数学編第20回有界変動とリーマン・スティルチェス積分

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2026年9月25日

位置: 数学編第20回(M20) / 前提: M14 / 数学編: M14 / この回でできるようになること: リーマン・スティルチェス積分が存在するかを、有界変動性で判定できる

0. 物語 ― 連続なのに有界変動でない関数

手元に100万円があって、ある投資信託の基準価額を毎日見ているとします。グラフは一本の線でつながっていて、途切れたりジャンプしたりしません。直感的には、途切れずにつながった値動きなら「上がったり下がったりした合計距離」は有限に収まりそうです。

ところが、これは間違いです。途切れずにつながっているのに、上がり下がりの合計が無限大になる値動きが存在します。

具体的に見てみましょう。原点に向かって振幅がだんだん小さくなる波を考えます。波の山と谷をひとつずつ数えていくと、10個で合計距離は約2.28、50個で約3.31、100個で約3.75、500個で約4.77です。波を細かく拾えば拾うほど、合計距離は増え続けます。振幅は小さくなっているのに、減り方がゆっくりすぎて、足し合わせると発散してしまうのです。

これが積分に効きます。ある関数の増分に沿って別の関数を足し合わせるとき――金融の言葉でいえば、ポジションの大きさを価格の動きに掛けて利得を計算するとき――増分を取る側の関数の「上がり下がりの合計距離」が有限でなければ、計算結果が代表点の取り方で変わってしまいます。左端で取った答えと右端で取った答えの差は、分割を細かくしても約2.4から2.7のあいだに留まり、縮まりません。

逆に、上がり下がりの合計距離が有限、つまり有界変動であれば、どこで代表点を取っても同じ答えに収束します。つながっていることだけでは足りず、振動の合計が有限かどうかが積分の存否を分ける――これがこの回の主題です。

1. 動機 ― 関数に対して積分するとはどういうことか

この回を読み終えると、リーマン・スティルチェス積分が存在するかを、有界変動性で判定できます。

通常のリーマン積分 $\int_{a}^{b} f (t) d t$ は、被積分関数 $f$ を「 $t$ の増分 $d t$ 」に対して足し合わせます。しかし金融では、利得を「価格の増分 $d S_{t}$ 」に対して足す場面が繰り返し出てきます。価格 $S_{t}$ は $t$ のように一様に増えるとは限りません。上がったり下がったり、あるいはジャンプしたりします。

$d t$ の代わりに任意の関数 $g (t)$ の増分 $d g (t)$ に対して積分する。これがリーマン・スティルチェス積分の考え方です。今回は、この積分がいつ定義できるのかを正確に述べ、証明します。鍵になるのが有界変動という条件です。

この記事で証明すること

THM-M20-1 有界変動関数は、2つの広義単調増加関数の差として書けます。
THM-M20-2 被積分関数が連続で、積分する相手の関数が有界変動なら、リーマン・スティルチェス積分は代表点の取り方によらず存在します。
THM-M20-3 積分する相手が連続微分可能なら、リーマン・スティルチェス積分は通常のリーマン積分に導関数を掛けたものに帰着します。

2. 設定と仮定 ― 総変動と分割

ここで使う道具と仮定を書き出します。

区間: 有界閉区間 $[a, b]$ で考えます。以下では $[0, 1]$ を使います。
分割: $Π = {0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = 1}$ は $[0, 1]$ の分割です。 $∥ Π ∥ = max_{i} (t_{i} - t_{i - 1})$ を分割の刻み幅と呼びます。
総変動: 関数 $g : [0, 1] \to R$ に対し、

V_{1} (g) = Π sup i = 1 \sum n ∣ g (t_{i}) - g (t_{i - 1}) ∣ (1.1)

を $[0, 1]$ 上の総変動と呼びます。上限はすべての分割にわたって取ります。

有界変動: $V_{1} (g) < \infty$ のとき、 $g$ は $[0, 1]$ 上で有界変動であると言います。
リーマン・スティルチェス和: 分割 $Π$ と、各小区間 $[t_{i - 1}, t_{i}]$ から選んだ代表点 $ξ_{i}$ に対し、

S (Π, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) [g (t_{i}) - g (t_{i - 1})] (1.2)

