数学編 第1回 極限と e ― 連続複利が e を呼ぶ

位置: 数学編 第A部 M1 / 前提: なし / 数学編: なし / この回でできるようになること: 連続複利で e が現れる理由を、数列の極限として自分で証明できる

0. 物語 ― 有界なのに収束しない数列

数学で数列を習ったとき、「値がある範囲に収まっているなら、いずれどこかの数に落ち着くだろう」と感じたことはないでしょうか。高校では、項が際限なく大きくなる数列は発散する、ある値に近づく数列は収束する、と分けて終わりでした。しかし、値がきちんと範囲に収まっているのに、それでも収束しない数列があります。

いちばん単純な例は、マイナス1とプラス1を交互に繰り返す並びです。1番目はマイナス1、2番目はプラス1、3番目はまたマイナス1。どこまで進んでもこの繰り返しが続きます。値はマイナス1とプラス1の間に完全に収まっていて、飛び出すことはありません。それなのに、どの一つの数にも近づいていきません。

この並びに足りないのは「一方通行」の性質です。値がずっと増え続ける、あるいはずっと減り続けるという単調さが加わると、有界な数列は必ずある値に収束します。これが「単調有界列の収束」と呼ばれる事実です。

この事実を使うと、ある重要な定数が定義できます。元手を一定の割合で増やすとき、1回でまとめて2倍にすれば2です。10回に分けて増やせば約2.59、100回に分ければ約2.70。分割を細かくするほど値は着実に増えていきますが、3を超えることはありません。増え続けて、しかも上限がある。だから収束します。この極限値がおよそ2.718であり、自然対数の底と呼ばれる定数です。今回は、この収束がなぜ保証されるのかを証明します。

1. 動機 ― なぜ e という数が現れるのか

この回を読み終えると、連続複利で e が現れる理由を、数列の極限として自分で証明できます。

物語で見たように、増え方の刻みを細かくしていくと、最終的な値は無限に大きくなるのではなく、ある特定の数に落ち着きます。それが $e=2.7182818285\dots$ です。

この数は金融数学の至る所に現れます。連続複利の計算で $e$ が登場する理由は本編第5回で扱いますので、ここでは予告にとどめます。今回は純粋に数学的な側面、つまり「なぜこの極限が存在するのか」「$e$ を底とする指数関数がなぜ特別なのか」を証明します。

この記事で証明すること

• THM-M1-1 数列 $(1+1/n{)}^n$ は $n$ について単調増加し、上に有界です。したがって極限が存在し、これを $e$ と定義します。
• THM-M1-2 任意の実数 $x$ について、$(1+x/n{)}^n$ は $n\to \infty$ で $e^x$ に収束します。
• THM-M1-3 $e^x$ の導関数は $e^x$ 自身に等しいです。この性質を持つ指数関数は底が $e$ のものだけです。

この節のまとめ: $e$ は「刻みを無限に細かくした極限」として自然に現れる定数であり、今回はその存在と基本性質を証明します。

2. 設定と仮定 ― 数列の極限を考える

証明に入る前に、使う道具と仮定を整理します。

• 実数の完備性: 上に有界な単調増加列は収束します。これを公理として使います。
• 二項定理: $(1+x{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$ は既知とします。
• 対数関数: 指数関数の逆関数として定義します。
• 高校数学の範囲を超える道具が必要になった場合は、その場で定義します。

数列 $a_n=(1+1/n{)}^n$ を考えます。$n=1$ のとき $a_1=2.0$、$n=10$ のとき $a_{10}=2.5937424601$ と、$n$ が大きくなるほど値が増えています。しかし無限に大きくなるわけではありません。この数列が「単調増加かつ上に有界」であることを示せば、実数の完備性から極限の存在が保証されます。

この節のまとめ: 証明の道具は二項定理と実数の完備性の2つです。数列 $a_n=(1+1/n{)}^n$ の極限の存在を、単調性と有界性から導きます。

3. 主張 ― 単調で有界なら収束する

3つの定理を正確に述べます。

定理 THM-M1-1（単調有界列の収束） 数列 $a_n=(1+1/n{)}^n$ は $n$ について単調増加であり、上に有界である。したがって極限が存在し、これを $e$ と定義する。

