数学編第14回ルベーグ積分 ― 期待値は積分である

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2026年9月25日

位置: 数学編第C部第14回 / 前提: M13（可測関数） / 数学編: M14 / この回でできるようになること: 期待値をルベーグ積分として扱い、極限と期待値を交換してよいかを判定できる

0. 物語 ― 押さえ込む関数が無いと交換できない

関数の列があって、一つひとつの面積はどれも1だとします。しかもこの列は、どの点を見ても最終的には高さが0に落ち着きます。では、面積の行き先も0になるでしょうか。

直感的には「どの点でも高さが0に向かうなら、面積も0に近づくはずだ」と思うかもしれません。しかし答えは「0にならない」です。面積はずっと1のまま変わりません。

からくりはこうです。列の番号が大きくなるにつれ、関数が値を取る範囲はどんどん狭くなります。番号が10なら幅は10分の1、番号が1000なら幅は1000分の1です。そのかわり、高さはその分だけ伸びます。幅が10分の1なら高さは10、幅が1000分の1なら高さは1000です。幅と高さの積は常に1ですから、面積は1のままです。

一方、どの点でも高さは最終的に0になります。ある点を固定すると、番号が十分大きくなれば、その点は関数の幅の外に出てしまい、値は0です。つまり「各点で0に向かう」は本当です。それなのに面積が0に行かないのは、高さの爆発を全体にわたって押さえ込む天井がないからです。

この回で扱う優収束定理は「すべての関数をまとめて上から押さえる、面積が有限の天井があれば、各点の極限と面積の極限を入れ替えてよい」と保証してくれます。天井がなければ入れ替えは許されない。先ほどの列はまさに、天井を用意できない例です。極限と積分を安全に交換するための条件を、この回で正確に述べて証明します。

1. 動機 ― 期待値を正確に定義するには何が要るか

この回を読み終えると、期待値をルベーグ積分として扱い、極限と期待値を交換してよいかを判定できます。

確率変数の期待値は「値 $\times$ 確率」を足し合わせたものだ、と直感的に説明されます。離散の場合はこれで十分ですが、連続の場合には「足し合わせる」の意味を正確にしなければなりません。

リーマン積分は横軸（定義域）を刻んで短冊の面積を足します。高校以来なじみ深い方法ですが、ごく自然に見える関数でも積分できない場合があります。M13 で定義した可測関数と測度を使って、縦軸（値域）を刻むという発想に切り替えると、はるかに広いクラスの関数を積分でき、極限操作との相性も格段に良くなります。

この節のまとめ: 期待値を連続的な確率変数に対して厳密に定義するには、リーマン積分を超える積分の枠組みが必要です。

この記事で証明すること

THM-M14-1 非負の可測関数の積分は、それ以下の単関数の積分の上限として定義でき、単調増加する単関数列の極限として計算できます。
THM-M14-2 非負の可測関数の単調増加列に対しては、極限と積分の順序を交換できます（単調収束定理）。
THM-M14-3 関数列が各点収束し、ある可積分関数で一様に押さえられていれば、極限と積分の順序を交換できます（優収束定理）。

2. 設定と仮定 ― 値域を刻むという発想

測度空間 $(Ω, F, μ)$ を固定します。M13 の定義に従い、 $F$ は $Ω$ 上のσ加法族、 $μ$ は $F$ 上の測度です。

単関数とは、有限個の値だけを取る可測関数のことです。正確には、 $Ω$ の互いに素な可測集合 $A_{1}, \dots, A_{n}$ で $Ω = ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$ を満たすものと、非負の実数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ を使って

s (ω) = i = 1 \sum n a_{i} 1_{A_{i}} (ω) (1)

と書ける関数を非負単関数と呼びます。ここで $1_{A_{i}}$ は M13 で定義した指示関数です。

単関数の積分は、面積の自然な拡張として定義します。

\int_{Ω} s d μ = i = 1 \sum n a_{i} μ (A_{i}) . (2)

「値 $a_{i}$ を取る集合の測度に $a_{i}$ を掛けて足す」という操作は、離散的な期待値の計算（値 $\times$ 確率を足す）と全く同じ構造です。

リーマン積分が定義域を刻んで短冊を作るのに対し、ルベーグ積分は値域を刻んで各値を取る集合の測度を重みにします。この発想の転換が、ルベーグ積分の出発点です。

この節のまとめ: 単関数は有限個の値だけを取る可測関数であり、その積分は「値 $\times$ 測度」の有限和として定義されます。

3. 主張 ― 単関数の極限として積分を定義する

非負の可測関数 $f : Ω \to [0, \infty]$ の積分を、単関数を使って定義します。

定理 THM-M14-1（単関数による定義） $f : Ω \to [0, \infty]$ を可測関数とする。

(a) $f$ のルベーグ積分を

$\int_{Ω} f d μ = sup {\int_{Ω} s d μ s は非負単関数, s \leq f} (3.1)$
と定義する。

(b) 非負単関数の単調増加列 $s_{n} ↑ f$ （各点で $f$ に収束）が存在し、

$\int_{Ω} f d μ = n \to \infty lim \int_{Ω} s_{n} d μ (3.2)$
が成り立つ。

定理 THM-M14-2（単調収束定理） $f_{n} : Ω \to [0, \infty]$ を可測関数の列とする。各 $ω$ で $f_{n} (ω) ↑ f (ω)$ （単調増加して $f (ω)$ に収束する）ならば、