をリーマン・スティルチェス和と呼びます。

積分の定義: $∥ Π ∥ \to 0$ のとき、代表点 $ξ$ の選び方によらず $S (Π, ξ)$ が一つの値 $I$ に収束するならば、 $I$ を

I = \int_{0}^{1} f (t) d g (t)

と書き、 $f$ の $g$ に対するリーマン・スティルチェス積分と呼びます。

代表点: 各小区間 $[t_{i - 1}, t_{i}]$ の左端、右端、中点など、任意の点を取れるものとします。
数値例での分割: 数値例では等間隔分割 $t_{i} = i / n$ を使い、代表点を左端・右端・中点で変えて比較します。

総変動は、関数が上がったり下がったりした量の合計です。グラフの「道のり」と考えることもできます。この量が有限かどうかが、積分の存在を左右します。

3. 主張 ― 有界変動なら積分が存在する

3つの定理を述べます。1つ目は有界変動関数の構造を明らかにし、2つ目で積分の存在を保証し、3つ目で馴染みのあるリーマン積分に帰着させます。

定理 THM-M20-1（有界変動関数の分解） $g : [0, 1] \to R$ が有界変動であるとき、2つの広義単調増加関数 $p, n : [0, 1] \to R$ が存在して

$g (t) = g (0) + p (t) - n (t), p (0) = n (0) = 0$
が成り立つ。さらに $V_{t} (g) = p (t) + n (t)$ である。

定理 THM-M20-2（リーマン・スティルチェス積分の存在） $f : [0, 1] \to R$ が連続で、 $g : [0, 1] \to R$ が有界変動であるとき、リーマン・スティルチェス積分

$\int_{0}^{1} f (t) d g (t)$
は代表点の取り方によらず存在する。

定理 THM-M20-3（微分可能な場合の帰着） $f : [0, 1] \to R$ が連続で、 $g : [0, 1] \to R$ が連続微分可能であるとき、

$\int_{0}^{1} f (t) d g (t) = \int_{0}^{1} f (t) g^{'} (t) d t (2.1)$
が成り立つ。右辺は通常のリーマン積分である。

THM-M20-3 は「 $d g (t)$ を $g^{'} (t) d t$ に置き換えてよい」ということです。直感的にはあたりまえですが、ここではそれを保証するために $g^{'}$ が存在して連続であることを仮定しています。

証明を読む（読まなくても記事は完結します）

4. 証明 ― 単調関数の差に分けて示す

この節は読まなくても記事は完結します。

この証明を追いたい人は、数学編第14回「ルベーグ積分」へ。

THM-M20-1 の証明

$g$ が有界変動であるとき、区間 $[0, t]$ 上の総変動を

V_{t} (g) = Π \subset [0, t] sup i = 1 \sum n ∣ g (t_{i}) - g (t_{i - 1}) ∣

と書きます。 $V_{0} (g) = 0$ です。まず $V_{t} (g)$ が $t$ について広義単調増加であることを示します。 $s < t$ のとき、 $[0, s]$ の任意の分割は $[0, t]$ の分割にもなりますから（ $t$ を端点に追加するだけです）、

V_{s} (g) \leq V_{t} (g) .

これは分割の集合が広がるので上限も大きくなる、ということです。

次に正変動と負変動を定義します。

p (t) n (t) = \frac{V _{t} ( g ) + g ( t ) - g ( 0 )}{2}, = \frac{V _{t} ( g ) - g ( t ) + g ( 0 )}{2} . (4.1)

明らかに $p (0) = n (0) = 0$ であり、 $p (t) - n (t) = g (t) - g (0)$ です。したがって $g (t) = g (0) + p (t) - n (t)$ が成り立ちます。

$p$ が広義単調増加であることを示します。 $s < t$ のとき、

p (t) - p (s) = \frac{[ V _{t} ( g ) - V _{s} ( g )] + [ g ( t ) - g ( s )]}{2} .

ここで $V_{t} (g) - V_{s} (g)$ は区間 $[s, t]$ 上の総変動に等しいことを示します。 $[0, t]$ の分割を $s$ で2つに切ると、 $[0, s]$ の部分と $[s, t]$ の部分の変動の和になります。 $[0, s]$ の部分の上限は $V_{s} (g)$ なので、

V_{t} (g) = V_{s} (g) + V_{[s, t]} (g) .