定理 THM-M1-2（一般の指数への拡張） 任意の実数 $x$ について、

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=e^x$$

が成り立つ。

定理 THM-M1-3（指数関数の微分） $e^x$ の導関数は $e^x$ 自身に等しい。すなわち

$$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$$

この性質を持つ指数関数は底が $e$ のものに限られる。

この節のまとめ: $e$ の定義（THM-M1-1）、指数関数との関係（THM-M1-2）、微分の不変性（THM-M1-3）の3つが今回の主張です。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 二項展開で単調性と有界性を示す

この節は読まなくても記事は完結します。

THM-M1-1 の証明

二項定理で $a_n=(1+1/n{)}^n$ を展開します。

$$a_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

$k\ge 1$ の一般項を書き下します。二項係数を階乗で表すと

$$\begin{array}{rl}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}& =\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{1}{n^k}\\ & =\frac{1}{k!}\cdot \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}\end{array}$$

となります。右辺の分数部分を1つずつ取り出すと

$$\begin{array}{rl}& \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}\\ & =1\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\end{array}$$

です。したがって

$$a_n=1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod _{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

単調増加の証明。 $n$ を $n+1$ に置き換えたとき、(4.2) の各項がどう変わるかを見ます。$a_{n+1}$ の展開では和の上限が $n+1$ に増えるので、$a_n$ にはなかった $k=n+1$ の正の項が新たに加わります。さらに $k\le n$ の各項について、因子 ${\prod }_{j=0}^{k-1}(1-j/n)$ の中の $1-j/n$ がすべて $1-j/(n+1)$ に置き換わります。$j\ge 1$ のとき $j/n>j/(n+1)$ ですから $1-j/(n+1)>1-j/n$ です。各因子が大きくなるので積も大きくなり、既存の各項も増加します。新しい項が加わり、既存の項も大きくなるので $a_{n+1}>a_n$ が成り立ちます。

有界性の証明。 (4.2) の各因子 $(1-j/n)<1$ を $1$ で置き換えて上から押さえます。

$$a_n<1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}.\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

$k\ge 2$ で $k!\ge 2^{k-1}$ が成り立ちます。これは $k=2$ で $2!=2=2^1$ であり、$k$ が1増えるごとに左辺は $k+1$ 倍、右辺は $2$ 倍になり、$k+1\ge 3>2$ なので帰納的に従います。したがって

$$a_n<1+1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}<2+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}=2+1=3.$$

上から $3$ で押さえられました。実数の完備性（上に有界な単調増加列は収束する）により、${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ が存在します。この極限値を $e$ と定義します。 ∎

THM-M1-2 の証明

$x>0$ の場合を示します。$n>x$ とすると $1+x/n>0$ なので $(1+x/n{)}^n$ は定義できます。$m=n/x$（$m$ は実数）とおくと

$${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{mx}.$$

$n\to \infty$ のとき $m\to \infty$ です。指数を分解するために、$b_m=(1+1/m{)}^m$ とおくと

$${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{mx}={\left[{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m\right]}^x=b_m^x.$$

ここで $m$ は整数とは限らないので、THM-M1-1（整数 $n$ についての結果）をそのまま使う前に、実数 $m\to \infty$ でも $b_m\to e$ となることを確かめます。$m\ge 1$ に対して整数 $k=\lfloor m\rfloor$ を取ると $k\le m<k+1$ です。底は $1+1/(k+1)<1+1/m\le 1+1/k$、指数は $k\le m<k+1$ で、底はどれも $1$ より大きいので

$$(1+\frac{1}{k+1}{)}^k\le b_m\le (1+\frac{1}{k}{)}^{k+1}$$

が成り立ちます。左端は $a_{k+1}/(1+1/(k+1))$、右端は $a_k\cdot (1+1/k)$ と書けるので、THM-M1-1 よりどちらも $k\to \infty$ で $e$ に収束します。はさみうちにより $b_m\to e$ です。あとはべき関数 $t\mapsto t^x$ の連続性により $b_m^x\to e^x$ が得られます。

$x<0$ の場合は $x=-y$（$y>0$）とおきます。

$$\begin{array}{rl}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n& ={\left(1-\frac{y}{n}\right)}^n\\ & =\frac{1}{{\left(1+\frac{y}{n-y}\right)}^n}.\end{array}$$

$n-y=n^{\prime }$ とおくと $n=n^{\prime }+y$ であり

$${\left(1+\frac{y}{n^{\prime }}\right)}^{n^{\prime }+y}={\left(1+\frac{y}{n^{\prime }}\right)}^{n^{\prime }}\cdot {\left(1+\frac{y}{n^{\prime }}\right)}^y.$$