$n \to \infty lim \int_{Ω} f_{n} d μ = \int_{Ω} f d μ .$

定理 THM-M14-3（優収束定理） $f_{n} : Ω \to R$ を可測関数の列とする。各点で $f_{n} (ω) \to f (ω)$ であり、ある可積分関数 $g$ （ $\int ∣ g ∣ d μ < \infty$ ）が存在して全ての $n$ と $ω$ で $∣ f_{n} (ω) ∣ \leq g (ω)$ を満たすならば、

$n \to \infty lim \int_{Ω} f_{n} d μ = \int_{Ω} f d μ .$

THM-M14-2 は「単調に増えていく列なら極限と積分を交換してよい」、THM-M14-3 は「可積分関数で押さえられていれば交換してよい」という主張です。確率論では、期待値の極限を扱うたびにこの2つの定理を使います。将来、期待値を金融の文脈で使うときにもこれらが基礎になります。

この節のまとめ: 非負可測関数の積分は単関数の積分の上限として定義され、収束定理が極限と積分の交換を保証します。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 単調な近似列を作る

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第13回「σ加法族と可測性」へ。

THM-M14-1 の証明

(b) の近似列の構成を先に示します。 $f : Ω \to [0, \infty]$ が非負可測関数のとき、各 $n$ で

s_{n} (ω) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k}{2 ^{n}} n \frac{k}{2 ^{n}} \leq f (ω) < \frac{k + 1}{2 ^{n}}, k = 0, 1, \dots, n 2^{n} - 1, f (ω) \geq n (4.1)

と定めます。これは値域 $[0, n)$ を幅 $1/ 2^{n}$ の等間隔で刻み、 $f$ の値を切り捨てた関数です。 $n$ 以上の部分は $n$ で打ち切ります。

$s_{n}$ が単関数であること。 各 $s_{n}$ が取る値は有限個（ $0, 1/ 2^{n}, 2/ 2^{n}, \dots, n$ ）です。 $f$ が可測関数であることから、集合 ${f \geq k / 2^{n}}$ や ${f < (k + 1) / 2^{n}}$ は全て $F$ に属します。よってその共通部分も $F$ に属し、 $s_{n}$ は可測です。したがって $s_{n}$ は非負単関数です。

$s_{n} \leq f$ であること。 定義より、 $f (ω) < n$ のとき $s_{n} (ω) = k / 2^{n} \leq f (ω)$ です。 $f (ω) \geq n$ のとき $s_{n} (ω) = n \leq f (ω)$ です。

$s_{n}$ が単調増加であること。 $n$ が増えると刻み幅 $1/ 2^{n}$ が半分になり、打ち切り水準 $n$ も上がります。 $s_{n} (ω) \leq s_{n + 1} (ω)$ を確認します。 $f (ω) < n$ の場合、 $s_{n} (ω)$ は $f (ω)$ を $1/ 2^{n}$ 刻みで切り捨てた値であり、 $s_{n + 1} (ω)$ は $1/ 2^{n + 1}$ 刻みで切り捨てた値です。細かい刻みの切り捨ては粗い刻みの切り捨て以上ですから、 $s_{n} \leq s_{n + 1}$ が成り立ちます。 $f (ω) \geq n$ の場合、 $s_{n} (ω) = n \leq s_{n + 1} (ω)$ です（ $s_{n + 1}$ の打ち切りは $n + 1$ なので）。

各点収束。 $f (ω) < \infty$ のとき、十分大きな $n$ で $f (ω) < n$ となり、 $0 \leq f (ω) - s_{n} (ω) < 1/ 2^{n} \to 0$ です。 $f (ω) = \infty$ のとき、 $s_{n} (ω) = n \to \infty$ です。いずれの場合も $s_{n} (ω) \to f (ω)$ です。

(a) について。 (a) は積分の定義そのものなので、示すべきことはありません。この定義から、 $s_{n} \leq f$ より $\int s_{n} d μ \leq sup {\int s d μ : s \leq f} = \int f d μ$ が各 $n$ で成り立ちます。ただし、単関数 $s \leq f$ が有限の $n$ で $s_{n}$ に追い越されるとは限らない（たとえば $f$ 自身が $s_{n}$ のどれとも異なる単関数である場合）ので、上限が $lim \int s_{n} d μ$ に一致することは、この不等式だけからは言えません。