したがって $V_{t} (g) - V_{s} (g) = V_{[s, t]} (g) \geq ∣ g (t) - g (s) ∣$ です。最後の不等式は、 ${s, t}$ という分割1つだけでも総変動の定義の上限に含まれるので、成り立ちます。

この不等式を使うと

p (t) - p (s) = \frac{V _{[s, t]} ( g ) + [ g ( t ) - g ( s )]}{2} \geq \frac{∣ g ( t ) - g ( s ) ∣ + [ g ( t ) - g ( s )]}{2} \geq 0.

最後は $∣ a ∣ + a \geq 0$ （任意の実数 $a$ ）から従います。 $p$ は広義単調増加です。

$n$ についても同様に

n (t) - n (s) = \frac{V _{[s, t]} ( g ) - [ g ( t ) - g ( s )]}{2} \geq \frac{∣ g ( t ) - g ( s ) ∣ - [ g ( t ) - g ( s )]}{2} \geq 0

が成り立ちます。 $∣ a ∣ - a \geq 0$ を使いました。 $n$ も広義単調増加です。

最後に $p (t) + n (t) = V_{t} (g)$ は (4.1) の定義から直ちに確認できます。 ∎

この分解はジョルダン分解と呼ばれます。有界変動関数を理解するには、単調増加関数を理解すれば十分だということです。

THM-M20-2 の証明

$f$ は $[0, 1]$ 上で連続なので一様連続です。任意の $ε > 0$ に対して、 $∣ s - t ∣ < δ$ ならば $∣ f (s) - f (t) ∣ < ε$ となる $δ > 0$ が取れます。

ステップ1: 同じ分割で代表点だけが異なる場合。 分割 $Π$ に対して、代表点 $ξ$ と $ξ^{'}$ を取ります。 $∥ Π ∥ < δ$ とすると、 $ξ_{i}, ξ_{i}^{'}$ はともに $[t_{i - 1}, t_{i}]$ に属するので $∣ ξ_{i} - ξ_{i}^{'} ∣ < δ$ です。一様連続性から $∣ f (ξ_{i}) - f (ξ_{i}^{'}) ∣ < ε$ を得ます。したがって

∣ S (Π, ξ) - S (Π, ξ^{'}) ∣ \leq i = 1 \sum n ∣ f (ξ_{i}) - f (ξ_{i}^{'}) ∣ \cdot ∣ g (t_{i}) - g (t_{i - 1}) ∣ < ε i = 1 \sum n ∣ g (t_{i}) - g (t_{i - 1}) ∣ \leq ε V_{1} (g) . (4.2)

$g$ が有界変動なので $V_{1} (g) < \infty$ であり、 $ε$ を小さくすれば差はいくらでも小さくなります。

ステップ2: 分割を細分したときの変化。 分割 $Π$ に新しい分割点 $s$ を1つ追加した分割を $Π^{'}$ とします。 $s$ は区間 $[t_{j - 1}, t_{j}]$ に入るとします。和の変化は

S (Π^{'}, ξ^{'}) - S (Π, ξ) = f (ξ_{j}^{L}) [g (s) - g (t_{j - 1})] + f (ξ_{j}^{R}) [g (t_{j}) - g (s)] - f (ξ_{j}) [g (t_{j}) - g (t_{j - 1})]

です。ここで $ξ_{j}^{L} \in [t_{j - 1}, s]$ 、 $ξ_{j}^{R} \in [s, t_{j}]$ 、 $ξ_{j} \in [t_{j - 1}, t_{j}]$ です。 $g (t_{j}) - g (t_{j - 1}) = [g (s) - g (t_{j - 1})] + [g (t_{j}) - g (s)]$ を使って書き直すと

= [f (ξ_{j}^{L}) - f (ξ_{j})] [g (s) - g (t_{j - 1})] + [f (ξ_{j}^{R}) - f (ξ_{j})] [g (t_{j}) - g (s)] .