$n^{\prime }\to \infty$ のとき、第1因子は $x>0$ の場合の結果から $e^y$ に収束します。第2因子は $(1+y/n^{\prime }{)}^y\to 1^y=1$ です。よって全体は $e^y$ に収束し

$${\left(1-\frac{y}{n}\right)}^n\to \frac{1}{e^y}=e^{-y}=e^x.$$

$x=0$ のときは $(1+0/n{)}^n=1=e^0$ となり、主張がそのまま成り立ちます。 ∎

THM-M1-3 の証明

$f(x)=e^x$ の導関数を定義に従って計算します。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}.\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

$e$ の定義を使うことが目標ですから、${\lim }_{h\to 0}(e^h-1)/h=1$ を示します。

対数関数 $\ln$ を $e^x$ の逆関数として定義します。$e^h-1=s$ とおくと $h=\ln (1+s)$ であり、$h\to 0$ のとき $s\to 0$ です。よって

$$\frac{e^h-1}{h}=\frac{s}{\ln (1+s)}.$$

$\ln (1+s)/s$ の極限を求めます。THM-M1-1 と、THM-M1-2 の証明で示した「実数 $m\to \infty$ でも $(1+1/m{)}^m\to e$」を使います。$n=1/s$（$s>0$、$s\to 0$ のとき $n\to \infty$。$n$ は実数）とおくと

$$\begin{array}{rl}\frac{\ln (1+s)}{s}& =n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\\ & =\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.\end{array}$$

$n\to \infty$ で $(1+1/n{)}^n\to e$ ですから、$\ln$ の連続性により

$$\ln {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to \ln e=1.$$

したがって ${\lim }_{s\to 0^{+}}s/\ln (1+s)=1$ であり、${\lim }_{h\to 0^{+}}(e^h-1)/h=1$ が得られます。

$h\to 0^{-}$ のときは $-1<s<0$ です。$s=-1/m$（$m>1$、$s\to 0^{-}$ のとき $m\to \infty$）とおくと、$1+s=(m-1)/m$ なので

$$\begin{array}{rl}\frac{\ln (1+s)}{s}& =m\ln \frac{m}{m-1}=\ln (1+\frac{1}{m-1}{)}^m\\ & =\ln \left[\right(1+\frac{1}{m-1}{)}^{m-1}(1+\frac{1}{m-1})]\end{array}$$

です。括弧内の第1因子は実数 $m-1\to \infty$ で $e$ に、第2因子は $1$ に収束するので、$\ln$ の連続性により全体は $\ln e=1$ に収束します。よって ${\lim }_{h\to 0^{-}}(e^h-1)/h=1$ でもあります。

(4.4) に戻すと

$$f^{\prime }(x)=e^x\cdot 1=e^x.$$

一意性の証明。 $a>0$、$a\ne e$ として $g(x)=a^x$ の導関数を求めます。$a^x=e^{x\ln a}$ と書けますから、合成関数の微分により

$$g^{\prime }(x)=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^x\ln a.$$

$g^{\prime }(x)=g(x)$ が成り立つには $\ln a=1$、すなわち $a=e$ が必要です。$a\ne e$ のとき $\ln a\ne 1$ なので、微分すると $\ln a$ 倍のずれが生じます。 ∎

5. 反例 ― 条件が1つ欠けると収束しない

THM-M1-1 では「単調増加」と「上に有界」の2条件がそろって初めて収束が保証されました。どちらか片方だけでは不十分です。

CEX-M1-1: 単調増加だが有界でない列

数列 $b_n=(1+1/n{)}^{n^2}$ を考えます。$a_n=(1+1/n{)}^n$ は $e$ に収束しましたが、指数を $n$ から $n^2$ に変えると話が一変します。

$n$	$(1+1/n{)}^{n^2}$
$1$	$2.0$
$10$	$13780.612340$
$100$	$\approx 1.636\times 10^{43}$
$1000$	$\approx e^{999.5}$
$10000$	$\approx e^{9999.5}$

$\ln b_n=n^2\ln (1+1/n)$ について、$n\ln (1+1/n)\to 1$ ですから $\ln b_n\approx n\to \infty$ です。単調増加ではあるものの上に有界ではないので、発散します。「増え続ける」だけでは収束は言えません。

CEX-M1-2: 有界だが単調でない列

数列 $c_n=(-1{)}^n$ を考えます。

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$c_n$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$