(3.2) を正当化するには単調収束定理（THM-M14-2）が必要です。THM-M14-2 を認めれば、 $s_{n} ↑ f$ と $s_{n}$ の単調増加性から

n \to \infty lim \int_{Ω} s_{n} d μ = \int_{Ω} f d μ

が成り立ちます。これが (3.2) です。 ∎

THM-M14-2 の証明（要点）

単調収束定理の証明は技術的に長いため、要点を示します。

下からの不等式。 $f_{n} \leq f$ なので $\int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ が全ての $n$ で成り立ちます。左辺は単調増加する数列ですから極限が存在し、

n \to \infty lim \int_{Ω} f_{n} d μ \leq \int_{Ω} f d μ . (4.2)

上からの不等式（核心部分）。 任意の単関数 $s \leq f$ と $0 < α < 1$ に対し、 $B_{n} = {ω : f_{n} (ω) \geq α s (ω)}$ とおきます。 $f_{n} ↑ f \geq s > α s$ ですから $B_{n} ↑ Ω$ です。すると

\int_{Ω} f_{n} d μ \geq \int_{B_{n}} f_{n} d μ \geq α \int_{B_{n}} s d μ .

$n \to \infty$ で $B_{n} ↑ Ω$ なので、測度の連続性（M13）から $\int_{B_{n}} s d μ \to \int_{Ω} s d μ$ です。したがって

n \to \infty lim \int_{Ω} f_{n} d μ \geq α \int_{Ω} s d μ .

$α ↑ 1$ として $lim \int f_{n} \geq \int s$ 。 $s \leq f$ を動かして上限を取ると $lim \int f_{n} \geq \int f$ 。(4.2) と合わせて等号が成り立ちます。 ∎

THM-M14-3 の証明（要点）

優収束定理は単調収束定理から導かれます。

$∣ f_{n} ∣ \leq g$ なので $g + f_{n} \geq 0$ かつ $g - f_{n} \geq 0$ です。ファトゥの補題（単調収束定理の系）を $g + f_{n}$ と $g - f_{n}$ の両方に適用します。

$g + f_{n}$ に適用すると

\int (g + f) d μ \leq n \to \infty lim inf \int (g + f_{n}) d μ = \int g d μ + n \to \infty lim inf \int f_{n} d μ .

$\int g < \infty$ を両辺から引いて $\int f \leq lim inf \int f_{n}$ を得ます。

$g - f_{n}$ に適用すると

\int (g - f) d μ \leq n \to \infty lim inf \int (g - f_{n}) d μ = \int g d μ - n \to \infty lim sup \int f_{n} d μ .

同様に $lim sup \int f_{n} \leq \int f$ を得ます。

$lim inf \geq \int f \geq$ の不等式と $lim sup \leq \int f$ を組み合わせると $lim \int f_{n} = \int f$ です。ここで** $g$ が可積分であることが $\int g$ を引く操作の正当性を保証している**点が本質です。 ∎

5. 反例 ― 極限と積分を交換できない列

CEX-M14-1: ディリクレ関数

有理数で 1、無理数で 0 を取る関数 $1_{Q}$ を $[0, 1]$ 上で考えます。

リーマン積分では、 $[0, 1]$ をどう分割しても各小区間に有理数と無理数が共存するため、上積分は 1、下積分は 0 です。上積分と下積分が一致しないので、リーマン積分は存在しません。

ルベーグ積分では話が変わります。 $Q \cap [0, 1]$ は可算集合ですからルベーグ測度は 0 です。よって

\int_{[0, 1]} 1_{Q} d μ = 1 \cdot μ (Q \cap [0, 1]) + 0 \cdot μ ((R ∖ Q) \cap [0, 1]) = 0.

ルベーグ積分では測度ゼロの集合の上で関数がどんな値を取っても積分に影響しないのが強みです。

CEX-M14-2: 押さえ込む関数がないと交換できない

$f_{n} (x) = n 1_{[0, 1/ n]} (x)$ を考えます。 $n$ が大きくなるにつれ台（関数が 0 でない部分）は狭くなり、高さは $n$ に比例して大きくなります。

各点の極限を見ます。 $x > 0$ なら、十分大きな $n$ で $x > 1/ n$ となるので $f_{n} (x) = 0$ です。 $x = 0$ でも $f_{n} (0) = n \to \infty$ ですが、1点の測度は 0 なので積分に影響しません。したがって極限関数は（ほとんど至るところ） $f (x) = 0$ です。

ところが各 $f_{n}$ の積分は

\int_{0}^{1} f_{n} d μ = n \cdot \frac{1}{n} = 1

で、 $n$ によらず常に 1 です。一方、極限関数 $f = 0$ の積分は 0 です。

n \to \infty lim \int f_{n} d μ = 1 \neq = 0 = \int f d μ .