$∥ Π ∥ < δ$ のとき、3つの代表点はすべて長さ $δ$ 以内の区間に入るので $∣ f (ξ_{j}^{L}) - f (ξ_{j}) ∣ < ε$ 、 $∣ f (ξ_{j}^{R}) - f (ξ_{j}) ∣ < ε$ です。したがって

∣ S (Π^{'}, ξ^{'}) - S (Π, ξ) ∣ \leq ε (∣ g (s) - g (t_{j - 1}) ∣ + ∣ g (t_{j}) - g (s) ∣) .

点を複数追加しても同様の評価が各区間で独立に成り立ち、全区間の合計は $ε V_{1} (g)$ を超えません。

ステップ3: コーシー列の構成。 2つの分割 $Π_{1}, Π_{2}$ に対し、共通細分 $Π_{3} = Π_{1} \cup Π_{2}$ を取ります。ステップ2より

∣ S (Π_{1}, ξ_{1}) - S (Π_{3}, ξ_{3}) ∣ ∣ S (Π_{2}, ξ_{2}) - S (Π_{3}, ξ_{3}^{'}) ∣ \leq ε V_{1} (g), \leq ε V_{1} (g) .

ステップ1より $∣ S (Π_{3}, ξ_{3}) - S (Π_{3}, ξ_{3}^{'}) ∣ \leq ε V_{1} (g)$ です。三角不等式を使って

∣ S (Π_{1}, ξ_{1}) - S (Π_{2}, ξ_{2}) ∣ \leq 3 ε V_{1} (g) .

$V_{1} (g) < \infty$ なので、 $ε \to 0$ （すなわち $∥ Π ∥ \to 0$ ）とすれば和はコーシー列になり、極限が存在します。極限が代表点によらないことはステップ1の評価 (4.2) から直ちに従います。 ∎

THM-M20-3 の証明

$g$ が連続微分可能（ $g^{'}$ が連続）なとき、各小区間で平均値の定理を使います。ある $c_{i} \in (t_{i - 1}, t_{i})$ が存在して

g (t_{i}) - g (t_{i - 1}) = g^{'} (c_{i}) (t_{i} - t_{i - 1}) . (4.3)

これをリーマン・スティルチェス和に代入すると

S (Π, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) g^{'} (c_{i}) (t_{i} - t_{i - 1}) . (4.4)

ここで $f (ξ_{i}) g^{'} (c_{i})$ と $f (c_{i}) g^{'} (c_{i})$ の差を評価します。 $f$ は一様連続なので、 $∥ Π ∥ < δ$ とすると $∣ ξ_{i} - c_{i} ∣ < δ$ であり

∣ f (ξ_{i}) g^{'} (c_{i}) - f (c_{i}) g^{'} (c_{i}) ∣ \leq ∣ f (ξ_{i}) - f (c_{i}) ∣ \cdot ∣ g^{'} (c_{i}) ∣ < εM,

ここで $M = max_{t \in [0, 1]} ∣ g^{'} (t) ∣$ です。 $g^{'}$ は $[0, 1]$ 上で連続なので最大値を取ります。全区間にわたって足し合わせると

S (Π, ξ) - i = 1 \sum n f (c_{i}) g^{'} (c_{i}) (t_{i} - t_{i - 1}) < εM .

右辺の和 $\sum f (c_{i}) g^{'} (c_{i}) (t_{i} - t_{i - 1})$ は、関数 $h (t) = f (t) g^{'} (t)$ のリーマン和です。 $h$ は連続関数の積なので連続であり、リーマン積分可能です。 $∥ Π ∥ \to 0$ のとき $\int_{0}^{1} f (t) g^{'} (t) d t$ に収束します。

以上を合わせると、 $∥ Π ∥ \to 0$ のとき

S (Π, ξ) \to \int_{0}^{1} f (t) g^{'} (t) d t .

