^{m+s^2/2}$ です。一方 $e^{\mathbb{E}[X]}=e^m$ です。

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[e^X]& =e^{0+0.04/2}=e^{0.02}=1.020201,\\ e^{\mathbb{E}[X]}& =e^0=\mathrm{1.0.}\end{array}$$

差は $0.020201$ です。シミュレーション（100万回）でも $\mathbb{E}[e^X]\approx 1.01988$ と理論値に近い値が得られます。

$e^x$ は下に凸な関数です。イェンセンの不等式により $\mathbb{E}[e^X]\ge e^{\mathbb{E}[X]}$ が成り立ちます。等号が成り立つのは $X$ が定数のとき、すなわち分散が0のときだけです。ずれの大きさは分散 $s^2$ で支配され、補正項は $s^2/2=0.02$ です。

「$X$ が平均0なのだから $e^X$ の平均も $e^0=1$ だろう」という直感は間違いです。分散があると、対数正規分布の期待値は常に $e^{\mathbb{E}[X]}$ より大きくなります。

6. 数値例 ― 対数正規分布の密度を検算する

$m=0$、$s=0.2$ の対数正規分布を数値で確認します。

理論値とシミュレーションの比較。 いくつかの点で密度を計算し、100万回のシミュレーション（$X\sim N(0,0.04)$ を生成して $Y=e^X$ を取る）と比べます。

$y$	理論値 $f_Y(y)$	シミュレーション
$0.7$	$0.58098$	$0.5837$
$0.8$	$1.338072$	$1.3449$
$0.9$	$1.929188$	$1.9191$
$1.0$	$1.994711$	$1.9835$
$1.1$	$1.618725$	$1.6204$
$1.2$	$1.097092$	$1.0973$
$1.3$	$0.649013$	$0.6508$

理論値とシミュレーションがよく一致しています。密度は $y=1$ 付近でピークを取り、左右非対称な形をしています。右側の裾が長いのが対数正規分布の特徴です。

密度の積分。 理論密度を数値積分すると $1.0$ になります。正しくヤコビアンの因子が入っている証拠です。

ヤコビアンを落とした場合。 因子 $1/y$ を落とした密度の積分は $1.020201$ です。これは $e^{s^2/2}=e^{0.02}$ に一致し、偶然ではありません。ヤコビアンを落とした密度の積分は $\mathbb{E}[e^X]$ に等しくなるためです。

期待値の比較。 $\mathbb{E}[e^X]=1.020201$ に対し $e^{\mathbb{E}[X]}=1.0$ です。差 $0.020201$ は小さく見えますが、$s=0.4$ にすると $e^{0.08}-1\approx 0.0833$ に、$s=1$ にすると $e^{0.5}-1\approx 0.6487$ に広がります。分散が大きいほど、凸性の影響が顕著になります。

7. 次回へ ― 条件付き期待値は射影である

次回 M16 では、条件付き期待値を扱います。条件付き期待値は $L^2$ 空間への射影として定義できます。数学編の中で最も重要な回の一つです。

よくある質問

なぜ導関数が掛かるのですか

変換で区間が伸び縮みするからです。伸びた分だけ密度を薄める必要があります。

対数正規分布はなぜ大事なのですか

株価のモデルとして標準的に使われるからです。価格が負にならない点が便利です。

期待値は変換してもそのままですか

そのままではありません。凸な変換では期待値が上にずれます。

参考文献

• Casella G. and Berger R. L.、Statistical Inference、第2版、Duxbury、2002年
• 杉浦光夫、解析入門II、東京大学出版会、1985年

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数値例は compute.py により計算済み。シミュレーションの乱数シードは 42 で固定。