$|c_n|=1$ なので有界ですが、$-1$ と $1$ を交互に繰り返すため、どの値にも近づきません。有界なだけでは収束は保証されず、単調性（あるいはそれに代わる条件）が必要です。

CEX-M1-3: 1の無限乗は1ではない

$(1+1/n{)}^n$ で $n\to \infty$ とするとき、底 $1+1/n$ は $1$ に近づき、指数 $n$ は無限大に向かいます。「底が $1$ に近いのだから $1^{\infty }=1$ だろう」と素朴に計算すると誤ります。

$n$	底 $1+1/n$	素朴な計算 $1^{\infty }$	実際の値
$10$	$1.1$	$1$	$2.5937424601$
$100$	$1.01$	$1$	$2.7048138294$
$1000$	$1.001$	$1$	$2.7169239322$
$10000$	$1.0001$	$1$	$2.7181459268$

底が $1$ に近づく速さと指数が大きくなる速さの「勝負」によって極限が決まります。$(1+1/n{)}^n$ では両者がちょうど釣り合い、$e\approx 2.7182818285$ という $1$ でも $\infty$ でもない値に収束します。項ごとに極限を取る操作は、指数が変動する場合には正当化できません。

この節のまとめ: 単調性と有界性はどちらも収束に必要であり、「$1^{\infty }=1$」という素朴な計算は成り立ちません。

6. 数値例 ― n を百万まで増やす

$(1+1/n{)}^n$ の値を $n$ が大きくなるにつれて追いかけます。

$n$	$(1+1/n{)}^n$	$e$ との差	$e/(2n)$	差 $/(e/(2n))$
$1$	$2.0$	$0.7182818285$	$1.3591409142$	$0.528482$
$10$	$2.5937424601$	$0.1245393684$	$0.1359140914$	$0.916309$
$100$	$2.7048138294$	$0.0134679990$	$0.0135914091$	$0.990920$
$10000$	$2.7181459268$	$0.0001359016$	$0.0001359141$	$0.999908$
$1000000$	$2.7182804691$	$0.0000013594$	$0.0000013591$	$1.000164$

$n=1000000$ で $e$ との差はおよそ $1.36\times 10^{-6}$ まで縮みます。最後の列を見ると、差はおおむね $e/(2n)$ で近似できることがわかります。$n$ が大きくなるほど比が $1$ に近づいており、収束の速さが $O(1/n)$ であることが数値的に確認できます。

THM-M1-2 の $x=0.05$ での収束も確認します。

$n$	$(1+0.05/n{)}^n$	$e^{0.05}$	差
$1$	$1.0500000000$	$1.0512710964$	$0.0012710964$
$10$	$1.0511401320$	$1.0512710964$	$0.0001309643$
$100$	$1.0512579599$	$1.0512710964$	$0.0000131364$
$10000$	$1.0512709650$	$1.0512710964$	$0.0000001314$
$1000000$	$1.0512710950$	$1.0512710964$	$0.0000000014$

$n$ を大きくするほど $(1+0.05/n{)}^n$ は $e^{0.05}=1.0512710964$ に近づいていきます。

この節のまとめ: 数値計算により $(1+1/n{)}^n$ の $e$ への収束と、差がおよそ $e/(2n)$ で縮むことを確認しました。

7. 次回へ ― 近似の正体

今回、数列 $(1+1/n{)}^n$ の極限として $e$ を定義し、$(1+x/n{)}^n\to e^x$ という拡張を証明し、$e^x$ が「微分しても自分自身」という性質を持つことを示しました。

次回 M2 では、$e^x$ をべき級数で表す方法を扱います。金融数学のほぼすべての近似公式の正体がそこに見えてきます。

この節のまとめ: $e$ の定義と基本性質が整いました。次回は $e^x$ の級数表現に進みます。

よくある質問

e は何に使うのですか

連続的に増える量を表すときに自然に現れます。金利、人口、放射性崩壊など、同じ形が至る所に出ます。

1 の無限乗は 1 ではないのですか

底が 1 に近づきながら指数が大きくなる場合は、近づき方の速さの勝負になり、1 とは限りません。

なぜ微分しても変わらないのですか

e はそうなるように選ばれた底だからです。他の底では定数倍がずれます。

参考文献

1. 高木貞治、解析概論、改訂第3版、岩波書店、1983年
2. 杉浦光夫、解析入門I、東京大学出版会、1980年

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数値例は compute.py により計算済み。本文中の小数は10桁以内で丸めている。