THM-M20-2 より左辺の極限は $\int_{0}^{1} f (t) d g (t)$ に等しいので、(2.1) が成り立ちます。 ∎

5. 反例 ― 連続でも有界変動とは限らない

有界変動の条件がなぜ必要なのかを、3つの反例で見ます。

CEX-M20-1: 有界変動でない関数に対して代表点で和が変わる

$g (t) = t sin (π / t)$ （ $t > 0$ ）、 $g (0) = 0$ とします。 $∣ g (t) ∣ \leq t$ なので $t \to 0$ で $g (t) \to 0$ となり、 $g$ は $[0, 1]$ 上で連続です。一方、点 $t_{k} = 2/ (2 k - 1)$ （ $k \geq 2$ ）では $sin (π / t_{k}) = \pm 1$ が交互に現れるので、隣接する点での差の絶対値は $t_{k} + t_{k + 1} \geq 2/ 2 k + 1$ です。この和は $k$ について発散するので、 $g$ は有界変動ではありません（CEX-M20-2 と同じ仕組みです）。

被積分関数も同じ関数 $f = g$ に取り、等間隔分割 $t_{i} = i / n$ で、左端と右端で代表点を変えてリーマン・スティルチェス和を計算します。左端の和から右端の和を引くと、代表点の差が増分と同じ形になるので、差は

i = 1 \sum n [g (t_{i - 1}) - g (t_{i})] \times [g (t_{i}) - g (t_{i - 1})] = - i = 1 \sum n [g (t_{i}) - g (t_{i - 1})]^{2}

と、増分の二乗和にマイナスを付けたものになります。

分割数 $n$	左端	右端	差
1000	$- 1.3319$	$1.3319$	$- 2.6638$
10000	$- 1.2061$	$1.2061$	$- 2.4123$
100000	$- 1.2892$	$1.2892$	$- 2.5784$
1000000	$- 1.2183$	$1.2183$	$- 2.4367$

分割を細かくしても差は $- 2.4$ から $- 2.7$ のあいだに留まり、 $0$ に収束しません。

THM-M20-2 では $g$ が有界変動であるおかげで、(4.2) の評価で $ε V_{1} (g) \to 0$ が保証されました。 $g$ が有界変動でなければ $V_{1} (g) = \infty$ ですから、この評価が破綻します。代表点を変えると和の極限が変わる――これが「積分が定義できない」ということです。

CEX-M20-2: 連続なのに有界変動でない

$h (x) = x sin (1/ x)$ （ $x > 0$ ）、 $h (0) = 0$ は $[0, 1]$ 上で連続です。しかし有界変動ではありません。

総変動が発散することを数値で確認します。 $h$ が $\pm 1$ を交互に取る点 $x_{k} = 2/ ((2 k - 1) π)$ を分割点に取ります。 $h (x_{k}) = \pm 2/ ((2 k - 1) π)$ なので、隣接する点の差の絶対値は大まかに $2/ ((2 k - 1) π) + 2/ ((2 k + 1) π)$ です。これは調和級数に似た形で発散します。

山谷の数	総変動の下界
10	$2.2844$
50	$3.3087$
100	$3.750$
500	$4.7746$

分割を細かくするほど総変動は増え続け、発散します。 $h$ は連続であるにもかかわらず、振動の振幅が十分ゆっくりとしか減衰しないため、上がり下がりの合計が有限に収まりません。

連続性は有界変動を保証しません。有界変動であるためには、振動の振幅が十分速く減衰する必要があります。

CEX-M20-3: 被積分関数と相手が同じ点で不連続

$f (t) = 0$ （ $t < 1/2$ ）、 $f (t) = 1$ （ $t \geq 1/2$ ）とし、 $g (t) = 0$ （ $t \leq 1/2$ ）、 $g (t) = 1$ （ $t > 1/2$ ）とします。 $f$ と $g$ はともに $t = 1/2$ で不連続です。

分割の幅を小さくしても $1/2$ が分割点にならないとき（ $n$ が奇数のとき）、ジャンプを含む小区間で代表点を左端に取ると $f = 0$ を、右端に取ると $f = 1$ を掛けます。

分割数 $n$	左端の和	右端の和
3	$0$	$1$
5	$0$	$1$
7	$0$	$1$

分割をどれだけ細かくしても、左端は常に $0$ 、右端は常に $1$ です。和は一つの値に収束しません。

THM-M20-2 は $f$ が連続であることを仮定していました。 $g$ が有界変動（ステップ関数なので有界変動です）であっても、 $f$ と $g$ が同じ点で不連続であれば積分は定義できません。 $f$ が連続であるか、少なくとも $f$ と $g$ の不連続点が重ならないことが必要です。

6. 数値例 ― 代表点を変えて和を比べる

THM-M20-3 の具体例として、 $f (t) = t$ 、 $g (t) = t^{2}$ の場合を計算します。 $g$ は連続微分可能で $g^{'} (t) = 2 t$ ですから、

\int_{0}^{1} t d g (t) = \int_{0}^{1} t \cdot 2 t d t = \int_{0}^{1} 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} .