なぜ優収束定理が使えないかを確認します。 $∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ を全ての $n$ で満たす可積分関数 $g$ が存在しません。 $x = 1/ n$ の近傍で高さ $n$ を押さえるには $g$ は $x \to 0$ で無限大に発散する必要があり、 $[0, 1]$ 上で可積分にはなりません。これが THM-M14-3 の仮定の破れです。

CEX-M14-3: 単調でない列で単調収束定理も使えない

$f_{n} (x) = 1_{[n, n + 1]} (x)$ を考えます。各 $f_{n}$ の積分は

\int_{0}^{\infty} f_{n} d μ = μ ([n, n + 1]) = 1

です。しかし任意の $x$ に対し、 $n > x$ ならば $f_{n} (x) = 0$ なので、各点で $f_{n} (x) \to 0$ です。極限関数 $f = 0$ の積分は 0 であり、

n \to \infty lim \int f_{n} d μ = 1 \neq = 0 = \int f d μ .

この列は単調増加ではない（台が右に移動するだけで、 $f_{n}$ と $f_{n + 1}$ の間に大小関係がない）ので、THM-M14-2 の仮定を満たしません。また、全ての $f_{n}$ を一様に押さえる可積分関数も $[0, \infty)$ 上には存在しないため、THM-M14-3 も適用できません。

この節のまとめ: 極限と積分の交換には条件が必要です。単調性（THM-M14-2）も押さえ込み（THM-M14-3）もない場合、交換は一般に成り立ちません。

6. 数値例 ― 値域を刻んで積分を近似する

$f (x) = x^{2}$ の $[0, 1]$ 上の積分（厳密値 $1/3$ ）を、ルベーグ式とリーマン式の2つの方法で近似し、比較します。

ルベーグ式（値域を刻む）。 値域 $[0, 1]$ を $N$ 等分し、各区間 $[k / N, (k + 1) / N)$ の逆像 $[k / N, (k + 1) / N)$ のルベーグ測度を重みにします。下からの近似（単関数の積分）は

L_{N} = k = 0 \sum N - 1 \frac{k}{N} ((k + 1) / N - k / N) .

リーマン式（定義域を刻む）。 定義域 $[0, 1]$ を $N$ 等分し、左端の値を使います。

R_{N} = k = 0 \sum N - 1 (\frac{k}{N})^{2} \cdot \frac{1}{N} .

$N = 10$ のとき、ルベーグ式の下からの近似は $L_{10} = 0.2895$ 、リーマン左端和は $R_{10} = 0.2850$ です。厳密値 $1/3 \approx 0.3333$ との誤差は、ルベーグ式が $0.0438$ 、リーマン式が $0.0483$ です。

刻みを細かくしたときの誤差を表にします。

$N$	ルベーグ下近似の誤差	リーマン左端の誤差
10	0.0438	0.0483
100	0.0048	0.0050
1000	0.00049	0.00050

どちらも $O (1/ N)$ で収束しますが、ルベーグ式は逆像の測度が関数の形に適応するため、同じ $N$ でわずかに精度が良くなっています。もちろん $x^{2}$ のような素直な関数ではリーマン積分でも問題ありません。しかし CEX-M14-1 のディリクレ関数のように、リーマン積分が定義できない関数に対しても、ルベーグ式なら常に値が定まるという点が本質的です。

この節のまとめ: 値域を刻む方法と定義域を刻む方法はどちらも同じ値に収束しますが、ルベーグ式はリーマン積分が存在しない関数にも適用できます。

7. 次回へ ― 対数正規分布を自分で導く

今回はルベーグ積分の定義と収束定理を示しました。期待値が「確率測度に関するルベーグ積分」として定義されることで、離散から連続まで統一的に扱えるようになります。

次回 M15 では変数変換の公式とヤコビアンを扱い、対数正規分布の密度を自分の手で導きます。変数変換の公式はルベーグ積分の言葉で書くと見通しが良くなります。

よくある質問

リーマン積分と何が違うのですか

リーマン積分は横軸を刻み、ルベーグ積分は縦軸の値を刻みます。刻み方を変えると扱える関数が広がります。

収束定理はなぜ大事なのですか

極限と期待値を入れ替える操作が、確率論では至る所で必要になるからです。

期待値はなぜ積分なのですか

値に確率の重みを付けて足し合わせる操作を、連続な場合にまで正確に広げたものだからです。

参考文献

伊藤清三、ルベーグ積分入門、裳華房、1963年
Folland G. B.、Real Analysis、第2版、Wiley、1999年

数値例は compute.py により計算済み。本文中の小数は4桁で丸めている。

数学編 第14回 ルベーグ積分 ― 期待値は積分である