等間隔分割 $t_{i} = i / n$ でリーマン・スティルチェス和を計算し、代表点を変えて比較します。

$n = 4$ の場合。 分割は $0, 1/4, 1/2, 3/4, 1$ です。

左端 : \frac{17}{32} = 0.53125, 右端 : \frac{25}{32} = 0.78125, 中点 : \frac{21}{32} = 0.65625.

$n = 10$ の場合。

代表点	和	厳密値
左端	$0.615$	$123/200$
右端	$0.715$	$143/200$
中点	$0.665$	$133/200$

$n = 100$ の場合。

代表点	和	厳密値
左端	$0.66165$	$13233/20000$
右端	$0.67165$	$13433/20000$
中点	$0.66665$	$13333/20000$

分割を細かくすると、3つの代表点の和はすべて真の値 $2/3 \approx 0.6667$ に収束していきます。中点が最も速く収束し、 $n = 100$ で $0.66665$ と真の値にほぼ一致しています。 $g$ が有界変動（実際には連続微分可能）なので、代表点をどこに取っても極限は同じです。

ジョルダン分解の例。 $f (t) = t - 2 t^{2}$ は $[0, 1]$ 上で有界変動です。 $f^{'} (t) = 1 - 4 t$ なので $t = 1/4$ で極大を取り、総変動は $V_{1} (f) = 5/4$ です。ジョルダン分解 $f (t) = p (t) - n (t)$ の値を表にします。

$t$	$f (t)$	$V_{t} (f)$	$p (t)$	$n (t)$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1/4$	$1/8$	$1/8$	$1/8$	$0$
$1/2$	$0$	$1/4$	$1/8$	$1/8$
$3/4$	$- 3/8$	$5/8$	$1/8$	$1/2$
$1$	$- 1$	$5/4$	$1/8$	$9/8$

$p (t)$ と $n (t)$ がともに広義単調増加で、 $f (t) = p (t) - n (t)$ が成り立つことが確認できます。 $p$ は $[0, 1/4]$ で増加してその後一定、 $n$ は $[1/4, 1]$ で増加します。 $f$ が増えている区間では $p$ だけが増え、 $f$ が減っている区間では $n$ だけが増える――これがジョルダン分解の直感です。

7. 次回へ ― ブラウン運動で積分が使えない理由

今回の結論は「 $g$ が有界変動なら代表点によらず積分が存在する」でした。

ではブラウン運動 $W_{t}$ はどうでしょうか。ブラウン運動の経路は連続ですが、有界変動ではないことが知られています（M21 で証明します）。つまり今回の定理は使えません。実際、ブラウン運動に対して積分しようとすると、代表点の選び方で答えが変わります。左端を選べば伊藤積分、中点を選べばストラトノビッチ積分になり、両者は一致しません。

次回 M21 では、ブラウン運動の経路が有界変動でないのに二次変分は有限になる、ということを証明し、なぜ通常の積分が使えないのかを明確にします。

よくある質問

有界変動とは何ですか

上がったり下がったりした量の合計が有限、ということです。グラフの長さが有限、とも言えます。

なぜ代表点が問題になるのですか

相手の関数が激しく振動すると、どこで値を取るかで和が変わってしまうからです。

これが確率解析とどう関係するのですか

ブラウン運動は有界変動でないので、この積分が使えません。次回で示します。

参考文献

Apostol T. M.、Mathematical Analysis、第2版、Addison-Wesley、1974年
Protter P. E.、Stochastic Integration and Differential Equations、第2版、Springer、2004年

数値例は compute.py により有理数演算で検算済み（float を使った箇所は丸め誤差のみ）。本文中の小数は4桁で丸めている。

数学編 第20回 有界変動とリーマン・スティルチェス積分